期权定价理论的早期发展

二、期权定价理论的早期发展

(一)Bachelier公式

期权定价理论的开创性论文是1900年法国数学家BachelierL.的博士学位论文《投资理论》,在这篇论文中, Bachelier假设股票价格的动态过程为布朗运动,股票收益为正态分布,得到不分红股票的欧式买入期权的定价公式为:

其中,S为股票价格,K为执行价格,T为期权到期的时间,c(S,T)为欧式买入期权价格,σ为收益的瞬时标准差,N(·)为标准正态分布的分布函数,n(·)为标准状态分布的概率密度函数。该公式允许有负的证券价格和期权价格,而且没有考虑资金的时间价值。

(二)Sprenkle公式

Sprenkle(1961)假设股票价格的动态过程满足对数正态分布,而且股票价格具有固定平均值和方差,通过在随机游走过程中引入正向漂移,欧式买入期权公式为:

表示股票价格的平均增长率,A表示风险厌恶程度。该公式中股票价格的平均增长率和对应风险厌恶程度必须估计,影响了其应用。

(三)Boness公式

Boness(1964)假定股票收益率为一个固定的对数分布,利用股票的期望收益率,通过将到期股票价格贴现,其欧式买入期权公式为:

该公式与Black-Scholes公式完全相同,但此处的ρ是股票的预期收益率而不是无风险收益率。

(四)Samuelson公式

Samuelson(1965)注意到由于不同的风险特征,期权和股票的预期收益率一般是不同的。他的欧式买入期权的定价公式为:

上面的Boness公式是ρ=α时的特例。以上所有公式中都有一个或多个任意参数,它们由投资者对风险或对股票收益率的偏好决定,因此影响了公式的应用。当时许多经济学家都试图解决这一问题。