欧几里得几何及其他

至今仍在小学、初中和高中传授的几何学真不是昨天才出现的：所有的特性都是希腊数学家欧几里得提出的，而他生活在公元前300年左右（没有任何资料可以给出更确切的年份）。正如我们经常称呼的那样，这位“几何学之父”提出了五个公设，这几个（几何）数学断言本身不可证明，但我们可以在它们的基础上推证几何学剩下的一切。它当然就被称为欧几里得几何。

在这些公设中，第五个也就是最后一个公设自欧几里得时代以来就扮演了一个独立的角色。这个“平行公设”提出，给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。许多数学家认为该公设可以在前四条公设的基础上被证明；在这种情况下，它就是一条定理且会被从公设的名单上删除。证明的尝试于是开始了……好几个世纪过去人们仍然一无所获！直到十九世纪这一公设被确定为无法被证明。也就是说该公设是可以被驳回并被一种完全相反的表述代替的——“给定一条直线，通过此直线外的任何一点，没有一条直线与之平行”或者“给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有多条直线与之平行”。这些新版本的每一个后来都产生了与之对应的新几何学，都与欧几里得几何不同。这种激进的意识成为了非欧几里得几何的出生证，由两条阐述分别产生了椭圆几何（“没有一条直线与之平行”）及双曲几何（“有多条直线与之平行”）。

德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯，在1810年代或1820年代成为第一个怀疑这些非欧几里得几何存在的人。俄罗斯人尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基和匈牙利人鲍耶·亚诺什也同样被看作“非欧几何之父”。接下来人们对之进行了更详细的研究，并由另一位德国人，伯恩哈德·黎曼正式提出，这也是为什么如今人们将之称为黎曼几何（或者对一些人来说是伪黎曼几何）。它们在爱因斯坦的理论中获得了不错的前景，因为与欧几里得几何相反，它们拥有的正是弯曲。而在同一语境下，空间的欧几里得几何及闵可夫斯基的时空几何，两者都没有弯曲。