层次分析法的基本原理

7.3.1　层次分析法的基本原理

层次分析法是一种整理和综合专家经验判断的方法，是将分散的查询意见数理化与集中化的有效途径。本质上，它是一种决策思维方式。该方法将所要识别的复杂问题分解为若干组成因素，并将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构，由专家或决策者通过两两比较的方式确定各层次中各因素的相对重要性，并进行综合判断以确定各基层指标因素对总体目标重要性的排序结果。

运用层次分析法解决问题，一般分为四个主要步骤，具体如图7-3所示。

图7-3　层次分析法解决问题的基本思路

1.建立递阶层次分析结构模型

首先将复杂系统分解成若干组成因素。这些因素按其属性不同又分成若干组，这样各因素将归类于不同层次，其中上一层次的因素作为准则将对下一层次某些因素起支配作用。这种由上至下的支配关系就形成了一个递阶层次。通常，递阶层次结构模型分为三层:一是最高层，即总目标层。通常，总目标层只有一个因素。二是中间层，即准则层。它是为实现目标所涉及的中间目标。三是最低层，即方案层或指标层。它是为实现目标可供选择的各种措施。一个典型的递阶层次如图7-4所示。

2.构造两两比较判断矩阵

建立递阶层次分析结构后，上下层次之间因素的隶属关系被确定。由于各因素重要性的不同，需要对每一层次因素相互之间的重要性给出判断，即确定每一层因素的相对权重。对于大多数问题，直接获取各因素的权重不太容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。层次分析法是解决此类问题的一种常用方法。该方法采用两两比较的方法，首先分析因素之间的相对重要性，并赋予一定的数值，即对同一层次中各因素对上一层次某因素的重要性进行两两比较，并构造判断矩阵:

图7-4　典型的递阶层次分析结构模型

(7-4)式中:a_ij＞0; a_ij=1/a_ji(i≠j，i，j= 1，2，…，n);a_ii=1。

显然，对于n阶判断矩阵仅需对其上或下三角元素给出判断。在(7-4)式中，判断矩阵A中各元素a_ij表示因素U_i比U_j相对某一准则重要性的比例标度值(i，j= 1，2，…，n; n为两两比较的因素数目)。在a_ij的取值上，本研究采用丁俭博士提出的√3标度法。该方法是将思维判断数量化的一种方法，具体含义为:

a_ij=1:表示U_i与U_j同等重要;

a_ij=:表示U_i较U_j稍微重要;

a_ij=:表示U_i较U_j较重要;

a_ij=3:表示U_i较U_j很重要;

a_ij=9:表示U_i较U_j非常重要。

显然，如果因素U_i与U_j比较的判断为a_ij，则U_j与U_i比较的判断为1/a_ij。

3.计算相对权重

假设对于n个因素U₁，U₂，…，U_n，通过两两比较已得到判断矩阵A。那么，接下来要解决的问题是各因素排序权重的计算。通过解特征问题:

所得到的特征向量ω经正规化后即可作为因素U_i(i= 1，2，…，n)的排序权重。该方法就是排序权向量计算的特征值方法，其中λ_max和ω值的计算可采用幂法、和法或根法。在精度要求不是很高的情况下，本研究采用根法计算λ_max和ω:

步骤一:将判断矩阵A的元素按行相乘;

步骤二:所得到的乘积分别开n次方;

步骤三:将方根向量归一化，得到排序权向量ω;

步骤四:以(7-6)式计算λ_max:

(7-6)式中:(Aω)_i表示Aω的第i个元素

4.计算各层指标因素对系统目标的组合权重

层次分析法的最后结果是得到递阶层次结构中每一层次的所有因素相对于总目标的相对权重，尤其是相对于总目标的各评价指标层中因素的优先顺序权重以及该组合排序权重所依据的整个递阶层次结构所有判断的总的一致性指标，以便为管理层决策提供依据。因此，需要把步骤3的计算结果进行适当组合。

对于一个典型的三个层次的递阶结构，假设其第二层有m个因素，第三层有n个因素，且已经计算出第二层因素相对于总目标的组合排序权向量为:

同时，已计算出在第二层第j个因素作为准则下第三层各因素的排序权向量为:

其中:不受支配的因素(即与第二层中因素j无关的因素)的权重为零。

设，则第三层元素相对于总目标的组合排序权向量可表示为: