闵可夫斯基(H.Minkowski)说:整数是全部数学的基础.每个人最初接触的都是正整数——自然数.为了看清楚数字与数学文化的联系.这里先简要介绍数论(数字的理论)的相关知识.
2.1.1 关于数论
数论是研究整数性质的一门数学分支.数论包括初等数论,解析数论,代数数论,丢番图(Diophantus,公元250年左右)逼近,超越数论等.现代数论已经深入到数学的一切分支.
数学王子高斯说:算术给予我们一个用之不尽的、充满有趣真理的宝库.这些真理不是孤立的,而是以相互最密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功的进展,我们不断地发现这些真理间的新的、完全意外的接触点.
事实上,初等数论以算术方法为主要方法.初等数论中某些问题的研究促成新的数学分支的产生.近数十年来,初等数论在计算机科学,组合数学,代数编码,计算方法,信号的数字处理等领域内得到广泛的应用.
数论的特点:表面简单,实际难.所谓表面简单,是因为数论的主要定理的表达都不难理解.但证明起来,却需要极其艰深和复杂的数学工具,比如费尔马猜想、哥德巴赫猜想.许多中学生都想试一试.所以,这里必须指出,研究经典数论问题必须有坚实的数学基础,否则会劳而无功,浪费青春.
2.1.2 数论的基本知识
1.正整数,负整数,零统称为整数.
2.b被a(a≠0)除时,如果余数是0,即存在整数q,使得b=aq,则称a整除b,或者b可以被a整除,记做a|b,此时也称b是a的倍数,a是b的因数.
3.大于1且除了1和它自身外无其他因数的整数称为素数(或质数),1以外的非素数称为合数.
4.将整数表示为一些素数的乘积称做互素因数分解.
5.整数a1,a2,…,an的公共倍数称为a1,a2,…,an的公倍数.最小的正公倍数称为最小公倍数,记为[a1,a2,…,an].
6.整数a1,a2,…,an的公共因数称为a1,a2,…,an的公因数.最大的公因数称为最大公因数,记为(a1,a2,…,an).
7.当(a,b)=1时,称a和b互素.
8.设m为正整数,若整数a和b之差可以被m整除,称a和b关于模m同余.记做a≡b(mod m).
9.不大于a而与a互素的数的个数叫做Euler函数.
10.(算术基本定理)每个大于1的整数要么是素数,要么是若干素数的乘积,一个数的素因数分解式是惟一的.
这说明分解的方法可以是多种多样的.特别对大合数更是如此.但一个重要的事实是,不管这种素因数分解是如何实现的,除了这些因数的次序外,所得的结果总是一样的,即在同一个数的任意两个素因数分解中,素数是相同的.且每个素数均出现相同的次数.
例
60=4×15=2×2×3×5
60=30×2=15×2×2=3×5×2×2
11.(欧几里得算法)设a,b为两个整数(a≥b),则存在两数q,r≥0,使得
a=bq+r其中r=0或r<|b|.
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