抽象数概念的初步形成

具体的东西总是在抽象的东西之先。任何抽象都来自于具体。各民族早期表达数的语言，都是非常具体的，是与实物相联系的。这种早期数概念的极端具体性，可以举出不列颠哥伦比亚的辛姆珊族的语言作为一个明显的例子。这种语言共有七种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体；一种用于时间和圆形的物体；一种是用来数人的；一种是用于树木和长形物体的；一种是用于小艇的；一种是用来测量的；还有一种是在没有特定对象时计数用的。最后一种大概是后来才发展起来的。前几种必定是这族人还没有学会计数之前的早期遗物。

离开具体实物的抽象数的产生是一件不容易的事情，具体的、不同质的表达多少的概念结合为统一的抽象的数概念，需要经过多次的抽象过程。

前面我们已经提到人类曾经用到两种方法进行计数。在这种计数过程中，人类已经从具体到抽象迈出了重要的几步。其中，给不同的数起名字，是抽象数形成过程中重要的一环。

在发展计数的最初级阶段，人们恐怕还不会想到使用数的名称。需要表达数时，或者用实际拿在手上或放在脚边的被数物品，或者靠相应的身体动作和手势就行了。这或许是由于早期还缺乏对数命名的必要。因为在早期由于人们只限于把物品进行分配，分配后没有必要再记住出现的数，所以也就不需要数的名称，而只要借助于相应的手势就可以了。事实上，用手势表示数像遗迹一样，长期保存在许多没有产生口头读数的民族里。但是越到后来，单纯依靠手势之类的方式就越行不通了。尤其是，当农业成为生产的主要方式时，人们不仅需要对属于自己的财产计数，而且还要记住它们的数目。大概正是由于这类实际的需要，促使人类走上了创造数的名称的道路。

至于原始人类是如何对数进行命名的，在前面我们已经简单地涉及过了。比如我们提到了汉语中“二”的名称的由来。通过这一例子，我们明白在久远的年代，人类对数的命名是与某些代表集合相联系的。或者可以说数的名称是一些代表集合或其简称转化而来的。

不过，愿意思考并有着怀疑精神的读者可能会问：可是现在从多数数字的读音中我们都已经找不到这种联系的痕迹了，为什么？这或许说明对数的命名发生在较早的时期吧。数字产生的确切时代，虽然无从稽考，但有确凿的证据表明，它的产生比有文字记载的历史还要早好几千年。于是，一种可信的推测是语言的演变歪曲了一些数名的本来面目。

在文字产生之前，人类就已经形成了数的概念。等到表示数的字一经造成并且采用之后，就和它原来所表示的物体一样地可以作为代表了。到后来，因为数的记号和它所假借的物名之间需要有所区别，这样有一方的读音就要改变。在这一变化中，数字的读音没有发生变化，而它所借的实物的名称却不得不发生改变。最终是“鸠占鹊巢”。由于数字所假借的实物的名字，几历沧桑，备经变化。于是在经历了长年累月之后，二者间的联系就被忘却了，以致于我们现在早已无法明白数字现在的读音所代表的实物究竟是什么了。当人类愈来愈依赖语言时，声音就代替了所表示的东西，原来的具体的代表集合便以数字的抽象形式而出现了。

最后一句话似乎有点深奥。让我们举一个例子再解释一下。比如前面提到的“耳（朵）”原来是一个具体的代表集合，即“像人的耳朵一样多”。到后来，“耳”的声音代替了这个具体的集合，慢慢地成了数字“二”的称呼。你看，就这样，原来的具体的代表集合后来开始以数字的抽象形式而出现了。

另一方面，人类对数进行命名的早期，大概还只能限于极少量的数目。对于这些不多的数，大多情况下，不同民族的人们都会按上面所说的方式给它们取互不关联的名字。当后来数目稍微增加时，人们很可能采用了重复已有的简单数词的办法。如在早期人类用于数的单独的名称只有1和2，超过这几个数时，便说3是2和1，4是2和2，5是2和2和1等等。在澳洲的一些部落的语言中，我们就可以看到这种说法的例证。他们对数的命名使用了十分有趣的名称，1是破挂子，2是帆船，3是帆船－破挂子，4是帆船－帆船。你看，只有1与2的名称，却也表示出了1到4或再稍多点的数呢。当数的范围扩大时，人类出于经济的原则并没有对每个新的数都起一个新的名称，而是非常自然地借助于前面已有的数来表示出后面的数。事实上，当原始人如此做的时候，他们已经不自觉地使用了一种重要的观念。这就是后面我们还要介绍的“进位制”。用现在的话来说，就是“满几进一”。在当时，就是只对少数几个数命名，而对稍微多的数就用重复前面几个数的方式来表达。最早的时候，命名的数可能只限于1与2，也就是说，那时人类使用的是二进制。到后来，人类慢慢地发展到了使用手指计数。开始很可能只限于一只手，于是，人们对数的命名范围发生了改变，扩展到了前面五个数。在这种情况下，就可以用：“另一只手上的一个手指”，或“第二个五个手指中的一个”，或“五与一”，来表示数六。同样用“另一只手上的二个手指”或“五与二”等表示数七，等等。在这里，五就成了高一级的单位。而人类也就进入了五进制阶段。在这一阶段，数6、7等还不必使用另外的命名。再到后来，手指计数开始进到两只手了。于是，前面十个数也就慢慢地都有了自己的名称。而对十以上的就借助前面十个数来表示。例如，可以用“两只手上的十个手指和一只脚上的二个脚趾”或“两个手指还剩下一个”来表示11；为了表示数十二，就可以说“两只手上的十个手指和一只脚上的二个脚趾”或“两个手指还剩下二个”，等等。再到后来，人类又很自然地想法使数的口头表达简单化。如数11简化成“脚的一趾”或“还剩下一个”，数12简化成“脚的二趾”或“还剩下二个”等等。在这里，十成了高一级的单位。而人类也就进入了十进制阶段。当然，人类还可以引入更高的数作为高一级的单位。如引入20。这时，数二十三就说“两只手上的十个手指，两只脚上的十个脚趾和别人的三个手指”，或进一步简单说成“别人的三个手指”，等等。

就这样，数的命名与手指、脚、人等天然计数工具联系在一起了。而可以表示五的手，表示十的双手，表示十五的一只脚，表示二十的双手与双脚或人也就都很自然地被原始人所使用，以表示更高一级的单位了。让我们从语言学的角度对此证实一下。

据语言学的研究，英文eleven原意是：还剩下一个。twelve原意是还剩下二个。英文的digit一词含有手指与数字的双重意义。在俄语中5与掌骨有着相似的读音。南美的卡马尤拉部落人把“中指”一词作为数词“三”，他们把“三天”说成“中指天”。新几内亚东南部的巴希亚部落人，把“九十九”说成“四个人死去了，两只手废弃了，一只脚坏掉了，还有四。”

其实，数的命名过程要比上面所述复杂得多。对于更多的细节，我想，我们还是交给这方面的专家解决吧。我们只要了解，在计数的有声时期的较早阶段，各种有声的声音被发展起来了，并且人们利用不同的声音（字）来表示不同的数。例如，三头羊和三个人，“三”这个一般性质的抽象，经过长时间后，由具有某种具体联系的某个独立的声音来表示了。此外，我们需要了解的是，数的命名为形成数的抽象概念提供了巨大的帮助。当把不同类但具有相同数目的一些东西都用一个名称来代替的时候，随着人们对这种名称的重复，人们会逐渐认识到数所具有的独特性：即数是独立于具体事物之外的。比如说人们慢慢地发现两只兔子、两只野猪或两个果子，虽然在具体物上有着极其大的区别，但是在这种不同之外却有着某种共同的东西。

让我们来设想这样的过程。

一个原始人问另一个原始人：“今天打了几只兔子？”

另一个回答说：两只。

又一次，问题变成：今天打了几只野猪？

回答是：两只。

再一次，问题变成：今天采到了几个果子？

回答是：两个。

……

这样问答的重复，一定会使得原始人感到非常奇怪：对于完全不同的事物怎么会有相同的回答呢？即使智力水平还不高的原始人也会慢慢地意识到这其中有着某种相同的东西。现在我们已无法推测原始人是从何时开始意识到这一点的了。或许当意识到这一点时，他们会感到非常震惊吧！回想一下：当我们小时候刚开始考虑学数的时候，在三个苹果、三位叔伯、三朵花等不同的事物间忽然领悟到其中有某种共同的东西存在时，我们有什么感受？当然，很可能这种感受由于过于久远，已经从我们的记忆中消失了。确实，由于我们通常很早就与数打交道，以致于对自己领悟到“数可以离开具体事物而独立存在”时的惊讶美妙感觉已经遗忘了，对数这一概念的极端抽象性似乎也因为熟视无睹而没有什么感觉了。

数，实际上是一个极其抽象的概念。“三个”的抽象导致了数3这一概念的形成，这一过程不可思议之处在于世界上并没有任何东西是数字3，它是一个纯粹抽象的概念！当我们说到数3或任何其他数的时候，我们并没有不舒适的感觉，这只是因为我们已经熟悉了它。当你试图不用词来解释数3是什么时，你就会认识到这个概念是多么的抽象。由此可见，数的概念与其他概念的不同在于数的概念必须要经过多次抽象才能得出。一般人常说，数学太抽象，实际上正是如此。抽象数的概念的初步形成就花费了人类何等漫长的时间啊！正如罗素生动描述的那样：“不知道要经过多少年，人类才发现一对锦鸡和两天同是数字2的例子。”

但不管怎么说，经过长期艰苦的努力后，原始人毕竟初步形成了抽象数的概念。不过，抽象数概念的最终确立还有一步要走，这就是记数符号的使用。这正是我们要经过的下一站。