永远不能被使用的数学演绎的例子

在我们刚才所举的例子的情况内，我们增加了通常把实际给定的实验条件翻译为理论事实的测量方法的精确性；用这种方式，我们越来越抽紧这种翻译使其与单一的实际事实相关的理论事实束。同时，我们也抽紧我们的数学演绎用以描述就该实验所预言的结果的理论事实束；它变得足够狭窄，足以使我们的测量方法把它与单一的实际事实关联起来，此刻我们的数学演绎变得有用。

情况仿佛应该总是如此。如果我们把单一的理论事实看做数据，那么数学演绎把它与另一个理论事实关联起来；作为结果，我们自然被导致阐述下述结论：对于我们希望作为结果得到的理论事实束而言，无论需要什么样的狭窄性，数学演绎将总是能够使它保证这种狭窄性，倘若我们充分地抽紧描述给定数据的理论事实束的话。

如果这一直觉包含真理，那么起源于物理学理论依赖的假设的数学演绎除非是以相对的和暂时的方式，否则从来也不会是无用的；不管准备测量实验结果的方法多么精致，我们总是能够通过把实验条件翻译为数的手段变得足够精确和细微，设法使我们的演绎从实际确定的条件引出实际唯一的结果。在今天无用的演绎，也许在我们显著地提高用来测量实验条件的仪器的灵敏度的那一天，会变成有用的。

近代数学家十分警惕这些往往只是耍花招的骗局之证据的出现。我们刚刚诉诸的无非是骗人的东西。我们能够引用它与真理明显矛盾的案例。某个演绎把视为给定的单一理论事实与作为结果的单一理论事实关联起来。如果给定的东西是一束理论事实，那么结果是另一束理论事实。但是，我们徒劳地无限期地抽紧第一束，并使它尽可能地细；可是情况却不允许我们把第二束的偏离减少到我们所希望的那么多；虽然第一束是无限狭窄的，但是形成第二束的叶片分叉并分开了，我们不能把它们的相互偏离减小到某一限度之下。对物理学家来说，这样的数学演绎是无用的，并将依然总是无用的；不管将用来把实验条件翻译为数的仪器是多么精确和细微，这种演绎仍将把无限不同的实际结果与实际确定的实验条件关联起来，将不容许我们预言在给定的境况中应该发生什么。

阿达玛（J.Hadamard）的研究向我们提供了这样的演绎从来也不能够是有用的十分引人注目的例子。它是从一个最简单的问题借用的，物理学理论中的最少复杂性的理论即力学必须处理这个问题。

一个物质质量在面上滑动；没有重量和力作用于它；没有摩擦干扰它的运动。如果它不得不逗留的面是平面，那么它便以匀速描绘出直线；若面是球面，则它也以匀速描绘出大圆的弧。不管我们的质点沿什么面运动，它都描绘出一条线，几何学家称这条线为所考虑的面的“短程线”。当我们的质点的初始位置和它的初始速度的方向已知时，它应该描绘的短程线就完全确定了。

阿达玛的研究特别处理了负曲率的面的短程线、多重相关和无限折叠。 ^[18] 在这里，在不中止在几何学上定义这样的面的情况下，让我们仅限于阐明它们之一。

想象一下公牛的额部，角和耳从隆起处突出，中空的轭在这些隆起处之间；但是，没有限度地延长这些角和耳，以至它们延伸到无限；此时，你将有一个我们希望去研究的面。

在这样一个面上，短程线可以显示许多不同的样式。

首先，在它们之上存在闭合的短程线。也存在一些距它们的起点从来不是无限遥远的短程线，尽管它们从未再次精密地通过它；一些短程线连续地绕右角旋转，另一些绕左角旋转，或绕右耳，或绕左耳旋转；还有一些比较复杂的短程线按照某些法则使它们绕一个角描绘的旋转与它们绕另一个角描绘的旋转交替进行，或者与绕一个耳的交替进行。最后，在我们的具有无限制的角和耳的公牛的额部上，将存在达到无限的短程线，一些爬上右角，另一些爬上左角，还有其他一些跟随右耳或左耳。

不管这多么错综复杂，只要我们十分准确地了解质点在这头公牛额部的初始位置和初始速度的方向，这个质点在它的运动中遵循的短程线将毫不含糊地被决定。尤其是，我们将知道，运动的质点是否将总是在距它的起点一定距离上存在，或者它是否无限期地远离而去，永远也不返回。

倘使初始条件不是数学地给定的而是实际地给定的，情况将迥然不同：我们的质点的初始位置将不再是该面上的一个确定的点，而是包含在一个小斑点内的一些点；初始速度的方向将不再是毫不含糊地确定的直线，而是包括在由小斑的轮廓联结起来的窄束内的线中的某一条；对几何学家来说，我们在实际中确定的初始条件对应于不同初始条件的无限复合。

让我们想象对应于没有达到无限的短程线的这些几何数据中的某一个，例如一条连续地绕右角旋转的短程线。几何学容许我们如下断言：在不计其数的对应于同一实际数据的数学数据当中，存在某个决定无限期地离开它的起点而运动的短程线某个数学数据；在绕右角旋转若干次之后，这个短程线将在右角上达到无限，或者在左角上，或者在右耳或左耳上达到无限。比这更多的是：不管限制能够描述给定的实际数据的几何数据的狭窄范围，我们总是能够以这样的方式选取这些几何资料，以至短程线将在我们预先选择的无限的折叠之一上离去。

减小质点的初始位置所在之处的斑点，抽紧包括在速度的初始方向内的线束，将无助于增加用来决定实际数据的精确性，因为依然处在有限距离的短程线在连续地绕右角旋转时，将无法摆脱不可靠的伙伴，这些伙伴在像它那样绕右角旋转之后，将无限期地离去。在初始数据固定时这种较大精确性的唯一结果，将必然迫使这些短程线在产生它们的无限分支前，描绘较多数目的环绕右角的旋转；但是，这种无限的分支将从未被抑制。

因此，如果一个质点被抛在所研究的面上，以几何学上给定的速度从几何学上给定的位置开始运动，那么数学演绎能够决定这个质点的轨迹，并告诉这个路线是否达到无限。但是，对物理学家来说，这个演绎永远不能实现。事实上，当数据在几何学上不再已知，但是却由物理学程序像我们假定的那样精确地决定，所提出的问题依然是并将总是没有答案的。