共轴球面系统的物像关系矩阵

4.2　共轴球面系统的物像关系矩阵

在共轴球面系统中，当引入相应的物平面与像平面之后即得到成像的概念。从物平面上一点到其像平面上的共轭像点，可以认为中间经过一个变换，由此即引出物像关系矩阵的概念。

若轴外物点B经系统成像为B＇点（见图4.1），这一成像过程，除应考虑系统（透镜）本身的变换作用外（即系统的作用矩阵），尚应考虑光线在物平面到系统（透镜）第一表面均匀介质中的传递变换（即从B点到P₁点）以及光线在系统（透镜）的最后（第二）表面到像平面间均匀介质中的传递变换（即从P_K点或P₂点到B＇点）。这两部分变换作用，从本质上说都是传递矩阵的作用（与光线在透镜介质中的传递矩阵类同）。应该注意的是，这两个传递矩阵中的间隔d值应分别以物距（－l₁）和像距（l_K＇）的绝对值代入。下面导出由K个面组成的共轴球面系统物像关系矩阵的一般形式。若从物面到透镜第一面的传递矩阵以T_1A表示，从系统最后表面到像面的传递矩阵以T_A＇K表示，即分别有

则定义从物面到像面的系统物像关系矩阵为

即系统的物像关系矩阵是由物空间传递矩阵（T_1A）、系统作用矩阵（M_K1）和像空间传递矩阵（T_A＇K）的乘积构成。

若过物点B的光线为，则到达像点B＇的光线为

上式的物理意义是：传递矩阵T_1A将物点B上的光线传递到P₁点；系统的作用矩阵M_K1使光线经系统到达P_K点；传递矩阵T_A＇K将P_K点的出射光线传递到像点B＇，即得到像点上的光线。总之，物像关系矩阵M_A＇K反映了一对共轭面上的物像关系变换作用。

将式（4.31）按矩阵乘法展开，得到

将上式代入式（4.32），得到

式（4.34）对应的线性方程组为：

由式（4.36）可以看出，在系统作用矩阵（高斯常数a、b、c、d）确定的条件下，像高y_K＇不仅与物高y₁有关，而且与物点B上发出的光线的倾斜角u₁有关。对给定的物高y₁，像高y_K＇随u₁的不同而不同，即非常量，产生像差。在近轴理想成像的条件下，像高y_K＇应与u₁无关，即β应为常量，这就要求式（4.36）中首项的系数为零，即应有

由上式即可导出近轴像距：

显然，l_K＇与l₁唯一对应，而与u₁无关。相应地，理想像高与横向放大率分别为

这样，当给定物距l₁和系统结构，求出系统作用矩阵各高斯常数a、b、c、d后，即可利用上述公式依次求出l_K＇、y_K＇和β。

将式（4.37）代入式（4.33）中，且知detM_A＇A=1，因此应有

将式（4.37）、式（4.40）、式（4.41）代入式（4.33），可以得到近轴物像关系矩阵的十分简洁的形式：

上述物像关系矩阵的形式具有普遍意义，对于任何复杂系统均适用。

相应地，物像关系的矩阵方程应为：

显然，上述由K面组成的共轴球面系统中的有关公式，同样适用于由两个折射面所组成的透镜（或单折射面），只需令各有关公式中的下标K=2（或K=1）即可。

利用上述由近轴物像关系矩阵所导出的公式（4.38）～式（4.40），可以计算确定共轴球面系统的基点位置和焦距，并从中看出各高斯常数的物理意义。

（1）主面位置

在公式（4.40）中，将β=+1代入，并令l_K＇=l_H＇，则得到像方主面位置：

若将β=+1代入式（4.41），并令l₁=l_H，则得到物方主面位置：

（2）焦面位置

当l₁=－∝时，β=0，令l_K＇=l_F＇，代入式（4.40），则得到像方焦面位置：

当l_K＇=∝时，β=∝，令l₁=l_F，代入式（4.41），则得到物方焦面位置：

（3）焦距值

显然，

（4）节点位置

由式（2.46）和式（2.47）知　　，由于节点处γ=1，因而。将β值代入式（4.40），并令l_K＇=l_J＇，则得到像方节点位置：

将代入式（4.41），并令l₁=l_J，则得到物方节点位置：

由式（4.50）和式（4.51）亦可以看出，在空气中系统的节点与主点重合。

各高斯常数的物理意义分析如下：

由式（4.48）得到

表明系统作用矩阵的高斯常数a就是系统的总光焦度φ。

将式（4.47）÷式（4.49），得到

将式（4.46）÷式（4.48），得到

式（4.53）和式（4.54）表明，高斯常数b和c分别是物方和像方的顶焦距与焦距之比。

另外，对透镜来说，可视为透镜的相当空气层厚度。

最后，将共轴球面系统近轴的各变换矩阵概念，列表如表4.1所示，并举例计算。

［例4.2］计算［例4.1］负弯月透镜的基点位置和焦距值。

解：已知

由式（4.44）～式（4.51），应有

上述计算表明，由于负弯月透镜两边介质不同，因而有；且节点与主点不重合。其各基点位置表示于图4.3。

图4.3　负弯月透镜的各基点位置

表4.1　共轴球面系统近轴的各变换矩阵

［例4.3］　有一双胶物镜，其结构数据为：n₁=1.0，n₁＇=n₂=1.5，n₂＇=n₃=1.6，n₃＇= 1.0；r₁=1.0，r₂=－2.0，r₃=－5.0，d₁=0.5，d₂=0.5。

求该双胶物镜的作用矩阵、基点位置和焦距；又知在物镜左侧4.0处有一物体，物高为0.5，求其近轴像距、横向放大率及像高。

解：（1）首先写出构成系统作用矩阵的各折射矩阵和传递矩阵，然后求系统作用矩阵、基点位置和焦距：

系统的作用矩阵：

高斯常数：a=0.5411，b=0.9385，c=0.6901，d=－0.6510。

校核：detM₃₁=bc－da=0.9385×0.6901－0.5411×（－0.6510）=1.0，表明计算正确。其

各基点位置和焦距为（该双胶物镜位于空气中）：

（2）求近轴像距l₃＇、横向放大率β、像高y＇并写出其物像关系矩阵。

已知l₁=－4.0，y₁=0.5；又由（4.38）式应有

由式（4.39）和式（4.40）知，应有

y₃＇=（－al₃＇+c）y₁=（－0.5411×2.7828+0.6901）×0.5=－0.4078

由式（4.42）知，其物像关系矩阵应为

以上，通过较简单系统的举例，介绍了根据给定的共轴球面系统具体结构，求系统作用矩阵、物像关系矩阵、以及由物求像的具体方法。应该指出，对较复杂系统利用矩阵方法计算，并非通过手工计算，而是通过编制程序在计算机上进行计算，因而具有很大的优越性。