用淘汰制进行的比赛场数的计算

用淘汰制进行的比赛场数的计算

如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50个，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢?一共赛几轮呢?如果你是比赛的主办者，你会安排吗?

因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从2³=8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4(2²)、8(2³)、16(2⁴)、32(2⁵)、……，那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如先报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如，上例的刃在32(2⁵)与64(2⁶)之间，而50－32=18。那么，第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛，产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共是:18+16+8+4+2+1=49，恰恰比50少1。

我们再来看看世界足球赛的例子。98法国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行小组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢?32正好是2⁵，因而总的场数是16+8+4+2+1=31，也是比32少1。

不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2ⁿ大，但比2ⁿ⁺¹小，那么，就需要进行n+1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M－2ⁿ，第一轮比赛淘汰M－2ⁿ后，剩下的人数为M－(M－2ⁿ)=2ⁿ。以后的n轮比赛中，比赛的场数为:

2^n－1+2^n－2+2^n－3+…+2³+2²+2+1

=(2^n－1+2^n－2+2^n－3+－2³+2²+2+1)×(2－1)

=(2^n－1+2^n－2+2^n－3+…2³+2²+2+1)

=2ⁿ－1

所以，一共比赛的场数是(M－2ⁿ)+(2ⁿ－1)=M－1，即比参加的人数少1。

其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就是淘汰M－1人，所以就得比赛M－1场。你明白了吗?

现在请你自己来安排一次乒乓球比赛，报名参加男子单打的有158人，报名参加女子单打的有96人，应该进行多少场比赛?怎样安排这些比赛呢?