以更深入的证明扩增内容

时间：2022-02-12 理论教育版权反馈

【摘要】：不过，即便如此，正是我们的方法产生了一个新问题：证明分析在增加确定性时，减少了内容。我们应有一个平衡力，来抵消减少内容的严格性之压力。他由之得到了更深入的柯西证明，其方法不是作一点小改动尾随的“仔细的证明分析”，而是激进且富于想象的革新。勒让德证明还更不令人满意：内容比日果内证明还贫乏。

（a）以更深入的证明扩增内容

OMEGA：我喜欢Lambda的一证多驳法，我跟他同样深信，没准儿何时我们便最终得到了严格的证明分析，因此亦得到了肯定为真的定理。不过，即便如此，正是我们的方法产生了一个新问题：证明分析在增加确定性时，减少了内容。证明分析中每增加一条新引理，都对应地增加定理中的一个新条件，而缩小了其论域。严格性倒是增加，适用的多面体却不断减少了。那么引理并入不就重蹈Beta为安全起见而稳扎稳打时的覆辙了吗？我们岂不也会“撤退得太激进，把许许多多欧拉多面体置于城墙之外”吗^[87]？在两种情况下，我们都可能把婴儿跟浴盆里的水一起倒掉。我们应有一个平衡力，来抵消减少内容的严格性之压力。

我们已在此方向上迈出几步了。我且提醒你们回想两件事例并重新检查它们。

一个是我们首次遇到的局部而非全局的反例^[88]。在我们开始的证明分析中（即“从平面三角形化网状结构中，只有两种移去三角形的可能：要么移走一条棱，要么移走两条棱加一个顶点”），Gamma驳倒了第三引理。他从网状结构的中间移走了一个三角形，而棱与顶点却根本没减少。

我们接着有了两种可能性。^[89]第一种可能是，将错误的引理并入定理中。要虑及确定性，这便是再合适不过的方法，但要大大缩小定理的论域，使其只适用于四面体。这样，除一个例子幸免外，我们便把所有例子与反例一起抛弃了。

这便是我们接受另一种选择的根本原因：我们不通过引理并入来缩小定理的论域，而以一条未被证伪的引理替代已被证伪的引理，从而扩大定理的论域。不过这一定理之形成的至关紧要的模式不久便被人遗忘，而Lambda也根本不费一点心思去把它表述为一条探试规则。它应为：

规则4　如你有一局部而非全局的反例，设法以一条未被证伪的引理替代已驳倒的引理，从而改进你的证明分析。

定理之内容在第三种反例（全局而非局部）的压力下不断减少第一种反例（局部而非全局）可提供机会扩增我们的定理之内容。

GAMMA：规则4再次把Alpha如今已放弃的“完美的证明分析之直觉”的弱点暴露无遗^[90]。若是他的话，他会把可疑的引理一一列出，且立即如数并入，而——毫不在乎反例地——凑成一堆几乎空空如也的定理。

老师：Omega，让我们听听你方才要说的第二件事例。

OMEGA：在Beta的证明分析里，第二引理是“所有面皆为三角形”^[91]。这可被许多局部而非全局的反例证伪，如立方体或者十二面体。故而，先生，您便替之以一条未被它们证伪的引理，即“任一面皆被对角棱一分为二”。不过，您并未借助规则4之力，而是叱责了Beta“粗心的证明分析”。您会承认规则4这则建议要比仅仅说“细心一点儿”有效。

BETA：正是如此，Gamma，你亦使我更加了解“最优秀的例外排除者之方法”了^[92]。他们以谨慎而“安全”的证明分析起头，并在系统运用规则4的情况下，逐渐建立起定理，这中间一句假话也不说毕竟，是通过一个比一个假的夸夸其谈，还是通过一个比一个真的谦逊之词去通达真理，这是个性格问题。

OMEGA：或是如此。但可以有两种方式解释规则4。迄今我们只考虑过第一种稍弱的解释：“以反例驳不倒的略微修改后的引理替代错误的引理，来制作并改进证明，是轻而易举的事”^[93]；要能如此，所需的不过是对证明的“更细心的”检查和一次“平常的观察”^[94]依此种解释，规则4不过是在原始证明的框架内的范围补缀而已。

我还要考虑可替代第1种的激进解释：替换引理——或者可能是所有引理——的手段，不只是要努力把给定证明的最后一小块内容全挤出来，并且可能还要发明一个完全不同的、内容更广的更深入的证明。

老师：譬如说？

OMEGA：我早先同一位朋友讨论了笛卡儿－欧拉猜想，他立马给出了如下的证明：让我们想象一个空心多面体，其表面由任意刚性材料制成，比如硬纸板。其棱必须在其内表面清楚地画上。让其内灯火通明，并设某一面是一个普通相机的镜头——从此面我便可拍一张所有棱与顶点的快照。

SIGMA［旁白］：照相机参加了数学证明？

OMEGA：于是我得到一张平面网状结构的相片，可与你的证明中的平面网状结构做同样的处理。我亦可以相同方式说明，若面是单连通的，便有V－E＋F＝1，再加上照片上不可见的镜头那一面，我便得到欧拉公式。这里的主要引理是：存在多面体的一个面其换为照相机镜头后，便可照出多面体的内部景象，让所有的棱与顶点皆在胶卷显影。现在我引入下面的简略表述：不说“至少从一个面可拍遍其内部的多面体”，而说“准凸多面体”。

BETA：所以你的定理是：所有带单连通面的准凸多面体是欧拉多面体。

OMEGA：为了简洁，及表扬这个特殊证明思想的发明者，我倒愿意说：“所有日果内多面体是欧拉多面体”^[95]。

GAMMA：可是有许多的简单多面体啊，虽然从头到脚是欧拉多面体，但却犬牙交错得厉害，使得不能由任一面照遍其内部！日果内的证明并不比柯西的深入——倒是柯西的证明比日果内的深入！

OMEGA：那还用说！我推测老师已知道了日果内的证明，他由一些局部而非全局的反例发现它不尽如人意，便把光学——照相——引理换了更为宽广的拓扑学——拉伸——引理。他由之得到了更深入的柯西证明，其方法不是作一点小改动尾随的“仔细的证明分析”，而是激进且富于想象的革新。

老师：我接受你的例子——但我并不曾了解到日果内的证明不过，如果你以前知道，你为何不把它告诉我们呢？

OMEGA：因为我立即便用欧拉多面体非日果内多面体把它驳倒了。

GAMMA：我方才说，我也发现了这样的多面体。但是否那便是一股脑儿废弃日果内证明的理由？

OMEGA：我是这么认为的。

老师：你听说过勒让德的证明吗？你要把它也废弃了？

OMEGA：当然要。勒让德证明还更不令人满意：内容比日果内证明还贫乏。他的思想实验是先把多面体以一个中心投影映射到包含此多面体的球体上。球体的半径他设为1。投影中心的选法他要求经过一次且仅有一次的投影后，球面的多边形网络便盖满球体。故而他的第一引理便是如此的点存在。他的第二引理是，对球面上的多面体网状结构来说，有V－E＋F＝2——不过，这条引理被他成功地分解成了球面三角学的平常的真引理。可是，能做到这样的中央投影的点只存在于凸的及少许正派的“几乎凸的”多面体中——这是比“准凸”多面体还狭小的类别。而“所有勒让德多面体是欧拉多面体”这个定理^[96]，虽完全不同于柯西定理，却只是更糟它是如此“令人遗憾的不完备”^[97]。这简直是“白费工夫，它预设了欧拉定理并不依赖的条件。必须废弃它，而去寻找更普遍的原理”^[98]。

BETA：Omega之言甚是。“从某种程度上说，凸性对于欧拉性是偶然因素。一个凸多面体可转化为非凸多面体，譬如敲凹一处或者把一个或更多的顶点按进去，而最后仍有相同的构形数。欧拉关系对应着比凸性更基本的某种关系。”^[99]你要加上你的“近乎”和“准的虚饰，便休想捕获这种关系。

OMEGA：我过去以为老师已经捕获它了，就在柯西证明的拓扑学原理中，在这个证明里，勒让德证明的所有引理都换为了崭新的引理。这个证明肯定是过去以来最深刻的，但之后我偶然发现了一个多面体，就是这个证明也被它驳倒了。