不可思议的分形图形

讲数学之美，分形图形是不可不讲的。如果说有什么东西能够让数学和艺术直接联系在一起，答案毫无疑问就是分形图形。

让我们先来看一个简单的例子。首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换成一座小山，得到了 16 条更小的线段。然后继续对这 16条线段进行类似的操作，并无限地迭代下去。图 1是这个图形前五次迭代的过程，可以看到第五次迭代后图形已经相当复杂，我们已经无法看清它的全部细节了。

图1

你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的4/3。如果最初的线段长度为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了4/3，第二次操作后总长度增加到16/9，第n次操作后总长度为。毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

现在，我们像图2那样，把3条这样的曲线首尾相接组成一个封闭图形。这时，有趣的事情发生了，这个雪花状的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。有人可能会说，为什么面积是有限的呢？虽然从图2看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。3条曲线中每一条在第n次迭代前都有4^n-1条长为的线段，迭代后多出的面积为4^n-1个边长为的等边三角形。把4^n-1扩大到4ⁿ，再把所有边长为的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数是收敛的。很难相信，这一块有限的面积，竟然是用无限长的曲线围成的。

图2

这让我们开始质疑“周长”的概念了：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是π厘米吗？拿放大镜看看，我们就会发现纸片边缘并不是平整的，上面充满了小锯齿。再用显微镜观察，说不定每个小锯齿上也长有很多小锯齿。然后，锯齿上有锯齿，锯齿上又有锯齿，周长永远也测不完。分形领域中有一个经典的说法，“英国的海岸线有无限长”，其实就是这个意思。

上面这个神奇的雪花图形叫做科赫雪花，那条无限长的曲线就叫做科赫曲线。他是由瑞典数学家冯·科赫（Helge von Koch）最先提出来的。

分形这一课题提出的时间比较晚。科赫曲线于 1904年提出，是最早提出的分形图形之一。我们仔细观察一下这条特别的曲线。它有一个很强的特点：你可以把它分成若干部分，每一个部分都和原来一样（只是大小不同）。这样的图形叫做“自相似”（self-similar）图形。自相似是分形图形最主要的特征，它往往都和递归、无穷之类的东西联系在一起。比如，自相似图形往往是用递归法构造出来的，可以无限地分解下去。一条科赫曲线包含有无数大小不同的科赫曲线。你可以对这条曲线的尖端部分不断放大，但你所看到的始终和最开始一样。它的复杂性不随尺度减小而消失。另外值得一提的是，它是一条连续的，但处处不光滑（不可微）的曲线。曲线上的任何一个点都是尖点。

分形图形有一种特殊的计算维度的方法。我们可以看到，在有限空间内就可以达到无限长的分形曲线似乎已经超越了一维的境界，但说它是二维图形又还不够。1918年，数学家费利克斯·豪斯道夫（Felix Hausdorff）提出了豪斯道夫维度，它就是专门用来对付这种情况的。简单地说，豪斯道夫维度描述了对分形图形进行缩放后，图形所占空间大小的变化与相似比的关系。例如，把正方形的边长扩大到原来的2倍后，正方形的面积就将变成原来的4倍；若把正方形的边长扩大到原来的3倍，则其面积就将变成原来的9倍。事实上，两个正方形的相似比为1:a，它们的面积比就应该是1:a²，那个指数2就是正方形的豪斯道夫维度。类似地，两个立方体的相似比为1:a，它们的体积比就是1:a³，这就告诉了我们，立方体的豪斯道夫维度是3。然而，一条大科赫曲线包含了4条小科赫曲线，但大小科赫曲线的相似比却只有1:3。也就是说，把小科赫曲线放大到原来的3倍，所占空间会变成原来的4倍！因此科赫曲线的豪斯道夫维度为 log₃4。它约等于1.26，是一个介于1和2之间的实数。直观地说，科赫曲线既是曲线，又非曲线，它介于线与面之间。

很多分形图形的维度都介于1和2之间。比如说谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形：像图3那样，把一个三角形分成4等份，挖掉中间那一份，然后继续对另外3个三角形进行这样的操作，并且无限地递归下去。每一次迭代后整个图形的面积都会减小到原来的3/4，因此最终得到的图形面积显然为 0。因而和科赫曲线正好相反，它已经不能算二维图形了，但说它是一维的似乎也有些过了。事实上，它的豪斯道夫维度是log₂3，也是一个介于1和2之间的图形。

图3

谢尔宾斯基三角形的另一种构造方法如图4所示。把正方形分成四等份，去掉右下角的那一份，并且对另外3个正方形递归地操作下去。挖几次后把脑袋一歪，你就可以看到一个等腰直角的谢尔宾斯基三角形了。

图4

谢尔宾斯基三角形还有一些非递归的构造。1983年，斯蒂芬·沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）发现，在一个网格中，从一个黑色格子开始，不断按规则生成下一行的图形（见图5），也能得到谢尔宾斯基三角形。这种图形生成方法有一个很酷的名字，叫做“细胞自动机”。

图5

谢尔宾斯基三角形有一个神奇的性质：如果某一个位置上有点（没被挖去），那么它与原三角形顶点的连线上的中点处也有点。这给出了一个更为诡异的谢尔宾斯基三角形构造方法：给出三角形的3个顶点，然后从其中一个顶点出发，每次随机向任意一个顶点移动1/2的距离（走到与那个顶点的连线的中点上），并在该位置作一个标记；无限次操作后所有的标记就组成了谢尔宾斯基三角形。

杨辉三角与谢尔宾斯基三角形之间也有不可思议的关系。如图6，把杨辉三角中的奇数和偶数用不同的颜色区别开来，你会发现由此得到的正是谢尔宾斯基三角形。也就是说，二项式系数（或者说组合数）的奇偶性竟然可以表现为一个分形图形！这相当于给出了谢尔宾斯基三角形的第五种构造方法。利用简单的代数方法生成如此优雅的图形，实在是令人叹为观止。请记住谢尔宾斯基三角形这个最经典的分形图形，因为在未来的某个时刻，我们将会在某个出人意料的地方用到它。

大家或许已经看到了数学的奇妙之处：一个如此简单的公式，竟能形成如此美观精细的图形。说到这里，我们不得不提另一个奇迹般的分形图形。

图6

考虑函数f（z）＝z²-0.75。固定z₀的值后，我们可以通过不断地迭代算出一系列的z值：z₁=f（z₀），z₂=f（z₁），z₃=f（z₂），…。比如，当 z₀＝1 时，我们可以依次迭代出：

可以看出，z值始终在某一范围内，并将最终收敛到某一个值上。

但当 z₀＝2时，情况就不一样了。几次迭代后我们将立即发现z值最终会趋于无穷大：

z₁=f（2.0）=2.0²-0.75=3.25

z₂=f（3.25）=3.25²-0.75=9.8125

z₃=f（9.8125）=9.8125²-0.75=95.535

z₄=f（95.535）=95.535²-0.75=9126.2

z₅=f（9126.2）=9126.2²-0.75=83287819.2

……

经过计算，我们可以得到如下结论：当 z₀属于［-1.5，1.5］时，z值始终不会超出某个范围；而当 z₀小于-1.5或大于1.5后，z值最终将趋于无穷。

现在，我们把这个函数扩展到整个复数范围。对于复数 z₀＝a﹢bi，取不同的a值和b值，函数迭代的结果不一样：对于有些﹢，函数值始终约束在某一范围内；而对于另一些₀z，函数值则将发散到无穷。我们把满足前一种情况的所有初始值﹢所组成的集合称为朱利亚集，它是以法国数学家加斯顿·朱利亚（Gaston Julia）的名字命名的。

由于复数对应了平面上的点，因此我们可以用一个平面图形直观地展现出朱利亚集。我们用黑色表示所有属于朱利亚集的 z₀；对于其他的 z₀，我们用不同的颜色来区别不同的发散速度，颜色越浅表示发散速度越慢，颜色越深表示发散速度越快。难以置信，由此得到的图形竟然是一个看上去非常复杂的分形图形（见图7）。

图7

这个美丽的分形图形就是f（z）＝z²-0.75时的朱利亚集。如果我们把-0.75换成别的数，比如-0.8﹢0.15i呢？这将会带来另一个完全不同的分形图形，图 8 就是f（z）＝z²-0.8﹢0.15i所对应的朱利亚集。

图8

事实上，对于复数函数 f（z）＝z²﹢c，每取一个不同的复数c，我们都能得到一个不同的朱利亚集分形图形，并且令人吃惊的是，每一个分形图形都是那么美丽，其中有些经典的朱利亚集甚至有它自己的名字。图 9就是c＝-1.755时的朱利亚集，俗称“飞机”。

图9

图10则是c＝-0.123﹢0.745i所对应的朱利亚集。它也有一个形象的名字——杜瓦地兔子。这是以法国数学家阿德里安·杜瓦地（Adrien Douady）的名字命名的。

图10

你甚至会不相信，这种简单而机械的过程可以生成如此美丽的图形。

不过，并不是所有的复数c都对应了一个连通的朱利亚集。图 11 所示的就是c＝0.3时的朱利亚集。这仍然是一个漂亮的分形图，但它和前面的图像有一个很大的区别——图像里不再有连通的黑色区域了。这是因为，真正属于朱利亚集的点都是一个个离散的点（分布在图中的各个白色亮斑中），我们已经无法从图像上直接观察到了。我们能看到的，都是那些将会导致函数值发散到无穷的点，只是它们的发散速度有所不同。

图11

于是，我们自然想到了一个问题：哪些复数c对应着连通的朱利亚集呢？数学家贝努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）是最早对这个问题进行系统研究的人之一，因此我们通常把所有使得朱利亚集形成一块连通区域的复数c所组成的集合叫做曼德尔布罗特集。注意，曼德尔布罗特集也是一个由复数构成的集合，它也能表现在一个平面上。神奇的是，曼德尔布罗特集本身竟然又是一个漂亮的分形图形（见图12）！

图12

有一个重要的定理指出，一个朱利亚集是连通的，当且仅当 z₀＝0 在这个朱利亚集里。换句话说，为了判断一个朱利亚集是否连通，我们只需要测试一下 z₀＝0 时的迭代结果即可。因此，我们有了曼德尔布罗特集的一个等价的定义，也就是所有不会让零点发散的复数c组成的集合。图12其实就是依据这个原理制作的，其中黑色的区域表示曼德尔布罗特集，即那些不会让零点发散的复数c；其他的点所对应的复数c都将会让零点发散，浅色代表发散慢，深色代表发散快。

前面说过，分形图形是可以无限递归下去的，它的复杂度不随尺度减小而消失。曼德尔布罗特集中大小两个主要圆盘相接处所产生的深沟叫做“海马谷”（sea horse valley）。图 13 展示了它的一个局部大图。它的细节非常丰富，你会看到很多像海马尾巴一样的钩子以一种分形的方式排列开来。

图13

图14 则展现了曼德尔布罗特集最右边那个深沟的景观，它也有一个名字，叫做“大象谷”（elephant valley）。

图14

曼德尔布罗特集里值得放大的地方太多了。仔细看看曼德尔布罗特集最上方的白色触须里，是不是有一些小黑点？让我们放大一下，看看它们究竟是什么吧（见图15）。

图15

你会发现，它们竟然是曼德尔布罗特集本身的形状！此时，你应该能体会到曼德尔布罗特集的深遂与神秘了吧。

如果有人提到了数学之美，我首先想到的便是曼德尔布罗特集，简单的函数迭代竟能产生如此令人震撼的结果，壮观到了让人敬畏的地步。

如果你整天都被各种数学公式折磨，并且因此厌恶数学的话，不妨在网上找些曼德尔布罗特集的图片来看看。曼德尔布罗特集完美地诠释了我非常喜欢的一个比喻：数学不只是一堆公式，正如天文学不只是一堆望远镜（见图16）。

图16