新古典经济增长的索罗-斯旺模型

20世纪五六十年代，经济环境已经不同于古典经济增长理论的时代。以索罗、斯旺为代表的一批学者提出了新古典经济增长的索罗-斯旺模型。与暗示经济增长路径从本质上是不稳定的哈罗德-多马模型不同，该模型认为经济可以进行内部调整以达到稳定均衡的增长。为此，他们对哈罗德-多马模型进行了修正，放弃了该模型关于劳动和资本不可相互替代^[8]、资本-产量比不变以及不存在技术进步的假定，从柯布-道格拉斯生产函数出发，将注意力集中在经济增长与资本积累、技术变革的联系，假定总量生产函数满足最常见的“新古典性质”，强调在假设条件下，储蓄、人口增长及技术进步对于均衡经济增长的作用。其假设条件为：①经济由一个部门组成，该部门只使用两类投入(资本与劳动)生产一种既可用于投资也可用于消费的均质产品，其他投入是相对不重要的;②该经济为不存在国际贸易的封闭经济，且政府部门被忽略;③生产的规模报酬不变。即经济足够大，专业化的收益已经被全部利用，劳动、资本与技术以外的其他投入相对不重要;④该经济的技术进步、人口增长及资本折旧的速度都是由外生因素决定;⑤社会储蓄函数为S=sY，s为储蓄率。

新古典经济增长的索罗-斯旺模型是基于劳动与资本两要素模型，分技术进步变与不变两部分进行递进讨论。

(一)不考虑技术进步时新古典经济增长模型

1.增长模型推导

设经济中有希克斯中性的总量生产函数形式

Y=Af(K，N)

为集中讨论资本积累的作用，不考虑技术进步，设A为1，N为常量。于是有

Y=f(K，N)

总产出增长的讨论在第一节有论述。其中的索罗余值是该模型与哈罗德-多马模型的重要区别之一。由于人均产出增长更具讨论意义，所以假定一国全部劳动力都参加生产，这时由于规模报酬不变，就有

图9-2　人均生产函数曲线

λY=f(λK，λN)

令λ取值为正且1/N=λ，有

y=f(k)

式中，y为人均产出，k为人均资本量，y=f(k)为一般形式。设横轴表示人均资本，纵轴表示人均产出，图9-2是函数y=f(k)的图示，表示人均产出的变化取决于人均资本量的变化。但是，由于假设条件③，假定储蓄是收入的一个固定百分数s，人均储蓄为sy;由于假设条件④，在其他决定产量的因素不变时，有资本要素的边际报酬递减规律存在，人均资本的初始比率值越大，人均资本增加对产出增加产生的影响就越小，于是人均产出会以递减的速度增长，虽然这个递减的过程会持续相当长的一段时间。在A点，人均资本占有量小，增加到B点将导致人均产出增加A'B'。在C点，人均资本占有量更大了，增加同样单位的资本引起人均产出的增加仅为C'D'。由此我们可以得知人均资本的增长决定了人均产出的增长，那么人均资本的增长又决定于什么呢?

在一个只包括家庭部门和企业部门的两部门简单经济中，由于没有政府部门、没有对外贸易和资本流动，由假设条件③，经济的均衡条件为

I=S

即投资或资本存量的增加等于储蓄^[9]。一般地说，资本存量的变化等于投资减去折旧。当资本存量为K时，假定折旧是资本存量K的一个固定比率δK(0＜δ＜1)，则资本存量的变化ΔK可以表示为

ΔK=I-δK

根据I=S=sY，上式可以写为

ΔK=sY-δK

上式两边同除以N，有

另一方面，注意到式(9.16)有k=K/N存在，对上式两边取对数，则有ln k=ln K-ln N，又因为这些变量都是时间的变量，即有ln k(t)=ln K(t)-ln N(t)，再对上式两边对时间t求导，可以得到^[10]

式中的ΔN/N=n，为劳动增长率。于是就有：人均资本增长率=资本增长率-劳动增长率。

等式两边同乘以K，有。

上式两端同除以N，则有

将式(9.16)、式(9.17)合并，消去ΔK/N，于是

式(9.18)即为新古典增长模型的基本方程。公式表明，储蓄率是稳定状态人均资本存量的关键决定因素。在封闭经济下，长期内人均资本增加Δk等于人均储蓄sy减去(n+δ)k项。(n+δ)k项可以这样理解：劳动力的增长率为n，一定量的人均储蓄必须用于装备新工人，每个工人占有的平均资本为k，这一用途使用的储蓄便为nk;另一方面，一定量的储蓄必须用于替换折旧资本，这一用途使用的储蓄为δk。也就是说，人均储蓄sy扣除用于为每一新增人口提供平均的资本装备nk和替换折旧资本用去的部分δk后即为人均资本增加量Δk。总量为(n+δ)k的人均储蓄是资本积累的增加，被称为资本的广化，人均储蓄超过了(n+δ)k的部分导致了人均资本k的上升，即Δk＞0。根据假设条件，增加的人均储蓄总能转化为人均资本，这一人均资本量随着时间推移而增长的过程被称为资本的深化。因此，新古典增长模型的基本方程可以用语言表述为：资本深化=人均储蓄-资本广化。结论就是，在技术进步等其他因素不变时，资本深化会带来人均产出的增长。当然，开放经济下，人均资本的增加还应包括来自国外的投资。

2.稳态分析

稳态是指一种长期均衡状态。稳态时，在忽略了技术进步的条件下，人均资本k与人均产出y均维持在均衡水平且不再变化。在外生变量s、n、δ既定下，均衡经济的增长有两种情况：第一种情况是人均产出的持续增长而带来的经济总量增长;第二种情况是人均资本与人均产出均不增长，经济总量的增长只是因为人口的自然增长而增长。第一种情况称为经济的加速增长，第二种情况称为经济的稳定性均衡增长，简称稳态增长。

图9-3　经济增长的稳态图

图9-3表示经济稳态的一个图解。y=f(k)代表人均产出随人均资本变化而变化的曲线，随着人均资本的增加，当其他条件不变时，资本的边际报酬递减规律开始起作用，故f(k)呈图中向右上方倾斜且逐渐平缓的曲线形状;sf(k)是人均储蓄曲线，由于f(k)的性质决定了其图形也向右上方倾斜且逐渐平缓;反过来，如果人均资本下降，则相反的情况就会出现。(n+δ)k表示资本广化，由于假定n和δ都是不变的常数，故(n+δ)k是条直线，它和sf(k)线相交于E点，表示经济在E点处于稳态，这时人均资本为kE，人均产出为yE。E点同时将人均产出yE分成两个部分：BE为人均消费部分，EkE为人均投资部分。若经济运行在E点左边，sf(k)＞(n+δ)k即Δk＞0，表示随着时间的推移，人均资本k会持续上升，必有Δy＞0，一直到稳定状态kE为止。若经济运行在E点右边，则sf(k)＜(n+δ)k，即Δk＜0，表示随着时间的推移，人均资本k会持续下降，必有Δy＜0，一直到稳定状态kE点为止。若经济运行在E点上，有sy=(n+δ)k，Δk=0，此时人均资本k就不再随着时间的推移而变化，如果没有技术进步，人均产出y也不再随着时间的推移而变化，有Δk=0，k=kE。这一状态代表了经济的长期均衡，E点被称为长期均衡稳态点，表明此点代表的人均资本存量与人均产出在内的内生变量将不会随时间的推移而变化。因此，边际报酬递减是解释为什么经济达到稳态而不是无限增长的关键。离散形式的新古典增长理论模型中稳态的条件是

式(9.19)中f(k)没有一个显型，对其求解有一定困难。此时经济增长处于稳态，人均资本k和人均产出y的增长率为零。但总产出量Y和总资本量K都在增长。因为劳动人口量N以n速度增长，因此，稳态下总产出Y与总资本存量K的增长率与劳动力总量N的增长率n相等^[11]，且这一增长率独立于储蓄率s。即

从上述分析我们可以看到，新古典增长模型的一个重要意义在于，长期内只要市场机制是完善的，经济总量依靠自身的力量就可以实现稳态增长;不考虑技术进步时，有着相同的储蓄率、人口增长率和技术条件，即有着同样的生产函数的各国，最终将在同样的收入水平上趋于一致，尽管这一趋同过程可能十分缓慢。同理，从式(9.18)、式(9.19)及其图9-3中还可以看到，在其他条件相同时，有以下变化：①k值越小(意味着人均资本越贫乏)，越有可能资本深化，故穷国的经济增长会快于富国，这种初始状况对随后增长的影响被称为追赶效应;②s越高，sf(k)曲线越向上移动，从而使稳态下的人均资本和人均产出提得越高;③n越低，可使(n+δ)k曲线向右下方转动，从而使稳态下的人均资本和人均产出提高。④稳态中的总产出增长率等于外生的人口增长率n，独立于储蓄率s，不受储蓄率的影响。关于这一点，通过图9-4、图9-5还将看得更为清楚一些。

为简便起见，假定人均生产函数为y=f(k)=kα，其中α为介于0和1之间的参数，则由式(9-19)可知：skα=(n+δ)k，由此求得：

式(9-21)表明，若其他条件相同，储蓄率或投资率较高的国家由于人均资本量较高，因此人均产量也较高，国民也就比较富裕;相反，人口增长率较高的国家通常比较穷。在这些国家，面对人口增长，为保持资本-劳动比率不变，需要把更大比例的收入用于储蓄和投资。^[12]这种资本广化的要求使得资本深化变得更加困难，从而使得人均资本量减少。

3.稳态的变化

稳态的变化是指外生变量s、n、δ变化对稳态点的影响，主要表现在如下几个方面。

图9-4　储蓄率提高对稳态的影响

首先，储蓄率s的变化会对稳态水平产生影响。这里考察储蓄率提高的情形，储蓄率下降的情形可以依此类推。图9-4中，最初人均储蓄曲线s0 y与(n+δ)k曲线在E0点相交，E0点表示最初的经济稳态均衡，此时的人均储蓄为E0 k0，人均资本量为k0。当储蓄率由s0提高到s'以后，人均储蓄曲线s0 y上升到s'y的位置。但人均折旧和人均资本装备之和(n+δ)k并未改变，因此有Δk＞0。随着时间的推移，有人均资本k会持续上升，一直到稳定状态k'为止。此时，人均储蓄曲线s'y与(n+δ)k曲线在E'点相交，E'点表示新的经济稳态均衡。新的稳态下，人均储蓄为E'k'，多于旧均衡的E0 k0;人均资本量为k'，也多于原先均衡时的人均资本量为k0。显然，其他条件不变时(比如I=S)，储蓄率的提高增加了稳态的人均资本量，新的稳态均衡时的人均收入大于旧稳态均衡时的人均收入。因此，储蓄率的提高还增加了人均收入。

由于E0点与E'点都表示稳态，所以，这里所提到的稳态变化不是指由稳态到非稳态，而是指旧的稳态点变化到新的稳态点，经济变化前后都是稳态。这就是说，储蓄率s的提高会使人均产出y的增长出现一个过渡期。如图9-4所示，储蓄率从s0增加到s'，人均产出y便会有从y增长到y'的稳态水平的过渡，总产出的增长率也会有一个过渡期的变化。但过渡期结束以后，人均产出的增长率又会回到均衡的增长率水平，此时不能影响稳态下总产出的增长率n。

图9-5　无技术进步时人均产出和总产出增长率随时间变化的轨迹

因此，对于E0到E'点的变化，还应从长期和短期两个视角对人均产出和总产出增长率两个问题进行考察。从短期来看，更高的储蓄率s会导致更多人均资本k的增加，从而导致人均产出y和总产出Y的增长率都增加。图9-4中，当Δk＞0时，随着时间的推移，k0右移到k'时，必有y0上移到y'，同时引发的增加。图9-5中(a)显示了没有技术进步时人均产出y变化的时间路径;同样随着时间的推移，储蓄率s的上升导致了人均资本k上升，并使人均产出y以递减的速率增加，直到达到新的稳态为止。但是，从长期来看，由于k0对应的E0点和k'对应的E'点都是稳态点，按照前面关于稳态的分析，稳态中的总产出Y增长率是独立于储蓄率s的，因此，尽管短期中总产出的增长率会随着储蓄率s的增加引发的人均资本k增加、人均产出y增加而有提高，短期内k、y及至Y增长率有一个正向影响;但从长期看，由于不考虑技术进步与要素的边际报酬递减假定，k、y会稳定在新的稳态点上而不再增加，说明长期中更高的人均储蓄s、人均资本k不能持久地提高人均产出的增长率，但是能维持更高的人均产出水平，最终影响人均生活水平。随着(n+δ)k表示的资本积累的增加，总产出Y增长率逐渐降低，最终又回到稳态的人口增长水平n。图9-4中，k0右移到k'后不可能再增加，因而y0上移到y'后不可能再变化，此时引发增加的就只是式(9.20)描述的n。图9-5中(b)显示了没有技术进步时总产出增长变化的时间路径：储蓄率s的增加导致资本积累相应增加，从而带动了总产出的一个暂时性的较高增长率。但随着(n+δ)k表示的资本积累相应增加，长期中总产出的增长率最终会回落到人口增长率n的水平上;图9-5(a)则显示同条件下人均产出水平变化的时间路径：人均产出水平从t0时点的初始长期均衡起步，储蓄率增加引起储蓄与投资的增加与人均资本存量的增长，人均产出也增长。这个过程将以递减的速率持续下去，最后保持在更高稳态水平上。

总之，新古典增长理论在这里得到的结论是，储蓄率增加不能影响到总产出的稳态增长率，但能提高人均产出的稳态水平。更形象地说，储蓄率的增加只有水平效应，没有长期增长效应。

其次，人口增长率n的变化会对稳态的影响。这里考察其他条件不变时人口增长率提高对稳态影响的情形，人口增长率下降的情形可以依此类推。

图9-6　人口增长率的提高对稳态的影响

新古典增长理论虽然假定劳动力按一个不变的比例n增长，但当把n为参数时，就可以说明人口增长对产量增长的影响。图9-6中，最初的经济位于N1点所表示的稳态均衡，此时的人口增长率为n1、人均资本量为k1。当人口增长率由n1提高到n2以后，(n1+δ)k曲线向左上方转动到(n2+δ)k的位置，(n2+δ)k曲线与sy曲线相交于N2点，N2点实现了新的稳态。由于sy曲线向右上方倾斜，(n1+δ)k曲线上升后的新的均衡点N2点一定低于N1点。比较N1、N2两点可知，短期内，人口增长率由n1提高到n2后，人均资本由k1降低到k2，人均产出由y1降低到y2，出现一个k与y同时下降的过渡期(短期)。因此，人口增长率n的提高降低了人均资本k与人均产出y的稳态水平。长期则如式(9.20)的描述：总产出Y的增长率会收敛于n，并随n的变化而变化;n的上升对人均资本k和人均产出y的增长率都不产生影响。这一结论揭示了发展中国家人均产出下降由人口增长率上升引起的现象和总产出水平由于人口增长率的上升而增加的现象，并且解释了两个储蓄率相同的国家，人均收入水平会由于人口增长率不同而不同的原因。

上述分析表明，在没有技术进步的条件下，如果经济增长仅仅是靠资本积累，由于资本的边际收益递减，人均资本的增长将不同步于人均产出的增长，人均产出的增长、生活水平的提高最终还是会趋于停滞^[13]。δ变化对稳态点的影响，读者可以仿此讨论，此处从略。

(二)考虑技术进步时的新古典经济增长模型

上述分析未考虑技术进步，而是出于简化，令ΔA/A=0。而考虑技术进步正是新古典增长模型不同于哈罗德-多马模型的重要之处。技术进步不仅包括生产技术的提高，还包括劳动力与资本质量的改进。考虑技术进步，即允许ΔA/A＞0来对人均经济增长进行讨论。

1.经济增长模型推导

考虑技术进步时，总产出的生产函数可以写成

式中，A为技术进步。一般地，给定资本与劳动，Y与A有正向关系。

A可以在若干位置中以任意一种进入生产函数。为了简化分析，常将总量生产函数假定成如下形式^[14]，并略去对柯布-道格拉斯生产函数的具体推导：

上式中，劳动和技术水平的乘积AN被称为有效劳动，这样引入的技术水平可以比较容易地考虑技术进步对产出、资本和劳动之间相互关系的影响。首先，给定资本存量，技术进步使得获得等量产出所需劳动人数减少;其次，技术进步使经济中有效劳动AN的量提到提高。此时，新古典增长理论对生产函数的假定就变为产出Y是资本K和有效劳动AN的一次齐次函数，则根据齐次函数的性质可以证明：

对式(9.24)两边同乘以λ，有λY=f(λAN，λK)。又设，则有。记，表示有效劳动下的人均产出，，表示有效劳动下的人均资本。于是，Y=f(AN，K)可以改写为y=f(k)，有

表示与之间的关系。当且仅当增长时，才增长。又假设技术进步率，人口增长率，折旧率为δ。

ΔK=I-δK=sY-δK，等式两边同除以AN，考虑上述假设条件，有

因为对其两边取对数，又因为这些变量都是时间t的变量，即

，等式两边再对时间t求导，得

整理，得

两边同除以AN

联立式(9.26)和式(9.25)，有，推出

图9-7　引入技术进步的新古典增长模型

式(9．28)表明，考虑技术进步时，有效劳动下的人均资本增加等于有效劳动下的人均储蓄减去项。项分为三个部分:是为每一新增有效劳动人口需要新增人均资本的部分;δk是每一有效劳动人口的人均资本中需要折旧的部分;gk是因为技术进步需要有效劳动人口新增人均资本的部分。

考虑技术进步后稳态的变化分析，结论仍然成立：储蓄率的上升会提高稳态时人均资本，人均资本的增加会导致人均产出的增加;技术进步的增加会提高稳态时有效劳动下的人均资本，稳态时有效劳动下的人均资本增加会导致人均产出的增加。其稳态的变化图形读者可以仿照图9-4、图9-6画出。

2.从图形及其文字分析中可以得出的几点认识

(1)引入技术进步因素并没有使前述稳态分析的结论产生大的波动;

(2)由前述假定条件就可知，n、δ为常量;

(3)处于稳定状态时，由于，推出按有效劳动平均的资本的增长率为零，进而按有效劳动平均的产量y=Y/AN的增长率为零;

(4)引入技术进步因素后，人均产出增长率只取决于技术进步速度。由于Y=f(AN，K)，并以柯布-道格拉斯生产函数为背景^[15]，整理后有，推出y=f(A，k);对此式两边取自然对数，有lny=θlnA+(1-θ)lnk;等式两边再对时间t求导，可得。从此处可以得出新的认识：引入技术进步因素后，k的增长率为零时仍可以有，人均产出y的增长，y的增长率取决于技术进步A的速率g。

(5)引入技术进步因素后，稳态下的总产出的增长速度取决于(g+n)。因为，对此式两边取自然对数，并对时间t求导，有，可得引入技术进步因素后，稳态条件下有。

表9-2说明了考虑技术进步情况下，新古典增长模型在稳态时，4个重要变量的增长率。

表9-2　具有技术进步的新古典增长模型中的稳态增长率特征

综上所述，可以得出新古典增长理论的主要观点：①稳态中的总产出增长率是外生的，不考虑技术进步时，它等于人口增长率n;考虑技术进步时，它等于g+n;而独立于储蓄率s;②虽然储蓄率的上升将引起人均产出一段时间增长，但不会引起人均产出永远更高的增长，不会影响稳态时总产出增长率，但通过提高资本-劳动比率可以提高稳态的人均产出水平;③在给定的资本和劳动下，稳态的人均产出增长率由外生的技术进步率g唯一决定，并且日益得到证实;④趋同是新古典增长理论最后的总判断：如果两国人口增长率、储蓄率和生产函数相同，它们最终将达到相同的人均收入水平，因此穷国是因为资本少才穷，但如果他们与富国的储蓄率一样，并有机会得到同样的技术进步，他们最终会赶上富国。

(三)黄金分割率

我们已经知道，新古典增长理论中，不考虑技术进步时，人均产出y的增长取决于人均资本k的增长;稳态增长指的是人均资本k、人均产出y不增长而总产出Y随n的增长而增长的一种增长状态。但是，是否可以因此认为k值越大y值的增长就会越好?我们不能忘记推进人均产出y增长的最终目的是使人均消费c最大化。我们需要将注意力从生产行为转移到消费行为。从经济稳态增长的图形(图9-8)可以读出，横轴表示稳态时的人均资本，纵轴表示与稳态相对应的人均产出、人均储蓄和人均消费。如果储蓄率s的取值不同，sy=(n+δ)k可以有多个稳态点。而不同的稳态点对应着不同的人均资本ki，代表着不同的人均储蓄水平，不同的人均储蓄水平的背后是不同的人均消费水平(y-s=c)。如果储蓄率s趋于1，人们几乎储存了个人所有的收入，人均消费c趋于零;如果储蓄率s趋于零，人们几乎没有了所有的收入，人均产出y也趋于零，人均消费c也趋于零。储蓄率在0和1之间一定存在一个值，使得稳态时的消费水平达到最大。因为f(k)代表人均产出曲线，nk(假设δ为零)或者(n+δ)k代表维持简单再生产的曲线，f(k)-(n+δ)k则代表着人均消费水平。例如T、M、X、Q四个点的人均消费水平，按照“人均消费=人均收入-人均储蓄”，即c=y-sy，马上可以算出分别为TT'、MM'、XX'、QQ'，显然四个值不相等。提高人均消费水平是一国经济增长的根本目的。因此，政府需要认真研究目标储蓄率的取值并使用各种政策工具来影响储蓄率，需要找到人均消费水平最大化的人均资本点——人均资本k的选择首先是为了y-sy部分的最大化，而不是只是为了y的增长。也就是说，现在我们要找出sy曲线与nk直线相交时使f(k)-nk部分最大化的交点。美国经济学家埃德蒙·费尔普斯给出了明确的答案：存在一个储蓄率水平s*，使得人均消费c*取最大值。假定不存在折旧，使人均消费水平最大化的交点就是f(k)-nk函数一阶导数为零的点。他的答案被称之为资本积累的黄金率。^[16]这个储蓄率下使消费最大化的稳定状态值k*被称为资本的黄金律水平。

图9-8　经济增长的黄金分割率

假定不存在折旧，则(n+δ)k就变为nk，稳态条件就变为

sy=nk

稳态时，人均消费c就是人均收入与人均储蓄之差，即

c=y-sy

又由于sy=nk，y=f(k)，故可得到

c=f(k)-nk

人均消费c最大化的一阶条件是：f'(k)-(nk)'=0，即：

f'(k)=n

上式就是黄金分割率表达式，其含义为：要想使得稳态时的人均消费最大化，稳态人均资本量的选择就应该使资本的边际产品等于劳动的增长率。

还可以用图9-7表示人均消费最大化时的人均资本量的选择。图中，稳态时的人均消费就是人均收入曲线y与直线nk之间的垂直距离。最大的人均消费量出现在人均资本等于k*的时候。在k*点，y曲线切线的斜率正好等于n，即这条切线与直线nk平行。这种情况下，人均收入曲线y与直线nk之间的垂直距离M'M最大即人均消费最大，M'M表示的人均消费量大于人均资本分别等于¯k、k2时的消费T'T、X'X。T'T、X'X之所以小于M'M，是因为人均资本为¯k、k2时所做的曲线y的切线都不与直线nk平行。这一结论与f'(k)=n式的意思完全相同。

从黄金分割率可知，稳态时，如果人均资本量多于黄金分割的水平，则需要通过消费掉一部分资本使人均资本减少到黄金分割的水平，这就能够提高人均消费水平。反之，人均资本量少于黄金分割的水平，则需要减少消费、增加储蓄，再通过储蓄转化为资本，使人均资本增加到黄金分割的水平。当然，经济运行在当期是否一定要达到稳态水平，取决于决策者对不同时期或者不同代际福利安排的取舍。