数学问题提出的一般理论研究

第二节　数学问题提出的一般理论研究

一、数学问题提出的已有基础及研究状况

（一）问题提出的已有基础

尽管问题提出和问题解决同样重要，但相对于后者而言，对问题提出的方法的研究要薄弱得多。应该说，提出问题的方法在我国有很好的研究基础。戴再平先生在《数学习题论》一书中给出了编制习题的若干方法，即演绎法、基本量法、倒退法、变换条件法、类比和推广、演变、模型法。近年来他又对开放题的编制做了许多工作。我国多年形成的变式训练也很有特色。但与国外相比，开放题、探索题、应用题的编制和教学是我国最薄弱的环节，这会影响学生数学创造能力和应用能力的培养，我们必须引起重视。

由于人们现在已经普遍认识到了“问题提出”的重要性，因此，就如波利亚关于解题策略的研究，人们也从方法论的角度积极探讨了提出问题的策略。其中最重要的贡献可以归功于美国学者布朗与沃尔特所出版的一部专著《提出问题的艺术》。具体地说，作为提出问题的一般方法，布朗与沃尔特在上述著作中给出了如下法则：①确定出发点，这可以是已知的命题、问题或概念等；②对所确定的对象进行分析，列举出它的各个“属性”；③就所列举出的每一“属性”进行思考：“如果这一‘属性’不是这样的话，那它可能是什么？”④依据上述对于各种可能性的分析提出新的问题；⑤对所提出的新问题进行选择。

由于这一方法的核心在于其中的第三步，即是就各个“属性”具体地去考虑：“如果它不是这样的话，那又可能是什么？”因此，这一方法被称为“否定假设法”（“What if not……”）。这是从原问题出发，产生新问题非常有效的方法。例如，在书中他们介绍了从方程x²＋y²＝z²演变而来的活动。对于该方程式，运用“What if not”策略来提出问题可以分为两步：第一，列出特征。它是直角三角形，它有3条边，它与面积有关，它是一个等式，3、4、5是方程的解等。第二，否定假设。“如果不是直角三角形，那结论还成立吗？”“如果不是3条边，而是3条以上，那结论还成立吗？”“如果不是3、4、5，还有哪些数值使方程x²＋y²＝z²成立？”“如果不是面积，而是体积或其他，那么又可能是什么？”“如果不是等式，而是不等式，那么又可能是什么”等。

利用“否定假设法”可引出大量的新问题，这一方法的运用不应被看成一个一次就可得以完成的简单过程，而应该认为，这里存在着不断深化和发展的可能性，比如我们在获得了若干个新问题以后，我们又可以这些新问题作为出发点并应用“否定假设法”去得出更多的新问题，显然，这一过程是可以无限地进行下去的。

（二）问题提出教学研究的进展

综观二十多年以来的研究情况，可以发现，国内外数学问题提出的教学研究大致可分为两个方面；一是以“问题解决”为视角的研究；一是以“问题意识”为视角的研究。前者将“问题提出”视为“问题解决”教学的一种手段，而后者则把“问题提出”视为一种相对独立的数学活动。

1．以“问题解决”为视角的研究

二十多年来，由于受以问题解决为核心的数学教育改革运动的影响，有关问题提出的教学研究几乎从未离开过问题解决这个视角。在这种视角下，由于问题提出不是被看做教学的目标，而是作为问题解决教学的一种手段。因此，问题提出教学研究主要探讨的是问题提出与问题解决之间的关系。比如，问题提出对问题解决有何作用，问题提出能力与问题解决能力之间关系如何，等等。许多学者对此作过深入研究，取得了大量的研究成果。如美国学者布朗与沃尔特的研究认为，在解决数学问题的过程中，一个独创性数学问题的重建离不开新的数学问题的提出。与此同时，一个人常常是在他产生和分析一系列相关的新的数学问题时，才会理解和欣赏数学问题解决的方法。有些研究结果则表明，学生的问题提出与问题解决能力之间具有很强的正相关性，一个“好”的问题解决者比“差”的问题解决者能提出更多更复杂的数学问题。在国内，吕传汉教授与汪秉彝教授在贵州的研究表明：“学生的数学问题解决能力好于数学问题提出能力。”

2．以“问题意识”为视角的研究

自20世纪90年代以来，对问题解决教学的反思，以及知识经济社会对学校数学教育提出的创新人才的培养要求，有关数学问题提出的教学研究开始成为数学教师和数学教育研究者共同关注的研究话题，并在研究视角上发生了明显的变化，即有以问题解决为视角的研究转向了以问题意识为视角的研究。这种视角的变化表现在问题提出不是作为解决问题的一种手段，而更多地被视为一种相对独立的数学活动。这使得研究问题转向了对学生问题意识与问题提出能力的培养。

从国外二十多年的研究成果看，以问题意识为视角的研究所涉及的内容比较广泛：有关于提出数学问题的策略与方法的研究，有对学生问题提出能力差异进行的比较，有对问题的信息来源进行分析，还有对有关问题提出能力培养的教学设计，等等。其中，美国学者Gonzales在培养学生问题提出能力的教学设计方面取得了重要的研究成果。该教学设计由5个阶段组成：①培养学生的质疑技能——教师为学生提供几个有待解决的数学问题，要求学生根据这些问题首先提出一些问题；②提出一个相关的数学问题——在教师的指导下，学生重新回到已经解决的数学问题中，并在原有数学问题基础上提出一个变化的或拓展的数学问题；③产生一个数学任务——即为学生提供一个缺少明确的数学任务或数学问题的数学情境（如统计图表），要求学生根据其中的信息提示，创造或提出一个问题；④寻找数学情境——通过报纸、杂志、期刊、商业目录或因特网等途径，让学生寻找3个数学情境（其中缺少需要解决的数学任务）；为每一个数学情境提出一个用已知信息就能解决的数学问题，并自己添加一些其他信息；⑤生成数学问题，如，采用“接龙”的活动方式，使每个（群）学生依次进行数学问题的创造活动，直至生成一个完整的数学问题。

20世纪90年代，国内开始了针对学生问题提出能力培养的专门研究。二十多年来，这一研究已由最初的教学经验总结，逐渐走向了理论建构与实证研究的发展方向。在理论建构上，主要表现在两个方面：其一，提出了有关数学问题提出的教学模式。其中，由吕传汉教授与汪秉彝教授提出的“数学情境与提出问题”教学（以下简称“情境—问题”教学）模式在国内数学教育界引起了极大的反响。该模式的主要特点是：强调教师的引导作用和学生对知识的主动探究与索取，注重教学中问题情境的创设，将学生基于数学情境的“质疑”、“提问”与“自主学习”贯穿在教学过程的始终，重视“情境—问题”学习链的构建及其作用的发挥。其二，初步形成了“情境—问题”教学的基本理论，该理论涉及的内容有：“情境—问题”教学中研究性学习因素的体现、情境创设与问题提出的教学策略设计、学生数学问题提出能力的评价、“情境—问题”教学对学生数学认知的作用，以及“情境—问题”教学对学生数学焦虑的平缓作用等。在实验研究方面，主要进行了问题提出教学的实验研究。其中，由吕传汉教授与汪秉彝教授主持的“数学情境与提出问题”教学实验研究标志着国内“问题提出”教学进入了实证研究阶段。该研究表明，“情境—问题”教学对学生“问题提出”能力的培养具有显著的效果。

二十多年来，尽管“问题提出”的教学研究已经引起了国内外数学教育界的普遍关注，但国内对这一课题的研究仍缺乏一定的广度和深度，仍存在一些有待深入研究的问题。

二、影响学生数学问题提出的因素

影响学生问题提出的因素很多，其中最为突出的是“元认知”和“观念”。

（一）元认知

根据弗拉维尔的观点，元认知就是对认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对思维和学习活动的知识和控制（Flavell，1976）。董奇认为元认知包括三个方面的内容：元认知知识；元认知体验；元认知监控。在实际的认知活动中，元认知知识、元认知体验、元认知监控三者是互相联系、互相影响和互相制约的。元认知过程实际就是指导、调节我们的认知过程，选择有效认知过程，选择有效认知策略的控制执行过程，其实质是人对认知活动的自我意识和自我控制。对于元认知水平较低的学生，往往不能恰当地进行“问题提出”，对于自己在干什么、为什么这样干始终缺乏明确的认识，又不能对自己目前的处境作出清醒的评估并由此作出必要的调整。相反，元认知水平较高的学生，能恰当地进行“问题提出”，他们对认知过程始终保持明确的问题意识，并不断监控和调节自己的思维，直至提出一些质量较高的、有创建性的问题。特别的，一个元认知水平较高的学生，在解决问题的过程中能恰当地进行“问题提出”，而且能“求取问题解答并继续前进”，对所进行的工作继续进行“问题提出”，使已有的认识得到升华。可见，元认知水平的高低直接影响着学生问题提出能力的培养。

（二）观念

所谓“观念”，是指问题解决者的数学观、数学教育观及其对于自我解题能力的认识和信念等。在传统的数学教学中，教师把学生当做知识的“接收器”，学习中所解决的问题都是有确定条件和答案的问题，在这样的教学下学生认为任何问题的求解都与自己的主观性无关，是客观的，不可更改的，当然学生也就不会对它产生质疑而提出新问题。传统的应试教育使得学生对课本上的知识和一些数学问题根本没有深究的时间保证，漫游在题海的一些学生认为自己遇到的数学问题够多的了，自己再提出数学问题，不是自找烦恼吗？这些观念的存在说明了学生问题意识的淡薄，不利于学生问题提出能力的培养。

三、构成学生数学问题提出能力的认知要素

（一）对问题的数学结构的认识和理解

结构是“根据语言的表达所形成的一个抽象的形式”（弗赖登塔尔，1991），而所谓的问题的数学结构就是“问题”所反映的数学思想。大多数学生往往注重问题的表面特征，而忽视（或看不出）问题的数学结构，部分学生对一些问题的共性的归纳能力或用类推法解决相关问题的能力较差，正是这一现象的又一例证。同时，我们的数学教学不注重培养学生对问题的数学结构的认识和理解能力。如一些教学资料或教师在应用题的教学中有“工程问题”和“行程问题”之分，这一分类显然只看到问题的表面特征，事实上，它们具有相同的数学结构，应属同一类问题。让学生通过对一给定问题数学结构的分析，创编一个与之相似的问题，可提高学生对数学结构的认识和理解。如给定问题：“小红有3件衬衣：一件白色的，一件黄色的，一件绿色的；有4条裙子：一条红色的，一条黑色的，一条灰色的，一条蓝色的。问一件上衣配一条裙子，共有多少种搭配方式？”让学生通过对该问题数学结构的分析（该问题的数学结构是组合问题）创编一个新问题，学生会创编出一些与该问题有相同的数学结构但情境变化了的数学问题或仍属组合问题但进行了合理扩展的数学问题。如：书架的第一层放有4本不同的文艺书，第二层放有3本不同的故事书，第三层放有2本不同的体育书，问：从书架的第一、二、三层各取1本书有多少种不同的取法？学生在分析问题的数学结构创编新问题的过程中将加深对数学结构的认识和理解。

（二）对不同问题的感知能力

如果我们的教学尊重学生的思想，那么就应该了解学生是如何感知问题的。除了鼓励学生将自己对问题的感知大胆地讲出来，并与其他同学进行比较、评价以外，也可以通过测试去了解，如给定一个情境，让学生根据情境提出容易、中等难度和较难的问题，通过学生提出的数学问题可以了解学生是如何感知问题的。让学生讨论不同类型的问题是怎样的相同或不同，常规问题与非常规问题是怎样的不同，哪些因素决定的问题难度和解决程序等等？这些问题可以提高学生对不同问题的感知能力。学生对不同问题感知能力的提高，能增强他们处理更广泛问题的信心，为建构新的问题打下丰厚的基础。

（三）用多种方法解释问题情境

用多种方法解释一个情境，有利于对情境的理解，直接影响提出问题的数量和质量。这一情境应是格泽尔斯所指的“被发现的情境”。在此情境中，问题由读者自己提出而不是别人给定，且问题尚未用已知公式来阐述，不一定已知解法。给定这样一个情境，让学生根据此情境提出不同层次的问题，可提高学生对情境的观察、解释能力。例如，情境：一次聚会，客人随铃声进入会场，第一次铃声进1人，第二次铃声进3人，第三次铃声进5人，第四次铃声进7人……测试结果显示，学生提出的问题大多是：“这4次一共进多少人？”“第三次比第一次多进多少人？”“这4次平均每次进多少人？”“第四次进入的人数是第二次的多少倍？”等类似的问题，由此，我们可推测出提出这类问题的学生对这一问题情境的理解：“客人随铃声进入会场，铃声只有4次，后次进场的人数比前次多。”除此之外，不再有其他的解释。事实上，对此情境还可解释为：“铃声次数不止4次，可能有任意多次，后一次进场人数比前一次总是多2人，每次进场人数与铃声的第几次之间存有一定的关系……”有了对问题情境的这一解释，就可能提出诸如“第n次铃声有多少人进场？”此类的问题。

为了提高学生“问题提出”的能力，应加强学生对问题的数学结构的认识和理解能力的培养，让他们意识到数学思想对问题提出的重要作用，提高他们对问题的感知能力，拓宽学生解释问题情境的思路。

四、数学问题提出的理论基础

（一）美国心理学家布鲁纳·罗杰斯的教育理论

美国心理学家布鲁纳·罗杰斯认为：“在教学中学生不是被动的、消极的知识接受者，而是主动的、积极的知识探究者，教师的作用是要形成一种使学生能够独立探究的情境，而不是提供现成的知识。”因此，教师应通过创设具有启发性、趣味性、现实性和挑战性的学习情境，使学生进入“心欲求而未得，口欲言而不能”的“愤悱”状态，以促使学生发现问题、提出问题，激发学生探求知识与真理的迫切而强烈的欲望。

（二）当代教育心理观

1．感知规律

感知是人们认识过程的先导，是思维活动的源泉，人的认识活动总是从感知开始而后转化为思维的。感知是学习心理活动的基础，观察是感知的一种特殊形式。在数学教学活动中，教师应该遵循学生的感知心理规律，培养学生的问题提出能力。

在问题提出的数学学习活动中，教师针对教学知识点通过设置数学情境并让学生对情境中提供的数量关系、数学图形、数字符号等信息进行观察、思考和探究，提出相关的数学问题并解决这些数学问题。让学生学会观察数学表达式的结构，数学图形的特点，各种数字符号信息的内在联系等。从而培养学生学会观察分析事物之间的联系、比较发现事物之间的差异等各方面的能力，让学生养成良好的观察分析习惯，进而提高学生提出问题的能力。

2．注意规律

注意是心理活动对一定事物的指向与集中，它是由客观事物引起的具有选择性心理活动的表现，是一切心理活动的开端，是组织教学和发展学生智力的重要因素。因此，数学教育心理学要求数学教师将教学的科学性与艺术性有机地结合起来并根据注意规律设计教学过程。

在问题提出数学教学活动中，数学教师应遵循学习的注意规律创设问题情境，制造认知冲突，激发学生学习数学的动机，提高他们学习数学的兴趣，刺激学生的数学思维，引起学生学习注意力的集中，诱发学生积极地思考，从而较好地发现问题与解决问题。

3．想象规律

所谓想象力就是创造性地形成新事物的形象，推测其结构性及其发展变化的能力，以及把思考组合与记忆结合起来，把表面看来彼此不相干的事物联系在一起，或把混合在一起的事物分离开，把它们加以重新组合或修改的能力。

在问题提出的数学教学活动中，教师要求学生对所给的数学情境进行思考、探究，挖掘其间的信息并进行组合、加工，然后发挥想象力提出相关数学问题尤其是具有创造性的问题，这是在数学教学中对想象规律的成功运用。

（三）素质教育观

1．素质教育的主体观

素质教育承认学生的主体地位，培养学生的主体意识，发扬学生的主体精神，促使他们形成独立的人格和高尚的风貌。它要求学生真正成为学习的主人，它促使学生把内在的学习兴趣和学习要求，把与生俱来的求知欲和进取心作为学习的动力。

2．素质教育的建构观

皮亚杰可以看成是建构主义在现代的直接先驱。皮亚杰认为，学习是一种能动的建构过程，学习不是积累越来越多的外部信息，而是学到越来越多的有关他们认识事物的程序，即建构了新的认知结构。这种新的认知结构不仅是原有认知结构的延续，更是改造和重组。个体遇到新的刺激时，总是试图用原有认知结构去同化它，以求达到新的平衡；同化不成功时，个体则采取顺应的方法，即通过调节原有认知结构或新建认知结构，来得到新的平衡。同化与顺应之间的平衡，也就是认识上的适应。平衡过程调节个体与环境之间的相互作用，从而引起认知结构的一种新建构。

苏联心理学家维果斯基发展了皮亚杰的观点，他认为，活动和社会交往在人的高级心理机能发展中起到重要的作用，高级心理机能来源于外部动作的内化，这种内化可以通过教学、日常生活、游戏和劳动等各种活动来实现。内在智力动作也外化为实际动作，而内化与外化的桥梁则是人的活动。

当今建构主义认为，认识不是主体对于客观实在的简单、被动的反映，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程。建构主义重视已有知识经验、心理结构的作用，强调学习的主动性、社会性和情境性，对于学习和教学提出了许多新颖的观点。

传统的数学教学模式强调学生被动地接受知识，因而这一教学观认为提出问题应是教师和教材编写者的事；而素质教育的建构主义教学观认为应将问题提出作为教学活动的一部分。数学教学应该给学生提供这样的机会——从给定情境中提出问题，或通过修改已知问题的条件产生新问题。问题提出不仅应被看做是教学的目的，而且应作为一种教学的手段。建构主义为此提供了直接的论据，因为如果我们坚持学习是学习者主动的建构这样一个基本立场，那么一个必然的结论就是：最好的学习方法就是动手去做。就数学学习而言，这也就是指，“学数学就是做数学”，这不仅使学生真正处于主动的地位，并通过积极的探索去建立自己的理解与意义，这事实上也就把学生摆到了与数学家同样的位置上。

3．素质教育的创新观

创新教育是素质教育的核心，培养学生的创新精神、创新意识、创新思维和创新能力是素质教育的关键。创新的实际过程，也就是教人发现真理的过程，即启发、诱导、激励人们去探索、开拓、发现、创造，充分发挥自身的潜能与特长，用自己的创新精神和创造能力成就灿烂的事业和建构辉煌的人生。教育的基本任务就是通过文化知识的传递而实现人类文明遗产的传承。但传承不是最终目的，传承是为了更好地衍生和发展，墨守成规、因循守旧的教育只能使社会停滞不前、使人类退化。因而，变“守成教育”为“创新教育”，使学生在获取知识的同时，学会思考、学会发现、学会创造，就显得尤为重要。科学和社会总是通过创新而获得发展的，而创新从本质上来讲是基于“问题”之上的，且就某种意义而言，提出问题比解决问题更为重要。因而学校教学中培养学生发现问题、提出问题的能力，是素质教育创新观的基本要求。

（四）学习迁移理论

学习的迁移是指已经获得的知识、动作、技能、情感和态度等对新的学习的影响。迁移不仅表现为先前的学习对后来学习的影响，而且表现为后继学习对先前学习的影响。这种影响可以是积极的也可以是消极的。积极的影响通常称为正迁移，消极的影响称为负迁移。加涅把正迁移又分为横向迁移和竖向迁移。横向迁移是指个体把已学到的经验推广应用到其他在内容和难度上类似的情景中，而竖向迁移是不同难度的两种学习之间的互相影响。一种是已有的较容易的学习对难度较高的学习的影响，往往是对已有的学习进行概括和总结并形成更一般的方法和原理的结果；另一种是较高层次的学习原则对较低层次的学习的影响，原则的迁移就是由较高层次的学习原则对该原则适合的具体学习情景的迁移。负迁移一般是指一种学习对另一种学习的消极影响，多指一种学习所形成的心理状态，如反应定势等对另一学习的准确性和效率产生的影响；或一种学习对另一种学习所需的学习时间或所需的练习次数增加或阻碍另一种学习的顺利进行、知识的正确掌握等。

迁移在数学教育中无所不在地发挥着重要作用。进行问题提出就要运用已有的经验和知识对自身以外知识或问题进行合理表征，然后与已有知识经验中的知识体系进行类比，将已有的知识经验具体运用到新的问题情境中去，从而在新的问题情境中发现问题、提出问题。这种问题或知识经验的类比和具体化的过程就是迁移的过程。因此，充分认识迁移发生的规律，有助于教师合理创设具体的问题情境并引导学生更好地提出问题。