以演绎猜测扩增内容

（d）以演绎猜测扩增内容

老师：预备工作已足够了。让我们见识你如何演绎吧。

ZETA：好的，先生。先取两个闭正规多面体（图20（a）），把它们沿一条多边形环路黏在一起，于是相遇的两个面便消失了（图20（b））。因为对两个多面体均有V－E＋F＝4，故在结合后的多面体中，两个面的消失便修复了欧拉公式——别觉得吃惊，因为有了柯西证明，新多面体便可轻易吹胀成一个球体^[126]。故而欧拉公式在这黏合检验中完全站得住脚。但我们现在要试一试双面黏合检验：把两个多面体沿两条多边形环路“黏”在一起（图20（c））。于是4个面均消失了，而对新多面体即有V－E＋F＝0。

图20

GAMMA：这是Alpha的反例4，那个画框！

ZETA：如果我现在再把另一正规多面体（图21（a））“双面黏合”到这画框（图20（c））上，V－E＋F便成了－2（图21（b））……

图21

SIGMA：对单球性多面体有V－E＋F＝2，对双球性多面体有V－E＋F＝0，对三球性多面体有V－E＋F＝－2，对n球性多面体便有V－E＋F＝2－2（n－1）…

ZETA：……这就是你呈给诸位的内容空前、证明完备的新猜想，一张表格都不曾编过就有了^[127]。

SIGMA：漂亮极了。你非但制服了桀骜不驯的画框，还炮制了无穷多的新反例……

ZETA：解释完全而彻底。

RHO：我刚才以不同的方法得到了相同结果。Zeta的方法是从两个欧拉多面体例子入手，然后把它们转换成受控实验的反例我是从一个反例入手，然后把它转换成一个例子。我对画框做了以下的思想实验：“设多面体是由某种材料制成，像软黏土一样容易切割。现从隧道拉一根线过去，然后穿出黏土。多面体将不会散架……”^[128]但它已变成一个熟悉、简单、球性的多面体！不错，我们将面数增加了2，而把棱数和顶点数都各增加了m；但是，因为我们知道简单多面体的欧拉示性数是2，则原多面体的示性数必曾是0。现在，如果需要做更多这样的切割，比如n次，一个多面体才可化为简单多面体，其示性数便是2－2n。

SIGMA：真有趣。Zeta已告诉我们，证明并不一定有猜想才可开始，我们可以由已知为真的相关命题直接构思出一个综合，即一个证明性的思想实验。如今Rho又说明我们连开始检验都可以不需要猜想了，我们可直接着手——佯装结果已得手——构思出一个分析，即一个检验性的思想实验^[129]。

OMEGA：但不管你走哪条路，你仍然留下了一大群多面体尚未解释！根据你的新定理，所有多面体的V－E＋F都是小于2的偶数。但我们曾瞧见有不少多面体的欧拉示性数都是奇数。比如说饰顶立方体（图12），便有V－E＋F＝1…

ZETA：我从不曾说过，我的定理适用于一切多面体。它仅适用于根据我的构造法建成的所有n球性多面体。我的构造法，按照实际情况来说，是得不出环状面的。

OMEGA：我说中了吧？

SIGMA：我明白了！这种构造法也可以推广到带环状面的多面体：可在一个合适的证明引生的多边形系统里删去一条边建立起一个环状多边形，而不减少面数（图22（a）与22（b））。我倒是猜测，也许亦存在“正规”多边形系统，按与我们的证明完全一致的方式建立起来，而我们可从中删去不止一条边，面数仍不减少……

图22

图23

GAMMA：所言不虚。且看此“正规”多边形系统（图23（a））你可删去两条边，而不减少面数（图23（b））。

SIGMA：妙哉！于是，对n球性——或谓n维连通的——多面体，在删去e_k条棱后，面数不减少的情况下，有一般公式

BETA：此公式可以解释Alpha的饰顶立方体（图12）。那是个单球性立方体（n＝1），有一个环状面：除e₆为1外所有e_k均为0，即，故V－E＋F＝3。

SIGMA：它亦能解释你惊呼“多么不合理”的欧拉畸形物：有两个环状面和一条隧道的立方体（图16）。它是一个双球性多面体（n＝2），。故其示性数为V－E＋F＝2－2＋2＝2。多面体世界的道德秩序终归复原了^[130]！

OMEGA：带空腔的多面体又作何解？

SIGMA：我知道！若是它们的话只需把每一个分离表面的欧拉示性数加起来就行了：

BETA：那么孪生四面体呢？

SIGMA：我知道！……

GAMMA：做到这样精确到底有什么用呢？别滔滔不绝地卖弄这些自命不凡的雕虫小技了^[131]！

ALPHA：为何他应该停止往下说？难道孪生四面体是怪物，不是名副其实的多面体？一个孪生四面体作为好的多面体，丝毫不亚于你的圆柱！但你不也曾喜欢语言的精确^[132]。你现在为何又要嘲弄我们新的精确了？我们必须让定理对所有多面体适用啊——我们把它变精确，是要增加而非减少它的内容。这一回精确是个优点了

KAPPA：无聊的优点与无聊的缺点一样恶劣！而且，你永不能达到完全的精确。到了觉得无趣不想继续的时候，我们便该停下来了。

ALPHA：我不敢苟同。我们开始于

（1）一个顶点是一个顶点。

我们由此条推出

（2）V＝E对所有的完美多边形成立。

我们又从此条推出

（3）V－E＋F＝1对所有正规的开多边形系统成立。

由此得出

（4）V－E＋F＝2对所有正规的闭多边形系统，即多面体成立

再由此条依次得到

（5）V－E＋F＝2－2（n－1）对正规n球性多面体成立。

（6）对带多连通面的正规n球性多面体成立。

（7）对带多连通面及空腔的正规n球性多面体成立。

起点虽然平庸，但这些难道不是奇迹般地逐步展露了它隐藏的财富吗？因为⑴为真已毋庸置疑，故余下诸条亦复为真。

RHO［旁白］：隐藏的“财富”？最后两条只不过说明了概括可变得何等廉价而已^[133]！

LAMBDA：你真以为（1）是推出余下诸条的唯一定理？你真以为演绎可以扩增内容？

ALPHA：那是当然！这岂不就是演绎的思想实验的奇迹吗如果你一旦掌握了一小点真理，演绎便将其万无一失地扩展成一棵知识的大树^[134]。如果演绎并不增加内容，我便不叫它演绎，而叫它“验证”了：“验证所以与真正的证明不同，正是因为它是纯分析的，且是不结果实的”^[135]。

LAMBDA：但是演绎的确不能扩增内容！如果批评揭示出结论比前提包含更丰富的内容，我们便必须增加前提的数量，使隐藏引理呈现出来。

KAPPA：并且，正是这些隐藏引理包含了诡辩和可误性，最终戳穿了演绎不可错之神话^[136]。

老师：关于Zeta的方法，还有什么问题？