梯形法求出区间内函数的定积分值

例1　曲边梯形的面积．

由直线x＝a，x＝b，y＝0及连续曲线y＝f（x）（f（x）≥0）所围成的图形称为曲边梯形．由于曲边梯形的面积不能用初等数学的方法计算，为了求得它的值，可以考虑下面的方法．

图5.1

把区间［a，b］划分为若干个小区间，在每一个小区间上的曲边梯形近似地看成矩形，矩形的高取为小区间上某点的函数值，于是每个小曲边梯形的面积近似地等于该区间上的小矩形的面积，所有这些小矩形面积之和就是曲边梯形面积的近似值．直观上，把［a，b］划分得越细，近似程度越好．若把［a，b］无限细分，并使每个小区间的长度趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为该曲边梯形的面积，如图5.1所示．现将这一过程详述如下：

（1）分割．把区间［a，b］分成n个小区间

其中x0＝a，xn＝b，小区间［xi－1，xi］的长度记为Δxi＝xi－xi－1（i＝1，2，…，n－1）．过各分点作x轴的垂线，则整个曲边梯形分成n个小曲边梯形．

（2）近似．在小区间［xi－1，xi］上任意取一点ξi，作以［xi－1，xi］为底边、高为f（ξi）的小矩形，其面积f（ξi）Δxi可作为第i个小曲边梯形面积ΔAi的近似值，即

（3）求和．把n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积A的近似值，即

例2　变速直线运动的路程．

设物体作变速直线运动，速度v是时间t的函数v（t），求该物体从时刻t＝a到时刻t＝b这段时间内所经过的路程S．

由于是变速运动，物体运动的路程不能像匀速运动那样用公式S＝vt直接得到．我们采用求曲边梯形面积的方法，求物体在时间间隔［a，b］内所经过的路程．

（1）分割．把时间区间［a，b］分成n个小时段

其中t0＝a，tn＝b，小区间［ti－1，ti］的长度记为Δti＝ti－ti－1（i＝1，2，…，n－1）．

（2）近似．在小时间段［ti－1，ti］上任取一时刻ξi，则从ti－1到ti这一小时段内物体经过的路程ΔSi近似地等于v（ξi）Δti，即

（3）求和．这n段部分路程的近似值之和就是物体在时间间隔［a，b］内所经过的路程的近似值，即

上面两个问题的实际背景虽然不同，但从数学的角度来看，其解决问题的思想与方法完全一样，都归结为求一种特殊和式的极限．这种和式的极限可以抽象为一般的数学概念——定积分．

定义1　设函数f（x）在区间［a，b］上有界．用点

把区间［a，b］任意分成n个小区间［xi－1，xi］（i＝1，2，…，n），记Δxi＝xi－xi－1为小区间［xi－1，xi］的长度，在每个小区间［xi－1，xi］上任取一点ξi，作和式

其中f（x）称为被积函数，x称为积分变量，a与b分别称为积分下限与积分上限，［a，b］称为积分区间．

当定积分存在时，也称函数f（x）在区间［a，b］上可积．

有了定积分的定义后，前面讨论的两个问题可分别叙述为：

由直线x＝a，x＝b，y＝0及连续曲线y＝f（x）（f（x）≥0）所围的曲边梯形的面积A等于函数f（x）在区间［a，b］上的定积分，即

物体以变速v＝v（t）作直线运动，从时刻t＝a到时刻t＝b这段时间内所经过的路程S等于函数v（t）在区间［a，b］上的定积分，即

对于定积分的概念，作以下几点说明：

（1）函数f（x）在区间［a，b］上的定积分是一个极限值，因此它是一个定数．它只与被积函数f（x）和积分区间［a，b］有关，而与积分变量的字母选取无关．即

（2）在定积分定义中，总假设a＜b，如果a＞b，我们规定

（3）可以证明，如果f（x）在［a，b］上连续或只有有限个第一类间断点，则f（x）在［a，b］上可积．

下面讨论定积分的几何意义．

图5.2

令λ→0即n→∞，取极限得所要计算的积分

设有n个数值y1，y2，…，yn，则

为这n个数值的算术平均值．在实际问题中，经常需要考虑一个连续函数f（x）在区间［a，b］上的平均值．例如，求平均速度、平均功率、在一昼夜间的平均温度等．下面就来讨论如何计算连续函数f（x）在区间［a，b］上的平均值．

把区间［a，b］分成n等份，设分点为

a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn＝b，

来近似表达函数f（x）在区间［a，b］上的平均值．显然，n越大近似程度越好，因此称极限

为函数f（x）在区间［a，b］上的平均值．而

所以，函数f（x）在区间［a，b］上的平均值

设下面性质中各函数在所讨论的区间上均可积．

性质1　被积函数的常数因子可以提到积分号前面，即

性质2　两个函数的代数和的定积分等于这两个函数的定积分的代数和，即

这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情况．

下面仅对性质2给予证明，性质1证法类似．

证　根据定积分的定义及极限的基本性质，有

性质3　设a＜c＜b，则

由定积分的几何意义容易看出这个结论．这个性质表明定积分对积分区间具有可加性．进一步，不论a，b，c相对位置如何，总有等式

性质4　如果在区间［a，b］上f（x）＝1，则

性质5　如果在区间［a，b］上f（x）≥0，则

推论1　如果在区间［a，b］上f（x）≤g（x），则

证　因为g（x）－f（x）≥0，由性质5得

再利用性质2，便得要证的不等式．

证　因为

所以由推论1可得

即

性质6　设M及m分别是函数f（x）在区间［a，b］上的最大值及最小值，则

证　因为m≤f（x）≤M，所以由性质5可得

再由性质1及性质4，即得所要证的不等式．

性质7（积分中值定理）　如果函数f（x）在区间［a，b］上连续，则在［a，b］上至少有一点ξ，使得

这一性质的几何意义是：在区间［a，b］上至少存在一点ξ，使得以区间［a，b］为底边，以曲线y＝f（x）为曲边的曲边梯形的面积等于某个以区间［a，b］为底边而高为f（ξ）的矩形的面积，如图5.3所示．

图5.3

证　由于函数f（x）在区间［a，b］上连续，所以由最值定理，f（x）在区间［a，b］上可取得最大值M及最小值m．由性质6有

两边同除以b－a，得

两端各乘以b－a，即得所要证的等式．

于是由

得

即

1．试用定积分表示由曲线y＝ln x，直线x＝1，x＝2及x轴所围成的图形面积A．

2．利用定积分的几何意义求定积分：

3．利用定积分的性质，比较下列各题中两个积分值的大小：

4．估计下列各积分值的范围：