相关分析与回归分析的区别和联系

4.7　相关分析与回归分析的区别和联系

相关分析研究变量之间关系的密切程度；回归分析研究自变量与因变量之间的变动关系，用一个合适的数学模型近似地表达其相互间的关系。回归分析是相关分析的拓展，相关分析是回归分析的基础——对于没有相关关系的变量，也就没有必要进行其回归分析。

相关分析与回归分析在实际应用中有密切关系。然而在回归分析中，人们所关心的是一个随机变量Y对另一个（或一组）随机变量X的依赖关系的函数形式。而在相关分析中，所讨论的变量的地位一样，分析侧重于随机变量之间的种种相关特征。例如，以X、Y分别记小学生的数学与语文成绩，相关分析感兴趣的是两者的关联度如何，而不在于由X去预测Y。

两者的区别主要在以下几点。

1.概念上的区别

相关是指一个变量的值与另一个变量的值有连带性。相关关系研究的是变量之间不确定的依存关系的密切程度，其中线性相关分析是研究变量间线性关系强度的分析。

回归分析是把一些变量作为所控制的变量（自变量），而另一些与自变量有相关关系的随机变量作为因变量，以确定自变量和因变量之间定量关系的统计分析方法。

2.研究目的上的区别

相关分析的目的是要测量变量间关系的密切程度和变化的方向。

回归分析的目的是要找出使误差最小的回归参数，由所控制的变量（自变量）来估计或预测因变量的数值。

3.研究手段上的区别

相关分析是通过一个统计量——相关系数来描述变量间关系的密切程度的，它不区分自变量和因变量，变量之间的关系是对等的。

回归分析是通过建立变量间一个数学模型来描述它们间确定的数量依存关系。因此，回归分析必须根据研究目的、对象性质确定哪些变量是控制变量（即自变量或解释变量），哪些变量是因变量，通过控制或给定的自变量的数值来估计或预测因变量的数值。回归方程中的变量是不对等的。

一般情况下只能从自变量去推测因变量，不能从因变量去推断自变量，如果回归方程的精度不够高，从因变量推断自变量会带来较大误差。回归方程中的变量关系是不对等的。见例4－7的讨论。

4.作用上的区别

研究多个变量的相互关系时，相关分析是用复相关系数描述所有自变量与一个因变量的关系密切程度。R值越大，表示相关程度越高。而R的平方值称为决定系数，具有消减误差的意义。比如R2＝0.8表示自变量x₁，x₂，x₃对因变量Y的联合效果较大，能够消减Y的误差的80%，但不能以变量x₁，x₂，x₃来估计或预测变量Y的数值是多少，也不能知道哪一个x对Y的影响力较强。

而回归分析既可用x₁，x₂，x₃去估计或预测Y，还能给出每个x对Y的影响能力的大小。

5.相关系数与回归系数的区别

相关系数可提供如下信息。

（1）变量间的协变关系——根据相关系数的正负号可以判断两变量变化的趋势是相同还是相反。

（2）消减的误差大小。

（3）变量间向量方向——当相关系数＞0时，变量间的向量夹角＜90°；相关系数＜0时，变量间的向量夹角＞90°。

（4）变量间的关联强度——相关系数的大小反映两变量间关联强度的强弱。

回归分析的回归系数b（假定是一元线性回归y＝a＋bx）表示x对y的影响能力，对于互为因果的x和y，如果选择的因变量不同，则可能存在不同的回归系数（方程），比较例4－7与例4－2的回归方程可以证实这点。

相关系数的取值范围在－1至1之间，当r取正值时为正相关，当r取负值时为负相关。相关系数具有对称性。

回归系数b的取值范围不限于－1至1之间。当b取正值时，表示x对Y有正向效果，即x增大，Y也增大；当b取负值时，表示x对Y有负向效果，即x增大，Y却减小，回归系数不具有对称性。

相关系数不因变量的测量单位变化而变化，回归系数则随变量的测量单位的改变而变化。

总之，相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来了解变量之间数量变化的相关程度。只有当自变量和因变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前，就进行回归分析，很容易造成毫无意义的“虚假回归”（见例4－1）。因此，在具体应用过程中，只有把相关分析和回归分析结合起来，才能收到良好的效果。