两位代数学之父

对于比较简单的多项式方程的求解方法，许多古代民族都在探索中得到了正确的结果。我们在上一节已介绍了古埃及人，特别是古巴比伦人在这方面所取得的引人注目的成就。在四大河谷文明中，同样有着悠久历史的中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。在这一漫长的过程中，中国数学在多项式方程求解方面取得了众多进展。如在求根公式方面，公元3世纪三国时期的赵爽在为《周髀算经》作注时撰写了著名的《勾股圆方图》，其中的一段文字相当于对形如x2+c=bx（系数为正）的方程给出了求根公式；12世纪数学家刘益在《议古根源》一书中，给出了另一类二次方程x2+bx=c（系数为正）的求根公式等。可是总的来说在寻找求根公式方面，中国传统数学取得的成果不大。但与我们本章要介绍的寻找求根公式不同，倾向于实用的中国传统数学却在多项式方程的数值求解方面取得了杰出的成就。我们将在第二章中做详细的介绍。

与古中国不同，古印度人在二次方程求根公式方面取得了非常重要的成就。我们将在本节对此做一简单介绍。

此外，多项式方程的求解与代数学的发展有着极为紧密的联系。事实上，直到19世纪，求解n次方程一直是代数学研究的中心课题。因此，我们将在本节介绍两位“代数学之父”，并着重介绍他们在多项式方程求解方面的贡献。

丢番图（约200～284），古希腊著名数学家，曾经居住在埃及的亚历山大城。在一本《希腊诗文选》（约公元500年）中收录了他奇特的墓志铭。关于他的生平事迹，后人主要是通过这一别开生面的记载了解的。

坟中安葬着丢番图，

多么令人惊讶，

它忠实地记录了所经历的道路。

上帝给予的童年占六分之一，

又过十二分之一，两颊长胡，

再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。

五年之后天赐贵子，

可怜迟到的宁馨儿，

享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。

悲伤只有用数论的研究去弥补，

又过四年，他也走完了人生的旅途。

由这一诗文，可得到方程，解这个一次方程，得x=84，由此可知丢番图享年84岁。

丢番图最重要的作品是《算术》。作为一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》相比。《算术》最初有13卷，但没有完整保存下来。很长时间中，人们只能见到它的6卷希腊文本。直到1973年，人们才奇迹般地发现了4卷先前不为人知的阿拉伯文译本。丢番图在数学上的地位基本上就是靠这并不完整的《算术》残本赢得的。

丢番图的著作实质上是一长串问题集，其中希腊文本189个，阿拉伯文本101个，共收录了290个题目，此外还有十几个引理和推论，合起来共300多个问题。这些问题大都相当于现在“数论”（后面章节中会做介绍）的内容。但书中也涉及代数问题与代数思想，我们现在简单介绍一下。

对一次方程，丢番图可能觉得太简单，所以认为没有必要单独论述。当问题化为这类方程后，他立即得到解答。但他熟悉现在我们所使用的“移项”、“合并同类项”等手续，因此可以推断他解一次方程的思路与我们现在所用方法是一致的。

其著作中出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题，这些例子足以说明丢番图熟练掌握了各种类型的二次方程的求解方法。但书中现存各章并没有给出二次方程的系统的解法，所以人们不知道他是用什么方法解的。

值得一提的是，丢番图已经懂得负数运算的符号法则，他对负数的这一认识是超越时代的。不过，对负数解丢番图是排斥的。答案是0时，他也舍弃。对无理数解他也认为不合理。简单地说，丢番图的解答只限于正有理数解。有意思的是，对他来说，找到问题的一个答案就够了。当方程有两个正根时，他始终只取较大的一个根。

可以说，在书的编排（问题集）与解题技巧等方面，丢番图都与古巴比伦人颇有相似之处。因此，他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”。但在另一方面，丢番图做出了更重要的突破。

在第一节的介绍中，我们看到古代人在处理代数问题时，所有内容都用文字表述，就像写散文一样。在这一被称为“文词代数”的阶段，除了偶尔出现的表示未知量的符号外，几乎不使用任何代数符号。与前人不同，丢番图开始有意识地使用符号体系。

我们来看一下他所创设的一些符号。比如说，他用表示数的单位，取自希腊“单位”的字头；未知数用特殊的符号ζ表示；“未知数的平方”记作Δγ，取自希腊字“幂”（ΔγΝΑΜΙΣ）的前两个字母。同样，“未知数的立方”记作Κγ，取自希腊字“立方”（ΚγΒΟΣ）的前两个字母；此外，他用ΔγΔ表示平方的平方、ΔΚγ表示平方的立方、ΚγΚ表示立方的立方。对这些乘幂的倒数，丢番图也给出专名和符号。在他的符号体系中没有加号、乘号、除号，但特别给出了减法的符号。

在写方程时，未知数的系数紧接着写在未知数后面，加通过并列来表达，所有的负项都放在减号的后面，若有常数项就用希腊字“单位”的缩写配以恰当的系数。举一个简单例子，算式x3+2x-3用丢番图的符号体系可表示为：，其中α、β、γ分别表示数字1、2、3。

可以看到，丢番图的符号多半采自相应文字的字头。这种以速记的缩写记号来表示经常出现的数量和运算的方式被称为缩写代数。当然，丢番图的缩写代数并不具有现代代数方程的那种简洁形式，不是特别容易读懂。然而，与前人相比，他在发展专门的符号体系方面毕竟向前迈进了一大步，将代数记号的发展推进到一个新的阶段：简字代数。

在历史上，丢番图第一次系统地提出代数符号。这一努力，为代数带来了重大变革，推动了代数学的发展。正如数学史家克莱因所说：“代数上的进步是引用了较好的符号体系。这对它本身和分析的发展比16世纪技术上的进步远为重要。事实上，采取了这一步，才使代数有可能成为一门科学。在16世纪前，自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑更加有效的人只有丢番图。”

丢番图对代数学发展作出的另一划时代贡献是，他将代数从几何形式中脱离出来，使它成为数学中的一个分支。

在丢番图之前，古希腊数学的兴趣中心集中在几何学上。古希腊人认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。于是，所有的数都以几何图形的量来表示，而且所有的代数问题都被改写成几何问题来处理。我们举充分体现古希腊代数这一特点的《几何原本》第二卷中的命题一为例来看一下。

命题一：设有两线段，其中之一被截成若干部分，则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和。

若设AD=x, DF=y, FE=z，则这一几何命题用符号可以表示成x（y+z）=xy+xz。因此，这一命题表述的意思其实相当于我们所熟知的乘法分配律。

古希腊这种可视化的、用几何语言来表述的代数学被称为几何代数学。在很长时间里，古希腊人为了逻辑的严密性，就这样让代数披上几何的外衣，把一切代数问题都纳入僵硬的几何模式之中。比如说，古希腊人曾借助这种几何方法间接求解了一些类型的二次方程。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊，使代数成为“自由人”，不再是几何的“仆从”。

最早使用代数符号体系，致力于方程的研究，把代数学从几何学中独立出来……由于对代数学发展所作出的这些划时代贡献，丢番图被一些数学史家誉为“代数学之父”。他的《算术》作为代数的一部最早的巨著，也代表了古希腊代数思想的最高成就。

发源于印度河流域的印度文明，其历史可追溯到约公元前3000年。但其数学发展的鼎盛繁荣时期却是5～12世纪。其间，印度出现了许多有代表性的数学家，如婆罗摩笈多、婆什伽罗等。我们只简略介绍一下他们这一时期在多项式方程方面取得的杰出成就。

婆罗摩笈多（约598～660）在其主要著作《婆罗摩笈多修正体系》中，给出了一次方程与二次方程的解法。对一次方程他给出的法则是：“绝对项之差变号后，除以未知数（系数）之差就是方程的未知数（值）。”这法则相当说，对于一次方程ax+b=cx+d其解为。对二次方程他给出“消去中项法则”：从平方项及简单项的另一端取绝对项。绝对项乘以平方项（系数）的4倍，加上中项（系数）的平方。（其和）的平方根，减去中项（的系数）把结果除以平方项（系数）的2倍，得中项（值）。这一法则相当于说，二次方程ax2+bx=c的解为。

前面介绍中我们提到，古巴比伦人、古希腊的丢番图等只考虑系数为正数的方程，这使得他们不得不把方程分成几种特殊情况来讨论。与之形成鲜明对比的是，婆罗摩笈多对系数表示的数有着十分广泛的理解，其方程中的系数可为正数、负数或零。因此，婆罗摩笈多能像我们现在所做的那样考虑方程的统一形式，得出一种更为一般、更为现代、更为有力的求解多项式方程的方法。此外，在对构成答案的数的范围上，他也有着宽泛的理解。方程的解可以是正数，也可以是负数，可以是有理数也可以是无理数。这都是相当先进的思想。

婆罗摩笈多的著作还有一个显著的特点，即其代数符号的风格。与丢番图的代数学一样，他的代数学也是简写代数。例如，他通过在一个数上面加一点来表示负数。当方程含有一个或多个未知量时，他称每个未知量为一种不同的颜色，并用表示颜色的单词缩写形式来表示未知数。他所使用的方法与我们最初学习代数学时用字母x、y、z表示变量完全类似。采用缩写文字和符号来表示未知数和运算是古印度人对代数学的一大贡献。

印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗（1114～1185），继承并发展了婆罗摩笈多的工作。他对一次和二次方程做了更详尽的讨论，在其著作中还有一个三次方程和一个双二次方程的例子。特别是在二次方程上，他所做的工作，许多方面都已与现在中学生所做的工作完全一样。尽管这听起来很初级，但事实上并非如此。正如我们所介绍的，各民族数学家为了走到这一步，不得不花费几千年的时间去拓展数的概念、解的概念，以及解这些类型的方程的计算技巧。

简单地说，古印度人在其数学的繁荣时期所完成的工作把多项式方程的求根问题推进到了相当高的水平，并对代数学的发展作出了重大贡献。公元8世纪时，婆罗摩笈多的著作被带到巴格达，并被译成阿拉伯文，对当时阿拉伯的天文学和数学产生了一定影响。

阿拉伯文明是后起之秀。7世纪初，阿拉伯民族开始崛起。8世纪，阿拉伯数学开始进入兴盛繁荣期。当时的阿拉伯学者们广泛吸收古希腊、古印度与中国的数学成果，使阿拉伯数学在融合东西方数学的基础上发展出既含有希腊因素也含有印度因素的折中数学。

当时阿拉伯最重要的数学活动中心是巴格达，阿拔斯王朝830年在那里设立了著名的“智慧宫”，聚集了大批学者，其中最卓越的代表是花拉子密（约783～850）。813年，花拉子密被聘到巴格达工作，智慧宫建立后他成为主要领导人之一。在数学方面，他完成了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》。后者完成于825年左右，是数学史上十分有价值的著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的算术运算。它的问世对十进位值制记数法在阿拉伯国家的普及和引进欧洲起了决定性作用。由于这本书的拉丁文译本定名为《花拉子密的印度计算术》（Algoritmi de numero indorum），其中Algoritmi是花拉子密的拉丁文译名，可后来经过讹传，这位数学家的名字演变成现代数学术语“算法”（Algorithm）。这就是后面我们会提到的“算法”一词的来由。

花拉子密影响更大的著作则是完成于820年左右的《代数学》，它被誉为代数发展史上的里程碑。《代数学》全书共3部分。在第一部分他讲述了现代意义下的初等代数，系统地讨论了一次、二次方程的解法。

花拉子密先指出这些方程由三种量组成：根（指未知数，把未知数叫根始于花拉子密，现在把解方程求未知量叫做求根也正来源于此）、平方（指未知数即根的平方）、数（指常数）。然后花拉子密把所讨论的方程分为六种类型。

前三种类型分别是：“平方”等于“根”，“平方”等于“数”，“根”等于“数”。用现代符号可分别表示为：ax2=bx, ax2=c, bx=c。容易看到，这三种类型表示的是缺项的二次方程与一次方程。

花拉子密

后三种类型分别是：“平方”和“根”等于“数”，“平方”和“数”等于“根”，“根”和“数”等于“平方”。用现代符号可分别表示为：ax2+bx=c, ax2+c=bx, bx+c=ax2。可以看到，这三种类型表示的是不缺项的二次方程。

上述六种类型中出现的系数a、b、c全都要求是正数。为什么不像我们现代所做的那样，把二次方程统一表示为ax2+bx+c=0（其中a≠0），为什么要区分出这么多种类型？原因仍然在于，当时人们还不接受负数，所以方程中的系数及解必须取正数。由于这种限制，我们可以统一解决的二次方程，花拉子密却不得不分成各种不同类型分别进行处理。由此一端，即可体现出数学中引入负数的必要性。

花拉子密在每一种类型中，通过举例题的方式给出了求解的方法。令现代人感到非常困窘的是花拉子密对问题及求解的过程完全用文字来表述，没有出现任何字母和缩写符号。比如在第四章“平方和根等于数”中，花拉子密写道：

下面是“平方和根等于数”的一个例子：1个平方和10个根等于39。因而，在此方程中的问题是：当平方是多少时，它与其10个根之和是39？解这类方程的方法就是取刚刚提到的根数的一半。在这个问题中，根的数目是10，因而取5，将其自乘，得25，把它同39相加，得64，开平方得8，从中减去根数之半，即5，余3。数3就表示所求平方的一个根。当然，平方本身是9。因而所要求的平方是9。

很难理解，是不是？其实，换用我们现代符号，花拉子密举的例子可表示为：x2+10x=39。其求解的步骤相当于：

用简捷的式子可表示为：。容易看到，

这一求解过程与我们用求根公式解是一样的。但由于没有引入字母系数，对这种可以应用于x2+bx=c一般形式的解法，花拉子密只是给出了一个特例做说明。

如果出现ax2+bx=c，如何处理呢？花拉子密的办法是，方程两边同除以a，转化成，这是已经解决的形式，于是原方程的解用现代符号可表示为：

，与我们所熟悉的结论是相同的。

花拉子密在书中以类似的方式，继续讨论了其他几种类型方程的解法。在充分讨论了六种典型方程的解法之后，深受希腊几何学影响的花拉子密觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的正确性”，于是他又用几何方法给出它们的证明。以上述所讨论的方程x2+10x=39为例，花拉子密给出两种几何证明。

第一种证明是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和10/4的矩形，再在四个角上补上边长为10/4的四个小正方形，从而把这个图补为边长是x+5的大正方形。如下左图所示。第二种证明是在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长为x和10/2的矩形，再补上一边长为10/2的小正方形，最终把图形补充为完整的大正方形。如下右图所示。

两种情况下，都可由已知得到大正方形的面积是（x+5）2=x2+10x+25=39+25=64，从而x+5=8，x=3。

在几何证明之后，花拉子密又明确提出了解方程中需要的两种基本变换——“还原”（相当于现在的“移项”）与“对消”（相当于现在的“合并同类项”）。他指出，经过这两种变换，一般形式的一次和二次方程就都能化成已经讨论过的六种标准方程。

在对方程根的了解方面，花拉子密最早认识到二次方程有两个根。不过，他只给出了正根，负根与零根则舍弃。他也认识到，当根的数目之半自乘的结果小于自由项时（相当于我们所说的判别式为负），开平方是不可能的，此时方程无根。

通过以上扼要介绍我们可看到这一著作中存在的缺陷。其一，不承认负数。方程的系数与方程的根都只取正数；其二，全部内容都是用语言文字来叙述的，没有使用代数符号，这与丢番图和印度数学家相比都倒退了一步。

虽然如此，花拉子密毕竟完整解决了一次与二次方程的求解问题，并且其阐述条理清晰、详尽而系统，使读者容易掌握解题方法。从此以后，解方程的概念逐步明朗起来，独立的代数学科亦由此确立下来，而花拉子密的工作则为这新学科提供了方向。从这时起，作为方程学科的代数意义得以巩固，解方程作为代数基本特征被长期保持下来。简言之，花拉子密的《代数学》奠定了以方程论为中心的古典代数学的基石，为“解方程的科学”的代数学开辟了道路。事实上，这门新学科的名称——“代数学”——本身就来源于花拉子密此书。

《代数学》的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa'l muqabalah》，直译应为《还原与对消的科学》。al-jabr意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项，相当于我们现在所说的“移项”；muqabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项，相当于我们现在所说的合并同类项。这个长长的阿拉伯文名称传入欧洲后，“还原”（al-jabr）在12世纪译为拉丁文时成为algebra，而书名的第二个字被省略。到14世纪，这门学科在欧洲被正式简称为“algebra”。1859年，清代数学家李善兰在与英国传教士伟烈亚力合作翻译时，创造性地把英文algebra译为代数学。“代数”这个中文名词，让人联想这门学科的一大特征是用字母表示数，既简洁，又形象传神，一直使用至今。所以数学史家克莱因曾说：在代数学方面阿拉伯人的第一个贡献是提供了这门学科的名称。

花拉子密的《代数学》在约1140年被译成拉丁文，后作为标准的代数学教科书在欧洲使用了数百年，其内容、思想和方法相当广泛地影响过后来的数学家。正是由于花拉子密在代数学上作出了如此巨大的贡献，因而著名的数学史家波耶认为“代数学之父”这顶桂冠更应属于花拉子密。