现代数论的新纪元

1801年，年仅24岁的高斯出版了《算术研究》，从而开创了现代数论研究的新纪元。书中出现了有关正多边形的作图，方便的同余记号、二次型理论、类数问题以及优美的二次互反律的首次证明，他还把复数引入数论，即后人所称的高斯整数环。除了第7章（最后一章）给出代数基本定理的首次严格证明（他的博士论文结果）以外，其余各章讲的都是数论。在这部著作出版以前，数论只有若干零散的定理和猜想，高斯把前人的结果和自己的原创性工作结合起来，使其成为有机的整体和一门严格的数学分支。

值得一提的是，这部伟大的著作在他21岁时即已完稿，高斯曾把他寄到法国科学院，却遭到拒绝，但他自己将它出版了（费迪南公爵支付了印刷费）。与高斯的前期论文一样，它是用拉丁文写成的，这是当时科学界的世界语，然而由于受19世纪初盛行的国家主义的影响，高斯后来改用德文写作。此书当年极少有人读得懂，可是，年长的拉格朗日在巴黎看到后即致函高斯祝贺：“您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。”晚辈同胞、直觉主义先驱克罗内克则赞叹其为“众书之王”。在那个世纪的末端，德国数学史家莫里茨·康托尔这样评价道：

《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作，这给科学带来的好处是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要。他的出版物就是法典，比人类其他法典更高明，因为不论何时何地从未发觉出其中有任何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到他青年时代第一部巨著时说的话：“《算术研究》是历史的财富。”他当时的得意心情是颇有道理的。

在《算术研究》出版的第二年，高斯就当选为圣彼得堡科学院外籍院士，同时俄国方面也向他提供了教授职位，但被他婉言谢绝了，那座城市是18世纪大数学家欧拉钟爱的第二故乡。直到四年以后，为了不使德意志失去这位最伟大的天才，包括洪堡在内的多位学者和政要联名推荐，高斯被破格聘任为哥廷根大学数学教授兼天文台台长，全家一起搬入新落成的天文台，他担任这个职位直到去世。

关于《算术研究》，流传着这样一个故事。1849年7月16日，哥廷根大学为高斯获得博士学位五十周年举行庆祝会。当进行到某一程序时，高斯准备用《算术研究》的一张原稿点烟，当时在场的柏林大学教授狄利克雷像见到犯了渎圣罪一样吃了一惊，他立刻冒失地上前从高斯手中抢下这一页纸，并一生珍藏它；他的遗著编辑者在他死后从其文稿中间找到了这张原稿。

狄利克雷比高斯小27岁，他上大学那会儿，整个德意志民族只有高斯一个有名望的数学家，却不怎么喜欢教学。狄利克雷只好远赴巴黎留学，师从法国数学家傅里叶和泊松，但他始终携带着高斯的《算术研究》，可以说是第一个真正读懂这本书的人。留学巴黎期间，狄利克雷证明了费尔马大定理在指数为5和14时成立。这个结果当年曾轰动一时，因为3和4的情形分别是由欧拉和费尔马本人解决的。狄利克雷后来娶了同胞作曲家门德尔松的妹妹为妻，在高斯去世以后，他被哥廷根聘请继任了高斯的职位。

与艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品，任何丝毫的改变都将破坏其内部的均衡。他常说：“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除干净。”高斯对于严密性的要求也非常苛刻，这使得一个定理从直觉的形式到完整的证明，中间有一段漫长的过程。此外，高斯十分讲究逻辑结构，他希望在每一个领域中，都能树立起一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来。鉴于上述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西。他的著名警句是：“宁肯少些，但要成熟。”为此，高斯付出了高昂的代价，包括把非欧几何学和最小二乘法的发明权与罗巴切夫斯基、鲍耶和勒让德共同分享，就如同费尔马把解析几何和微积分的发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼茨。

说到鲍耶，他是匈牙利历史上最伟大的数学家，其父亲老鲍耶也攻数学，是高斯在哥廷根念书时最要好的朋友。1797年，他曾陪同高斯徒步到不伦瑞克探望高斯的双亲。等到高斯走出房间，他的母亲迫不及待地询问鲍耶自己儿子的前途如何。当听到回答“他是全欧洲最伟大的数学家时”，老人家已经老泪纵横，那年高斯才20岁。老鲍耶毕业后回到匈牙利娶妻生子，但在随后的半个世纪里仍与高斯保持书信往来。当他把儿子发明非欧几何学的消息和结果告诉老同学时，并没有得到足够的鼓励和任何帮助。小鲍耶后来郁郁寡欢，默默无闻地度过一生，晚年专心于文学创作。

从做出有关正多边形发现的那天起，高斯便开始了著名的数学日记，他以密码式的文字记载下许多伟大的数学发现，共持续了18年。有意思的是，高斯的这本日记直到1898年才被找到，它包括一百多条很短的注记，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。例如，关于正多边形作图问题，高斯在日记中含蓄地写道：

圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分。

值得一提的是，这项结果在两个月后出版的《新知文献》杂志上就发表出来了，而当时的汉诺威科学并不发达。又如1796年7月10日的记载：

num = △ + △ + △

意指“每个自然数均可表示为不超过三个三角形数之和”。此处三角形数是指按点排列可以构成正三角形状的数，例如1、3、6、10、15……这是17世纪法国数学家费尔马猜想的一个特例，后者说的是，当n大于2时，每个自然数均可表示成不超过n个n角形数之和。高斯还在这条日记旁边写上“Eureka！”—即“我发现了！”这是阿基米德在浴桶里悟出浮力定律时说的话。就像莫扎特一样，高斯年轻时候风起云涌的奇思妙想使他来不及做完一件事，另一件又出现了。