评马克·施泰纳的“我们从数学中得到的要比赋予它的多”

马库斯·杜·索托伊

得之多于予之的思想是我从事的这个领域最具吸引力的特点之一。我觉得这个比值在数学中可能比在任何其他学科中更大，这也是我为什么选择了数学而放弃了生物学的一个原因，也许还因为我的记忆很糟糕。一旦你进入这个领域，你只需要一些公理，其他的一切就会奔涌而出。生物和化学似乎总是需要你记住自然呈现的一些东西，这些东西有时似乎是很随意的。

数学家的艺术往往是挑选游戏规则，以便最大限度地放大这个比值。虽然施泰纳在游戏和数学之间做了区分，但我想他在看到以下这些事例后会同样感到满足：围棋“Go”的简单规则带来极其丰富的行棋局面；定义群的三条简单的公理可以带来大魔单群和作为物理学基础的李群。

这让我想起施泰纳的文章所提出的富于挑战性的论点：在抽象的、优美的数学世界与物质的、杂乱的物理学、化学和生物学世界之间存在非凡的协同作用。这也许有点奇怪：如果量子物理学关于世界被量化成离散的碎片的观点是正确的话，那么完美的圆形或直角三角形——数学最基本的对象——可能就没有任何物理实在性可言。我们轻松随意摆弄的无穷大在本质上很可能有限的宇宙中就没有具体的实现对象。但不管怎么说，我们心灵的这些对象到底是如何帮助我们预言混乱的宇宙的未来行为的，这颇令人惊奇。我们创建用来解三次方程的虚数难道与至关重要的描述量子世界的数是同一种数吗？

也许正像施泰纳在回应我的文章时所建议的那样，我们可以有一个拟人化的答案。我们选择我们乐于驾驭的数学。那么数学和带来最初兴奋的源头来自哪里呢？来自对物理世界的描述。埃及人要想知道金字塔的体积，他们需要知道究竟用了多少块砖石。但是要想计算其体积，那就需要发明一种方法，将砖石形状切割成无限多的小块，无限薄的片，这样他们可以重新排列这些石料，使问题变得容易些。于是积分的早期形式便由此产生了。

在实际层面上考虑切割真金字塔这种过程显然是荒谬的。但这样一种从数学世界到我们这个杂乱的真实世界的投射已经建立起来。由于数学世界是以试图描述和预言物理实在来开始其旅程的，因此我们以纯粹抽象的形式所创造的数学，以其固有的内在魅力，会经常发现，这种旅程启程之后自身便被投射到我们这个杂乱的宇宙创生问题中来了就一点也不意外了。

最后一点。有时数学能很好地说明为什么你不能从所投入的对象上得到更多，从实数扩展到复数再扩展到四元数到八元数，但数学家可以证明，这之后你得不到更多的数的种类。同样，李群E6、E7和E8具有非常优美而强大的结构，但数学可以证明为什么这种结构会到此而止，不存在E9。有时候你得到的要比你预料的少。但了解这一点有时像投入少回报多一样令人兴奋。特殊李群之所以特殊，正因为其独特的性质。不过，E8能成为构成实在结构的基本粒子模型还是令人惊异的。大自然肯定有好的鉴赏力。