薛定谔理论述要

想象一个表面覆以波纹的亚以太，波纹的振动频率比可见光的振动频率快一百万倍——太快了不能为我们的宏观实验所发现。单个波纹超出了我们的视野，我们能够辨识到的是一个组合效应——在波纹汇聚和合并时，波纹合力形成一个比单个波纹的涟漪要大，但从我们自己巨人的角度看仍然很小的的干扰区域。这一干扰区域被辨识为一个物质粒子，特别地，它可以是一个电子。

亚以太是一种弥散介质，亦即波纹不会都以相同的速度传播。譬如水的涟漪，其速度决定于它们的波长或周期，周期较短的波传播得更快，此外，速度可由局部条件加以修正，这种修正是经典物理学的力场在薛定谔理论里面的一个对应物。这很容易理解，如果我们把一切现象都归于波动传播，那么一个物体对其周围的现象的影响（通常描述为物体存在所产生的力场）必然包括在围绕它的区域内对波动传播的修正。

我们不得不把亚以太中的这些现象与在我们宏观经验的平面中的现象关联起来，如前所述，一个局部的风暴区域被我们探测到作为一个粒子，就此而言，我们现在要附加一点，即构成扰动波的振动频率（每秒振动次数）被认为是粒子的能量。我们现在将试图解释，振动周期是如何设法以这种奇特的变色龙方式把它自身展示给我们。但是不管它如何变化，把亚以太中的振动频率视为宏观经验中的能量这个认识，立即就给出了周期和能量之间成为h规则的恒定关系。

通常，亚以太中的振动太快以致不能直接探测，它们的频率通过影响传播速度显现到通常经验的平面，原因在于（如上所述）传播速度依赖于波长或频率。用ν表示频率，那么表示波动传播法则的方程式将包含ν的一项。公式另一项表示对周围存在的物体发出的“力场”所产生的修正。这能够处理成一种假的V，由于它是经由与V所用的相同方法出现在我们宏观经验中。如果V产生了我们视作能量的现象，那么假的V将产生一个相应于假能量的相似的现象。显然，由于它源自可归为周围物体的存在所产生的影响，后者就是我们所说的势能。

假定我们知道对于波纹的真V，又知道假的或者势能V，那么就可确定波动传播方程，我们就能够求解任何波动传播问题。特别地，我们能够解决风暴区域如何运动的问题，这为我们提供了对我们的理论进行初次校核的很好结果。风暴区域（若足够小的话）精确遵循支配经典力学中的粒子运动的相同法则运动，对于具有给定的频率和势能频率波群的运动方程与具有相应能量和势能的经典粒子运动方程相同。

必须注意，一个风暴区域或波群的速度与单个的波的速度不同，这一点在水波研究中人所共知，是作为群体速度和波速之间的区别。在物质粒子的运动中，我们所观察的是群体速度。

如果我们的理论仅仅停留于在这基本上是幻想的基础上重建经典力学的结果，那我们将所得无几了。当我们处理那些经典力学没有覆盖的现象时，新理论的显著优势开始显现。我们已经考察过一个非常小的风暴区域，它的位置可以如同经典粒子一样确定，但是我们也可以考察一个更广泛的区域。在大的区域和小的区域之间不存在精确的界定，因此我们应继续把粒子的观念与它相关联。尽管一个小的集中风暴能够很精确地确定粒子的位置，然而一个更大的风暴却对此非常模糊。如果我们尝试用经典理论解释一个扩展的波群，说法如是：它不是在空间任何确定位置上的粒子，而是与广泛的区域松散连接的粒子。

或许你们会想一个扩展了的风暴区应该表示与一个集中的粒子相对照的扩散了的物质，那不是薛定谔理论。扩展不是密度的扩展，而是一个位置的不确定性，或者是粒子处在特别位置界限内更广泛的概率分布。因此如果我们遇见均匀地充满一个容器的薛定谔波，有关事物解释不是说容器充满了均匀密度的物质，而是说它包含一个在任何地方出现的机会都相等的粒子。

该理论第一个巨大成功是解释了氢原子发射光的现象——这是一个远超经典理论领域的问题。氢原子包含一个质子和电子，它们必然可以在亚以太中转变成它们的对应物。我们对于质子的行为不感兴趣，因此不必用它的波动表现自寻烦恼。我们所需要的是它的力场，亦即在电子的波动传播方程里所提供的假V，按照这个方程传播的波对电子构成薛定谔的等价物。方程的任何解都将相应于氢原子的某种可能的状态，现在已发现该波动方程的解仅对某些特定频率才存在（注意物理上的明显的极限，即波不可能在任何地方都具有无限大的振幅）。因此在一个氢原子里，亚以太波被限定在一系列不连续的特定频率上。记住，亚以太中的一个频率意味着宏观经验中的一个能量，如此一来，原子也将具有一系列不连续的能量。已经发现，这种能量系列完全与玻尔从他的量子化规则所确定的相同（见本书九章《量子理论》中的原子理论部分）。波动理论取代难以解释的数学规则确定了这些能量，这是一个巨大的进步。进一步，在适用于更复杂的原子时，薛定谔的理论成功地解决了波尔模型曾经失败的那些问题。薛定谔理论通常给出正确的能级或“轨道”的数目，为每一个观察到的光谱提供一个轨道跃迁。

然而，在现阶段的进步并非从波动频率转到经典理论的能量，而是循着事件的过程在亚以太中更深入一些探索。很难想象电子同时具有两个能量（即处于两个波尔轨道），但这并未阻止说在亚以太内波动不能具有两个不同的频率，因此波动理论使得我们能够容易地描述出经典理论只能用似是而非的名词所描述的状态。假定存在两组波，如果频率差异不太大，那么两组波便会产生“音节”。如果两个广播站用波长接近的广播放送，那么我们便听到从两组载波振动所产生的音调或尖叫声。个别振动太过迅速耳朵感受不到，但是振动组合起来的音节将足够缓慢，耳朵能够感受到。同样，亚以太内的个别波系由于频率太快，我们宏观感官感受不到的振动组成，但是它们的音节有时足够缓慢会抵达眼睛所覆盖的八音度范围内，这些音节就是来自氢原子的光的源头。数学计算表明，这些音节的频率与观测到的来自氢原子的光的频率精确相等。无线电载波的外差作用产生声音，亚以太波的外差作用产生光。这个理论不但给出了光谱中各条光谱线的周期，而且它也预测了它们的强度——这个问题在老的量子理论中无法处理。但也应该理解，音节本身并不等同于光波，音节存在于亚以太中，而光波则存在于以太之中。音节提供了振动源，振动源以某种尚难追踪的方式发出具有其自身周期的光波。

在谈到亚以太中的波时，我们假定处于振动的实在确切地说是什么呢？它是用ψ来表示的，确切地说我们应该把它看成波动理论的一个不可定义的基本量。但是我们能否对它予以任何一种经典解释？似乎可以把它解释成一个概率，在一个给定的区域内的粒子或电子的概率正比于该区域的ψ值。因此如果ψ主要集中于一个小的风暴区内，实际即可确定电子位于该区域，于是我们就能够确定它的位置，并把它设想为一个经典的粒子。但是氢原子的ψ波完全散布在原子表面，没有确定的电子位置，尽管某些地方比其他地方更有可能。[4]

必须注意薛定谔理论一个非常重要的结果，一个足够小的风暴区与遵循经典运动法则运动的粒子非常接近，因此看起来，确定位于一个运动点上的一个粒子严格说来是在风暴区缩小成一点时的极限。但极其古怪的是，继续不断地缩小风暴区域使我们也不能完全达到理想的经典粒子，我们接近它而后又远离它。我们已经看到波群如同（在某些地方位于风暴区域内的）具有相应于波动频率的能量的粒子一样运动，因此要准确地模仿一个粒子，不单是区域必须缩小成一点，而且波群也必须由同样频率的波组成，这两个条件是不可调和的。对于一个频率，我们仅能有一个并不因任何边界而终止的无限连续波，波群的边界是由波长略有不同的波的干涉所设置的，由此在中心互相增加强度时，它们在边界上就互相抵消了。概略说来，如果波群的直径是一千个波长，那么必然存在一个0.1%波长的范围，使得最长的1000个波和最短的1001个波占据同样的距离。如果我们考察一个直径为10个波长更集中的风暴区，那波长范围便增加到10%，最长的10个波与最短的11个波必然占据同样的距离。在寻求通过缩小面积而使粒子的位置更加确定时，我们通过分散波的频率使得粒子的能量更加模糊，所以我们的粒子绝不能同时保持完全确定的位置并且保持完全确定的能量。它通常具有或者这种或者那种不符合经典粒子的模糊性，因此，在精密实验中，在任何情形下，我们都不必期望发现粒子的行为准确地和假想的经典粒子的行为一致——一个似乎与前述的有关电子衍射的现代物理实验一致的结论。

我们注意到薛定谔的氢原子图景使之具有波尔理论中不可能的某种事物——即同时具有两个能量。对一个粒子或电子而言，这不仅能够允许，而且是必需的——否则，我们不能对它可能存在的区域加以限制。并未要求你们想象具有几个能量的粒子的状态，那表明我们当前认为的电子作为具有单一能量的例子的图景已经失败了。如果我们愿意追寻事件的过程，有必要深深地潜入亚以太里面，然而如果我们不寻求更高的精确度的话仍可保留粒子的图景。如果我们无须把能量精确到百分之一，那么可以把变化范围在百分之十的能量序列看作确定的能量。

迄今为止，我仅仅考察了与一个电子相对应的波。现在假定我们有一个涉及两个电子的问题，应该如何表示它们？“那显然太简单了！我们只需用两个风暴区代替一个风暴区即可。”恐怕并非如此，两个风暴区与一个单个的电子相对应，并不确定电子位于哪个区域内。哪怕第一个电子在任何区域内出现的可能性极其渺茫，我们也不能让该处的薛定谔波代表属于第二个电子的可能性。每个电子都需要全部的三维空间为自己的波所用，因此薛定谔慷慨地承认它们都具有三个维度，对于两个原子就要求一个六维度的亚以太，于是他便很成功地同以前一样应用了他的方法。我想你们在现在也看到了，薛定谔已经给了我们一个看似能够理解的物理图景，但又把它给抢夺走了。他的亚以太并不存在于物理空间中，而是存在于数学家为了解决他的问题而想象出来的一个“构造空间”中——这个空间根据所提出的问题而重新想象出不同的维度。在最早考察的问题中，构造空间曾经与物理空间密切对应，暗示波的一定程度的客观实在性，这只是个偶然事件。薛定谔的波动力学不仅是一个物理理论，还是一个诀窍，而且也是一个非常巧妙的诀窍。

事实上，这种波动力学的近乎普适性将我们严肃地将其看作一个物理理论的一切机会都给剥夺了，关于这一点的一个愉快的说明偶然地出现在狄拉克的著作中。在他用薛定谔波求解决的一个问题中，波的频率表示一个给定种类的体系的数目，波动方程由公式表示并得以求解，而且（如同在氢原子问题里一样）发现解仅对一系列特别的频率才存在，因此所考察的种类的体系的数目必然是一个非连续的一系列值中的一个。在狄拉克的问题中，这一系列值表明为一系列整数。照此，我们推论出体系的数目必然应该是1，2，3，4，……但绝不能是例如。理论能够给出与我们的经验符合得如此之好的结果，真是令人满意！但是我们并不愿意被说服，我们为何以整数计的真实解释是由一系列波所给出的。