数学演绎在物理上有用和无用

我们所做的这些评论是十分简单的，对物理学家来说是平凡的；无论如何，就理论的数学展开而言，它们隐含严肃的结果。

当运算的数值资料被以精确的方式确定时，不管这一运算多么冗长和多么复杂，它同样地产生结果的精密数值的知识。如果我们改变资料的值，我们一般地也就改变结果的值。因此，当我们用一个近似定义的理论事实描述实验的条件时，数学展开将用另一个近似定义的理论事实描述这个实验应该提供的结果；如果我们改变翻译实验条件的理论事实，那么翻译结果的理论事实将同样地改变。例如，在从热力学假设演绎把冰的熔点和压力关联起来的公式中，如果我们用某个数代替表示压力的字母P，那么我们将知道必须用来替代字母T即熔点温度的符号的数；如果我们改变赋予压力的数值，那么我们也就改变熔点的数值。

现在，按照我们在本章第一节看到的东西，倘若具体地给出实验条件，那么我们将不能毫不含糊地用一个确定的理论事实翻译它们；我们不得不使它们与在数目上无限的、整个一束理论事实相关。从而，理论家的运算将不是以唯一的理论事实的形式，而是以无限不同的理论事实的形式预言实验结果。

例如，为了翻译我们有关冰的熔点的实验条件，我们将不能用单一的和唯一的数值，比如说十个大气压，代替压力的符号P；如果我们使用的流体压力计的误差范围是0.10大气压，那么我们将不得不设想，P可以取包括在9.95和10.05大气压之间的所有值。自然而然，冰的熔点的不同值将与这些压力值中的每一个相关联。

于是，以具体方式给出的实验条件被一束理论事实翻译；理论的数学展开使这第一束理论事实与打算代替实验结果的第二束理论事实关联起来。

后面的这些理论事实将不能以我们获得它们的同一形式为我们服务。我们必须翻译它们，并以实际事实的形式提出它们；只有此时，我们才真正了解我们的理论分配给我们的实验的结果。比如，我们将不必为从我们的热力学公式中推导出的字母T的各种不同的数值而踌躇，但是必须找出，所预示的值对应于我们温度计分度标上哪些实际可观察的读数。

现在，当我们完成一想要把理论事实转化为实际事实的新翻译时——与我们起初关心的翻译相反——，我们得到了什么呢？

结果原来是，数学演绎用来把应该产生的结果分配给我们实验的那束无限数目的理论事实，在翻译后将不向我们提供几个不同的实际事实，而仅仅提供单一的实际事实。例如，可能碰巧，针对字母T找出的两个数值甚至从未相差百分之一度，我们温度计的灵敏度的范围是百分之一度，以致所有这样T的不同理论值实际上都对应于温度计标尺上的同一读数。

在这样的例子中，数学演绎将达到它的目的：它将容许我们断定，依据我们的理论赖以建立的假设的实力，在某些实际给定的条件下所做的某一实验，应该产生某个具体的和可观察的结果；它将使理论的推论与事实的比较变得有可能进行。

但是，情况并非总是如此。作为数学演绎的结果，无限的理论事实以我们实验的可能结局呈现出来；通过把这些理论事实翻译为具体语言，也许碰巧我们得不到单一的实际事实，而是得到我们仪器的灵敏度将容许我们区分的几个实际事实。例如，可能碰巧，我们的热力学公式针对冰的熔点给出的不同数值显示出十分之一度甚或一度的偏差，而我们的温度计容许我们估计百分之一度的值。在这种情况下，数学演绎将丧失它的有效性；在实验条件实际给定后，我们将不再能够以实际定义的方式陈述应该被观察到的结果。

因此，起源于理论依赖的假设的数学演绎，按照它是否容许我们导出实验——实验的条件被实际给定——的结果的实际确定的预言，可以是有用的或无效的。

数学演绎的有用性的这种评价并非总是绝对的；它取决于在观察实验结果时使用的仪器的灵敏程度。例如，让我们设想，实际给出的压力与冰的一束熔点相关，在两个熔点之间有时存在大于百分之一度的差异，但从未存在高于十分之一度的差别。其温度计只度量十分之一度的物理学家将认为产生这一公式的数学演绎是有用的，其仪器准确地检测百分之一度差异的物理学家将认为它是无用的。在这方面，我们看到，关于数学展开的有用性的判断，随时间、实验室和物理学家的不同，依据设计者的技艺、设备的完善程度和拟议的实验结果的应用，其变化是何等之大。

这种评估也依赖于为把实际给定的实验条件翻译为数而使用的测量工具的灵敏度。

让我们再次以热力学公式为例，它不断地作为例子为我们服务。我们持有准确地分辨百分之一度的温度计；为了我们的公式可以在没有实际的模棱两可的情况下陈述冰在给定压力下的熔点，该公式应该让我们产生对百分之一度而言是正确的字母T的数值，将是必要而充分的。

现在，如果我们使用粗糙的流体压力计，它在两个压力差小于十个大气压时无法区分它们，实际给定的压力可能碰巧对应于在公式中差别大于百分之一度的熔点；反之，如果我们用比较灵敏的、能准确地区分相差一个大气压的两个压力的流体压力计确定压力，那么该公式将使近似已知高于百分之一度的熔点与给定的压力相关。当我们使用第一个流体压力计时是无用的公式，在我们使用第二个流体压力计时变得有用了。