有关在职成员的基本函数

6.2　有关在职成员的基本函数

这一节将定义几个与模型计划中的退休金受益的基金累积有关系的基本函数，这些函数与在职群体相关，其符号前都冠以α作为前缀。

6.2.1　在职群体未来退休金在时间t的精算现值（αA）（t）

在时间t，在职群体的未来退休金的精算现值记为（αA）（t）。由于在时间t的l（x，t－x＋α）dx个介于年龄x与x＋dx之间的成员在r－x年后应提期末基金累积成本为

^TP（t＋r－x）dx，

让我们来验证

注意到

可导出

未来退休金的精算现值变化率等于有关新参加者（他们在r－α年之后将退休）的未来期末基金累积率现值，减去有关现在退休的在职者的期末基金累积率，加上在时间t的精算现值利息。

6.2.2　正规成本率P（t）

假定已选择了积存函数为M（t）的一种精算成本方法，我们寻求模型计划的正规成本率的表示，即对于我们的连续模型显示将进来退休金受益精算现值分配于参加者在职期各不同估价时间的函数。

犹如（6.10），在时间t年龄介于x与x＋dx成员的未来期末基金累积成本为^TP（t＋r－x）dx，而对于积存密度函数为m（x）的精算成本方法，在时间t介于年龄x与x＋dx之间成员的应计（r－x年末）期末成本（率）为：

^TP（t＋r－x）m（x）dx

因此，相应的精算成本方法下正规成本率

一方面，在时间u加入计划的α岁成员的期末成本率为^TP（u＋r－α）；另一方面，根据（6.13），这些成员在时间t～t＋dt之间按精算成本方法应计醵出率为：

e^{－δ（r－x）T}P（t＋r－x）m（x）dt

其中x＝α＋t－u，u≤t≤u＋r－α，这一醵出率在期末（r－x年末r岁）时为：

因此，从时间u到u＋r－α的累计期末醵出率为：

即期末成本率。

6.2.3　精算积存负债（αV）（t）

对于积存函数为M（x）的精算成本方法，在职群体在时间t的精算积存负债为：

用求解公式（6.11）的方法可得

于是，

如将精算积存负债看做一项基金，正规成本按年支付率P（t）存入，在成员达到退休年龄时按期末成本率^TP（t）转出，则（6.17）左端代表基金来源于正规成本和利息的收入率，而右端则是期末成本转出率和基金变化率。

6.2.4　未来正规成本精算现值（Pα）（t）

这一节开始时曾提到，在时间t介于年龄x与x＋dx之间l（x，t－x＋α）dx个成员在r－x年后退休时的期末基金累积成本为^TP（t＋r－x）dx。这些成员从年龄y到y＋dy（x≤y＜r）的正规成本为

e^{－δ（r－y）T}P（t＋r－x）dxm（y）dy

现值为

因此，在职群体在未来正规成本精算现值为

图6.1说明了产生（Pα）（t）的想法。在式（6.19）中，内层积分表示沿对角线的元素和，而外层积分则是关于所有年龄的未来正规成本在时间t的现值。

图6.1　（Pα）（t）的形成

根据未来正规成本精算现值的含义或（6.19），可知

或者

式（6.21）与责任准备金的前瞻公式相仿，经常用于定义（αV）（t），

即

在职成员在时间t的精算负债＝在职成员未来退休金的精算现值－未来正规成本的精算现值