常用数据处理方法

第四节　常用数据处理方法

正确处理实验数据是实验能力的基本训练之一。根据不同的实验内容、不同的要求，可以采取不同的数据处理方法。下面介绍物理实验中较常用的数据处理方法。

一、列表法

列表法是记录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于查对，列表法是记录的最好方法。列表要求：

（1）表格设计要尽量简明、合理，重点考虑如何能完整地记录原始数据及揭示相关量之间的函数关系；

（2）各标题栏中应标明物理量的名称（或符号）和单位；

（3）数据填写要正确反映测量数据的有效数字，而且数据书写应整齐清楚；

（4）与表格有关的说明和参数。包括表格名称，主要测量仪器的规格（型号、量程及仪器误差等），有关环境参数（温度、湿度等）和其他需要引用的常量和物理量。

二、作图图解法

作图图解法就是把测得的一系列相互对应的实验数据及变化的情况在坐标纸上用图线直观地表示出来，然后由实验图线求出被测量值和经验公式。

1.作图规则

（1）作图一定要用坐标纸。应根据具体的实验选用不同的坐标纸。一般有直角坐标纸、单对数坐标纸、双对数坐标纸、极坐标纸等。

（2）选好坐标纸大小和合理标注坐标分度。合理选轴，正确分度，是一张图做得好坏的关键。坐标纸大小的选择和坐标轴单位的标定，应根据测量数据有效数字位数及结果需要来确定。原则上应该使坐标纸的最小格对应于有效数字的最后一位可靠数字，数据中可疑的一位数字在图中应能估计标出。

要适当确定坐标轴的起点和比例。坐标起点不一定从0开始，可以用低于原始数据最小值的某一个整数作为坐标分度的起点，用高于测量数据的最大值的某一整数作为终点。分度比例一般用坐标纸的一小格表示被测量的最后一位的1个单位、2个单位或5个单位、10个单位较好，以便于换算和描点，要避免用一小格表示3、7、9个单位。

（3）标点与连线。根据测量列的测量值，用尖笔在规划好的坐标系上以小“×”（或其他准确清晰的标志）逐个标出各数据点，要使各数据点对应的坐标准确落在小“×”标记的交叉点上。若在一张图纸上要画出几条不同的曲线，每条曲线可采用不同的标记，如用“⊙”“◇”“□”“△”“＋”等等，以示区别，并在适当位置上注明各符号代表的意义。注意，描点时，交叉点和中心点应是数据的最佳点。连线一定要用直尺或曲线尺等作图工具。根据具体情况，确定用何种曲线。若校准电表，采用折线联接每个数据点。而在大多数情况下，物理量在某一范围内连续变化，故采用光滑的直线或曲线。由于测量存在误差，所以曲线并不一定要通过所有的数据点。但描绘曲线时，应尽可能通过或接近大多数数据点，并使数据点尽可能均匀对称地分布在曲线的两侧。有些点不在曲线上，是测量误差的表现，是正常现象。对于个别偏离过大（大于3Sx）的数据点应当舍去并进行分析或重新测量核对。

（4）图名和图注。应在图的上方或下方标明图的名称，并在适当的空处工整地标注必要的条件和说明，以及作者的署名和日期等。

2.图线的线性化——曲线改直

当物理量之间的关系比较复杂时，可对变量进行变换，使非线性函数关系变成线性关系，使曲线图改成直线图，这样，可使对物理量之间的关系分析变得简单，并且容易从变换后得到的直线中求得有关参数。例如，用单摆测重力加速度g，摆长l和周期T之间的关系式为T²＝T～l为非线性关系，但T₂～l则为一线性函数，斜率为

求直线斜率和截距的具体做法是，从拟合直线上取两点（不取原数据点）；两点相隔要远一些，取点的坐标应在图上标出。

3.用作图图解法求经验公式

建立经验公式的一般步骤：

（1）据理论的推断或从实验数据的变化趋势，应用解析几何知识来判断图线的类型和函数形式；

（2）用坐标变换把原曲线改变为直线；

（3）定常数，建立起经验公式的形式，并用实验数据检验所得公式的准确度。

三、逐差法

逐差法也是一种常用的数据处理方法。

设两个物理量之间的函数关系为线性关系y＝ax＋b，在取自变量等间隔变化时作2n次测量，得到2n个实验数据（x_i，y_i），i＝1，2，…，2n。如果把2n个因变量数据y_i按测量顺序从中间分为两组：y₁、y₂、…y_n，y_n＋1、y_n＋2、…、y_2n，则两组对应项的差值平均值计算式为

像这样把全部的实验数据分为两组，取两组对应项的差值后再求平均的方法，就叫做逐差法，它的优点是充分利用数据，减小误差。

注意：逐差法要求自变量等间隔变化而函数关系为线性。

例4-3　弹性模量实验数据如表1-4-1所示。已知每次加减砝码质量m_i＝（0.500±0.005）kg。标尺刻度不确定度为Δr＝±0.3mm。求标尺读数与砝码质量之间的线性比例系数a。

表1-4-1　负载与标尺刻度变化之间的关系

解：将8个数据分成两组，j＝1，2，3，4，

测量结果：a＝（23.05±0.06）kg/mm

逐差法运算简单、物理内容明确、方法易掌握、常用，应很好掌握。

四、最小二乘法

一元线性回归（又称直线拟合）是一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。其基本原理是：若能找到一条最佳的拟合直线，那么这拟合直线上各点的值与相应的测量值之差的平方和，在所有的拟合直线中应该是最小的。

假设测量值是x₁、x₂、…x_n，y₁、y₂、…y_n，其中x_i值的误差很小可略，而主要误差都出现在y_i上，且测量值（x_i，y_i）符合线性关系：

则按最小二乘法原理，所测各y_i值与最佳拟合直线上相应的点y_i＝ax_i＋b之间偏离的平方和应满足下式：

上式中各y_i和x_i是测量值，都是已知量，而a、b是待求的。令表示x的平均值，即表示y的平均值，即：表示x₂的平均值，即表示xy的平均值，可求得：

a、b被称为回归系数。由上式求出的a、b所确定的方程y＝ax＋b就是由实验数据（x_i，y_i）所拟合出的最佳直线方程。

习　题　四

（1）处理实验数据的基本方法有哪些？

（2）用作图法处理数据，对作图的要求主要有哪些？

（3）使用逐差法的条件是什么？

（4）有伏安法测电阻的实验数据记录于下表

①用作图法作出U—I曲线，并求出R。

②用逐差法求R。

③用线性回归法求R。