匹配追踪信号展开

第五章　基于DT−CWT的匹配追踪特征信号提取及其在滚动轴承故障诊断中的应用

上一章构造了众多的互为Hilbert变换对的小波，本章以这些小波为选择对象，提出了一种基于DT−CWT的匹配追踪特征信号提取方法，并将其应用于滚动轴承的故障诊断中。

旋转机械是设备状态监测与故障诊断的重点，而旋转机械的故障有相当大比例与滚动轴承有关。滚动轴承被广泛地应用于各种工业现场中，其运行状态直接影响整体设备的工作性能。因此，滚动轴承的早期故障诊断具有十分重要的意义。

振动分析广泛地应用于滚动轴承故障诊断之中，相应的振动信号处理技术蓬勃发展。Y.F.Wang与P.J.Kootsookos针对低速滚动轴承故障诊断提出了包络自相关技术[118]，杨江天利用双谱分析有效地分析了滚动轴承外环故障与转子不对中故障[119]。这些研究表明，传统的Fourier变换可有效地分析平稳信号（很多方法如包络分析、双谱分析等都需要用到Fourier变换）。而对于众多的非平稳故障信号采用小波变换能起到好的分析效果，如文献[120～123]利用小波变换结合其他信号处理方法有效地提取了滚动轴承故障特征，K.Mori等使用DWT分析了滚动轴承外环、内环故障[124]。但是一般的小波分析方法往往是采用给定的小波参数，把信号分解到各个频带，然后对信号做进一步的分析；或者是通过小波滤波方法。现有小波滤波方法大致可分为3类[125]：（1）小波域相关滤波，利用信号小波系数在各尺度间具有相关性来进行滤波；（2）基于奇异性检测的滤波，利用信号和噪声具有不同的奇异性来进行滤波；（3）小波域阈值滤波，根据幅值较大的系数由重要信号产生这一假设来进行滤波。G.K.Chaturvedi和D.W.Thomas利用自适应降噪技术使得统计分析及谱分析对滚动轴承的故障诊断更加有效[126]，P.D.McPadden与M.M.Toozhy将时域同步平均技术与高频共振解调技术相结合分析滚动轴承振动信号[127]。这些滤波方法在实际应用中均取得了很好的效果，但在有些地方也不尽如人意。匹配追踪方法是Mallat 等人在1993年提出的一种自适应的信号分解算法[128]，因为它可以精确重构，所以如果在重构时进行处理那么它也可用于降噪，从而达到提取信号的目的。本章由此提出一种基于DT−CWT的匹配追踪特征信号提取方法。

匹配追踪方法是处理非平稳信号的有力工具。其思想是把信号在一个冗余的原子库上展开，选择和信号匹配的原子来实现信号的自适应表示，也可以说是把信号表示成与信号结构匹配的波形（原子）的线性展开，能够利用较少的原子准确描述信号特性。如果原子与信号成分相似，则能有效提取出信号中的特征。因此对于待处理信号，选择合适的原子非常重要。本章提出互为Hilbert变换对的小波作为待用原子库。

匹配追踪方法目前已在信号处理中得到了大量应用，用来实现信号的参数估计、特征提取、分类和故障诊断等[129～131]。由理论分析可知，当滚动轴承的工作表面出现缺陷时，会以一定的通过频率产生一系列的宽带冲击，这些宽带冲击将激励轴承系统产生一系列的冲击衰减响应[68]。本章利用互为Hilbert变换对的小波原子库，对仿真信号和试验得到的信号分别用匹配追踪方法进行了处理，并和基于DWT的匹配追踪方法结果进行了比较。结果表明基于DT−CWT的匹配追踪方法能更有效提取状态信号中的周期性冲击故障特征，在低信噪比时能获得比小波变换等其他方法更多的特征信息，有利于更加有效地解决机械设备的状态监测和故障诊断问题。

第一节　匹配追踪信号展开

信号展开的目的是将信号表示为一系列基元函数的线性组合[51,128]：

式中：x(t)为待分析信号，an为展开系数，ϕn(t)为基元函数。

在有些情况下，人们更重视信号与选取的基元函数之间的相似性，为此可通过计算信号与基元函数的内积来获得展开系数，从而完成对信号的展开。式（5.1.1）中的展开系数an反映了信号x(t)与基元函数ϕn(t)之间的相似性。匹配追踪就是通过计算残余信号在选取的基元函数上的投影而逐次将信号分解来完成的。在每一步分解过程中都要在基元函数集合中选取与信号有最好匹配的基元函数，即选取与信号最相似的基元函数。

设选取的基元函数集合{ϕn}是完备的，且每个基元函数具有单位能量，即范数

定义原始信号x(t)的残余信号为xn(t)，n=0, 1, 2, …。

首先，当n=0时，令第0次残余信号x0(t)=x(t)。然后在基元函数集合中选取ϕ0(t)，使其与x0(t)最相似，展开系数为

上式说明在基元函数集合中选取与x0(t)的内积最大的基元函数作为ϕ0(t)，并将该内积作为展开系数a0。

其次，确定了a0与ϕ0(t)之后，可由式（9.4）计算下一步残余信号，即第1次残余信号x1(t)：

x1(t)=x0(t)−a0ϕ0(t)

以及信号x(t)的第1次近似展开式

x(t)=a0ϕ0(t)+x1(t)

类似地，可继续对x1(t)进行分解，求得a1与ϕ1(t)，以及第2次残余信号x2(t)。一般的，对于第m次残余信号xm(t)，可得展开系数am：

和第m+1次残余信号xm+1(t)：

xm+1(t)=xm(t)−amϕm(t)

文献[128]同时表明：匹配追踪信号分解算法对基元函数没有特定要求，几乎任何函数都可作为基元函数，因而为其应用提供了极大的灵活性。

第二节　基于DT−CWT的匹配追踪信号提取方法

从上节中可以知道：几乎任何函数都可作为匹配追踪方法的基元函数，基元函数最常用的选择就是小波基元函数。而且该方法在每一步都要计算残余信号，文献[128]证明这个残余信号的能量按指数衰减。这说明残余信号与给定的小波基元函数越来越不匹配，如果设定一个阈值，滤掉这不匹配的残余信号，则得到与给定小波更为匹配的信号，从而达到降噪或特征提取的目的。另外，由于DT−CWT相比于DWT有某些优势，所以本章选择互为Hilbert变换对的小波作为基元函数。

基于DT−CWT的匹配追踪信号提取方法步骤具体如下：

（1）选取与被分析信号x尽量匹配的小波对；

（2）设定阈值或循环次数，以及分解层数；

（3）把x用DT−CWT分解，分别得到两棵树的小波系数c1和c2，找出c1和c2中各自的绝对值最大系数c1max和c2max；

（4）令c1max和c2max为1，其余系数为0，分别进行逆DT−CWT得信号s1和s2；

（5）按得到第1次的残余信号x1；

（6）把x1当作x(t)，重复步骤（3）、（4）、（5）；

（7）当c1max和c2max中的最大值小于设定的阈值或达到指定循环次数时，循环终止；

（8）保留以上步骤中所选出的所有最大值及其位置，把其余的所有系数设为0，进行逆DT−CWT即得处理后的信号。

基于DT−CWT的匹配追踪信号提取方法流程图如图5.1所示。

图5.1　基于DT−CWT的匹配追踪信号提取方法流程图

第三节　基于DT−CWT的匹配追踪信号提取方法的应用实例

一、仿真信号

图 5.2 和图 5.3 为仿真的冲击信号及其叠加高斯白噪声的信噪比约为−7.5dB左右的染噪信号、用基于DWT的匹配追踪方法提取的信号以及用基于DT−CWT的匹配追踪方法提取的信号。比较对应的结果可知：基于DT−CWT的匹配追踪方法与基于DWT的匹配追踪方法相比，前者可以得到更好的冲击信号提取效果。

图5.2　原始无噪冲击信号（5个冲击）及其染噪信号、基于DWT的匹配追踪方法提取信号、基于DT−CWT的匹配追踪方法提取信号

图5.3　原始无噪冲击信号（7个冲击）及其染噪信号、基于DWT的匹配追踪方法提取信号、基于DT−CWT的匹配追踪方法提取信号

二、滚动轴承故障信号

大量的现场监测结果分析表明，被广泛采用的频谱分析技术直接用于轴承故障诊断，收效甚微[132]。文献[133]用具有最优时—频分辨率的高斯窗口函数来构造时频原子，首先对局部损伤轴承的振动信号进行分解，然后在高频段对小尺度原子波形进行重构，从而提取到高信噪比的高频共振故障脉冲响应信号。文献[134]用指数衰减正弦波函数作为基元函数，用于往复机械冲击响应信号的分解及故障特征参数的提取，还用于转子试验台冲击响应信号的提取。本章采用互为Hilbert变换对的小波基元函数，利用两棵树这两个不同系统的综合信息来更有效地对信号进行匹配。

1. 滚动轴承故障特征频率计算

滚动轴承是机械设备中最常用也是最易损坏的零件之一。旋转机械中发生的故障有7%是因滚动轴承故障而引发[68]。滚动轴承是发动机的承力单元，除转速高、负荷大外，工况也极端恶劣。对它的故障诊断近年来获得越来越多的重视。在球轴承中，故障90%发生在内环与外环上，其他故障则基本发生在滚动体上，很少发生在保持架上。

正常滚动轴承在回转过程中所产生的振动是随机的，含有滚动体的传输振动，其主要频率成分为滚动轴承的特征固有频率。当发生故障时，其特征频率根据轴承的结构参数计算如下：

（1）内圈回转频率fi=f=N/60；

（2）保持架回转频率

（3）保持架通过内圈频率

（4）滚珠通过内圈频率fBi=nfci；

（5）滚珠通过外圈频率fBo=nfc。

式中，N为轴的转速，D为轴承节径，d为滚动体直径，β为接触角，n为滚珠数量。

当轴承出现故障后，滚动轴承的振动加剧，相应地使以上某个频率成分明显加强或幅值加大，并且故障引起的振动使得在振动信号中存在着周期性冲击。

2. 试验装置介绍

为验证本章提出的匹配追踪信号提取方法在故障诊断中的有效性与实用性，对滚动轴承试验台上常见的故障进行了试验分析。试验数据来自美国the Case Western Reserve University（CWRU）轴承数据中心网站[135]。目前，CWRU轴承数据中心网站的试验数据作为一种轴承故障诊断新方法的试验测试数据集，已得到充分的检验[136～139]。

在试验装置（如图5.4所示）中，1.5kW的三相感应电机通过自校准联轴节与一个功率计和一个扭矩传感器相连，最后驱动风机进行运转。电机的负载由风机来调节。将振动加速度传感器垂直固定在感应电机输出轴支撑轴承上方的机壳上进行数据采集。

模拟的轴承局部损伤（坑点）是由电火花机在轴承内圈人工加工制作，滚动轴承型号是SKF6205。轴承的尺寸参数和特征频率如表5.1和5.2所示。本章试验中选择内圈有直径为0.53mm（0.021英寸）微小坑点的振动信号（转速为1 730r/min，轴频为28.8Hz，内圈故障频率156.1Hz）。信号的采样频率为12kHz，采样长度为1 024点。

图5.4　轴承故障模拟试验台

表5.1　SKF 6205轴承尺寸参数 单位：inch

表5.2　SKF 6205轴承特征频率（相对转速的倍数）

本试验分析中所用到的小波为图4.1所示的小波对。

轴承内圈损伤的信号及对其进行匹配追踪信号提取得到的结果如图5.5所示，局部放大效果如图5.6所示。其他小波方法降噪得到的结果如图5.7所示。

理论上，轴承内圈损坏时两个冲击之间的间隔周期T=1/156.1=0.006 4(s)=6.4 （ms）。图5.6（c）中出现了比较明显的周期性，并且这6个周期的时间间隔为6T≈45−6.5=38.5（ms）≈6×6.4，与理论值基本吻合，而图5.5（b）、5.6（b）中则没有明显的周期性。由此可知：相比于基于DWT的匹配追踪提取方法及其他方法（如图5.7所示），本章方法较好地提取了故障特征。

图5.5　轴承故障原始信号及其基于DWT和DT−CWT的匹配追踪提取信号

图5.6　图5.5的局部放大图

图5.7　基于阈值的小波方法降噪信号