函数在区间上有界是存在定积分的

从前面可知，用定积分的定义（即求Riemann和的极限）来计算定积分需要很强的技巧和复杂的计算，因此，必须找到一个简单有效的计算方法。

首先我们构造定义一个函数。设f是［a,b］上的连续函数，则对x∈［a,b］，函数f在区间［a,b］上可积，令

则F是［a,b］上的函数。因其自变量是定积分的上限，所以称为变上限的定积分。

定理6.3.1（微积分第一基本定理）　设函数f在区间［a,b］上连续，则在［a,b］上可导，且F′（x）＝f（x）．

证明　对x∈［a,b］，当增量为∆x，使x＋∆x⊂［a,b］，有

其中ξ介于x与x＋∆x之间，当∆x→0时ξ→x，又由f的连续性有

所以在［a,b］上可导，且

这个定理说明：（1）函数是连续函数f的一个原函数。另外，变上限的定积分的下限可以是［a,b］内的任何一点c，显然与只相差一个常数。（2）这表明定积分的值就等于函数F在x＝b点的函数值，从而可知定积分与原函数（不定积分）存在着密切的关系。

假设G为f的一个原函数，则

其中C₀为常数。

令x＝a得C₀＝G（a），所以

再令x＝b得

定理6.3.2（微积分第二基本定理）　设函数f在区间［a,b］上连续，G是f的任一原函数，则有

以上公式称为Newton-Leibniz（牛顿-莱布尼兹）公式，常简记为

定理6.3.1和定理6.3.2称为微积分基本定理，其重要性在于它揭示了积分与微分之间的内在联系，且Newton-Leibniz公式将求连续函数的定积分转化为求原函数（即不定积分）的问题，使定积分的计算变得简单方便，从而使微积分在科学技术中有着非常广泛的应用。

例6.3.3　求的导数。

解　这里可将看成是和u＝x²的复合函数，于是有

由定理6.3.1得

所以

例6.3.4　求

解　因为

其中a∈为常数，所以

若设其中f为连续函数，请读者自行计算F′（x）．

例6.3.5　求极限

解　这是型未定式的极限，由等价无穷小替换和L＇Hospital法则，有

例6.3.6　求例6.2.4中的定积分。

解　其中k为常数；

例6.3.7　求

解

从以上例子中可看出用Newton-Leibniz公式求定积分是相当方便有效的。因为定积分是用和式的极限来定义的，现在有了这个计算定积分的简单方便的方法，我们可以反过来利用其求和式的极限。

例6.3.8　求

解　（1）设f在［0,1］上连续，所以在［0,1］上可积，取［0,1］的分割和介点：

则f在区间［0,1］上相应的Riemann和为

因为所以

因为

于是有

（2）设f（x）＝sinx，f在［0,π］上连续，所以在［0,π］上可积，取［0,π］的分割和介点：

则f关于分割P和介点ξ的Riemann和为

而当‖P‖→0，即n→∞时

因此