的基点位置与焦距计算公式

时间：2022-02-12 理论教育版权反馈

【摘要】：图3.28给出了各种厚度条件下，基点位置与焦距情况的分析。在确定焦距值和基点位置过程中，为避免由于r2=∞而使相应计算公式中出现不定式的情况，将公式的分子和分母同除以r2，并求当r2=∞时分式的极限。负弯月透镜的像方焦距的符号和基点位置与透镜的厚度及半径有关。

3.8.2　透镜（厚透镜）的基点位置与焦距计算公式

前面提到，组成透镜的两个折射球面可以视为两个单独的光组。因此，解决了单折射球面的主面位置和焦距计算，就可以利用两光组复合的有关公式，求出具有一定厚度的透镜的主面位置和焦距。

如图3.27所示，设透镜的两折射球面的半径分别为r₁和r₂，透镜沿光轴的厚度为d，玻璃折射率为n。从实际应用中的绝大多数情况出发，即透镜位于同种介质（例空气）中，透镜两边介质的折射率相同，设为n₀（例n₀=1）。首先求出两单折射球面的焦距分别为

由于单折射球面的主面为球面顶点的切平面，因而透镜的厚度d即为两个折射球面主面间的距离。将组成透镜的两光组的光学间隔Δ以透镜结构参量表示，其关系式为

图3.27　透镜基点位置与焦距的求取

将上式代入式（3.35），可得到位于n₀介质中厚透镜的像方焦距：

由于透镜位于同种介质中，因而f=－f＇。

前式若以光焦度的形式表示，则有

上式若以曲率形式表示，即，则有

由上式可以看出厚透镜φ值的正负不仅与ρ₁、ρ₂有关，而且还与透镜厚度d有关。

由于一般透镜均位于空气中，即介质折射率n₀=1，因此上述公式组相应地变为

以下关于基点位置公式等的讨论，均按透镜位于空气中考虑。

在确定了透镜焦距值的基础上，只要求出主面位置，则焦点位置随之确定。确定主面位置以采用高斯公式系比较方便、直观，将f＇、f₁＇、f₂值代入式（3.53）和式（3.54）式则有

对有一定厚度的透镜，尚需要确定其物方主面与像方主面间的距离，以a表示该量，则有

上式中，a的符号规则为：由物方主点H为原点，算到像方主点H＇，由左向右为正；反之为负。根据a值的正负可以判定物方主面H与像方主面H＇的相对位置。

利用式（3.60）～式（3.65）可以计算位于空气中的、具有一定厚度的各种类型单透镜的基点、基面位置和焦距。

下面对常见的几种典型透镜的主要特性进行分析。为使分析叙述简便，取

Q=n（r₂－r₁）+（n－1）d　　　　　　　　　　（3.66）

利用Q作为判别因子，则上述各计算公式可以表示为

1）双凸透镜

双凸透镜满足r₁＞0，r₂＜0的条件。由式（3.66）和式（3.67）式可以看出，对给定的r₁、r₂，Q随厚度d的不同而变化，双凸透镜的焦距f＇值可能为正值，也可能为负值。图3.28给出了各种厚度条件下，基点位置与焦距情况的分析。

图3.28　各种双凸厚透镜的基点位置与焦距分析

（1）若Q＜0，则有f＇＞0，即当透镜厚度满足的条件时，有f＇＞0（f＜0），此时透镜为正透镜或会聚透镜。在一般情况下，绝大部分双凸透镜的厚度均较小，满足上述条件，因而为正透镜。

此外，当Q＜0时，表明像方主点H＇在O₂点左侧；，表明物方主点H在O₁点右侧。

另外，当d＜r₁－r₂时，，表明H＇点在H点的右侧，因而透镜的两个主面位于透镜的内部，基点的位置如图（a）所示，其次序为F，H，H＇，F＇。

当d增大至d=r₁－r₂时，有a=0，表明物方主面与像方主面重合于透镜二折射球面的公共球心处（如图（b）所示）。

（2）当厚度增大至使Q=0时，即满足

则有f＇=∞，即透镜相当于望远系统（Δ=0，F₁＇与F₂重合的情况），见图（c）所示。相应地l_H＇=∞，l_H=∞，a=∞，即物方与像方焦点和主面均位于无限远处。

（3）当厚度继续增大，使，因而Q＞0，则有f＇＜0（f＞0），即此时的双凸透镜对光线起发散作用，相当于一发散透镜。

由于l_H＇＞0，l_H＜0，表明像方与物方主面移出透镜；a＞0，因而像方主面在物方主面的右方。

应该指出，图3.28中图（b）、图（c）、图（d）所表示的情况，并非通常实用的情况。因此，上述对厚度变化影响的分析，主要目的是建立透镜结构对其光学性质影响的全面了解。

2）平凸透镜

由一个凸球面折射面和一个平面折射面组成的透镜为平凸透镜，具体形式有两种，如图3.29（a）和（b）所示。

图3.29　平凸透镜

在图（a）中，r₁＞0，r₂=∞。在确定焦距值和基点位置过程中，为避免由于r₂=∞而使相应计算公式中出现不定式的情况，将公式的分子和分母同除以r₂，并求当r₂=∞时分式的极限。由此得到：；；l_H=0；。

在图（b）中，r₁=∞，r₂＜0。用同样的处理方法可以得到：；l_H＇=0；l_H；。

由上可见，平凸透镜的像方焦距f＇恒为正值，且与透镜厚度d无关；其一个主面与球面顶点相切，另一个主面位于透镜内部，与平面距离约为；基点位置排列次序为F、H、H＇、F＇。

3）正弯月透镜

其特征是两折射球面半径符号相同，且凸面半径的绝对值小于凹面半径的绝对值，厚度自中心至边缘渐薄。具体形式如图3.30所示。

图3.30　正弯月透镜

在图（a）中，0＜r₁＜r₂，Q＞0，因而f＇＞0，即为正透镜；又l_H＇＜0，l_H＜0表明像方主面与物方主面分别在O₂点与O₁点的左侧，且随着厚度d的不同，像方主面可能移出透镜，也可能在透镜内部；由于a＞0，因而H＇在H的右侧。基点位置的次序为F，H，H＇，F＇。

在图（b）中，r₁＜r₂＜0，Q＞0，因而f＇＞0，为正透镜；l_H＇＞0，l_H＞0，故像方主面与物方主面分别在O₂点和O₁点的右侧；a＞0，故H＇在H的右侧。基点位置的次序亦为F，H，H＇，F＇。

4）等厚透镜

等厚透镜是一种具有相同半径（r₁=r₂）的弯月透镜，从透镜中心到边缘其轴向厚度处处相同。图3.31（a）、（b）是其两种结构形式。由于Q=（n－1）d＞0，因而f＇＞0，透镜属于正透镜；另外，两种情况下，均有，（r=r₁=r₂），即主面均向背离球心的方向移出透镜；主面间距a=d＞0，H＇在H的右侧，基点位置的顺序亦为：F、H、H＇、F＇。

图3.31　等厚透镜

以上四种类型透镜基本上属于正透镜（在实际采用厚度的条件下），对光线起会聚作用。其形状的共同特征是沿光轴的厚度大于（或等于）边缘厚度。

5）双凹透镜

如图3.32所示，双凹透镜具有两个凹面，r₁＜0，r₂＞0。由于Q＞0，因而对任意d值，恒有f＇＜0，即为负透镜（发散透镜），对光线起发散作用；由于l_H＇＜0，l_H＞0，a＞0，因而两主面均位于透镜内部，且H＇在H的右侧，基点位置的顺序为： F＇、H、H＇、F。

图3.32　双凹透镜

6）平凹透镜

平凹透镜是一个平面与一个凹球面所组成的透镜，图3.33是其两种结构形式。采用如平凸透镜同样的处理方式，可以得到相应的焦距。

图3.33　平凹透镜

图（a）中，r₁＜0，r₂=∞。，为负透镜，且有主面位置：，l_H= 0，；

图（b）中，r₁=∞，r₂＞0。，为负透镜；且有主面位置：l_H＇=0，，。

总之，平凹透镜是负透镜，焦距值与厚度d无关，其一个主面与球面顶点相切，另一个主面位于透镜内部，基点位置的排列顺序为F＇、H、H＇、F。

7）负弯月透镜

负弯月透镜的两个折射球面的半径符号相同，但凸面半径大于凹面半径，透镜的厚度自中心向边缘逐渐变厚。

负弯月透镜的像方焦距的符号和基点位置与透镜的厚度及半径有关。在通常实用的厚度情况下，，如图3.34（a）、（b）所示的两种情况，均应有Q＜0，因而f＇＜0，即透镜为对光线起发散作用的负透镜。其中，在图（a）情况下，l_H＇＞0，l_H＞0，a＞0；在图（b）的情况下，l_H＇＜0，l_H＜0，a＞0。两种情况下的共同规律是：两主面均向球心方向偏移，且H＇点恒在H点右侧，基点位置顺序为F＇、H、H＇、F。