9.5 平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交，在立体表面产生的交线，称为平面立体与曲面立体的相贯线。平、曲面立体相交的相贯线一般由若干个部分的平面曲线或平面曲线与直线段所构成。各段平面曲线或直线段，就是平面立体上的各表面（棱面或底面）切割曲面立体所得的截交线；每一段平面曲线或直线段的转折点，是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点，即贯穿点，如图9－34所示。因此，求作平面立体与曲面立体相贯线的实质是求作贯穿点及曲面立体的截交线。作图时，首先求出各贯穿点的投影，再根据求曲面立体截交线的方法，求出每一段曲线或直线段。
图9－34 圆柱与四棱锥的相贯线
平面立体与曲面立体相交的相贯线与两平面立体相交的相贯线具有相类似的性质，即共有性和闭合性。
（1）共有性：相贯线是平面立体表面与曲面立体表面的交线，因而相贯线既属于平面立体，又属于曲面立体。
（2）闭合性：由于平面立体及曲面立体均为由其各自表面围合而成的封闭空间，因而相贯线通常是闭合的图形。
要注意的是，在求解相贯线时，相贯线也有不闭合的情形。如图9－35所示为土木工程中的圆截面柱与矩形截面梁相贯的情况，矩形梁贯穿圆柱，为全贯，有两组相贯线，其中一组为A－D－C－（B），另一组与其对称，但两组相贯线均不闭合。其中AD、BC为矩形梁的前、后表面与圆柱面的交线，而圆弧CD为矩形梁的下表面与圆柱面的交线，但矩形梁的上表面因正好与圆柱的顶面平齐，因而没有交线。
图9－35 圆柱与四棱柱的相贯线
【例9－11】 如图9－36（a）所示，已知圆柱与四棱锥相贯，试求相贯线的各投影。
解 （1）分析：四棱锥的锥顶S位于圆柱的轴线上，其四个棱面均与圆柱的轴线倾斜，因而相贯线为棱锥的四个棱面截切圆柱面所得的四段椭圆弧。四条棱线与圆柱面的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ为贯穿点，也是四段椭圆弧的结合点，如图9－36（b）所示。圆柱与四棱锥前后、左右对称，相贯线也前后、左右对称。由于圆柱的轴线垂直于H面，因而相贯线的H投影积聚在圆柱面的积聚投影上，相贯线H投影已知，V、W投影未知。
（2）作图步骤：具体作图如图9－36（c）、（d）、（e）所示。
①求贯穿点：四棱锥与圆柱的贯穿点（也是最高点）Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别为四棱锥的棱线SA、SB、SC、SD与圆柱面的交点，可根据其已知的H投影1、2、3、4，利用在平面立体表面定点的重属性法分别求出其V、W投影1′、2′、3′、4′及1″、2″、3″、4″。
图9－36 圆柱与四棱锥相贯
②求最低点：圆柱的最前、最右、最后、最左素线与四棱锥棱面的交点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ分别为四段截交线椭圆弧的最低点，可根据其已知的H投影5、6、7、8，利用重属性法分别求出其V、W投影5′、6′、7′、8′及5″、6″、7″、8″。
③求一般点：在相贯线H投影的适当位置取对称的一般点e、f及g、h，分别利用在平面立体表面定点辅助线法求出其V投影e′、f′及W投影g″、h″。
④连点并判别可见性：该相贯体前后、左右都对称，故属于四棱锥前侧面的相贯线的V投影和属于四棱锥左侧面的相贯线的W投影都可见。在V投影中用光滑的曲线顺次连接1′－e′－5′－f′－2′，用直线段连接8′－1′及6′－2′，由于四棱锥及圆柱前后对称，其相贯线也前后对称，故以上相贯线分别与4′－7′－3′、8′－4′及6′－3′重合。在W投影中用光滑的曲线顺次连接4″－h″－8″－g″－1″，用直线段连接7″－4″及5″－1″，由于四棱锥及圆柱左右对称，其相贯线也左右对称，故以上相贯线分别与3″－6″－2″、7″－3″及5″－2″重合。
【例9－12】 如图9－37（a）所示，已知圆锥与正四棱柱相贯，试求相贯线的各投影。
解 （1）分析：正四棱柱的四个侧面均平行于圆锥的轴线，所以相贯线为四段双曲线组合而成的空间闭合线。四条棱线与圆锥面的交点A、B、C、D为贯穿点，也是四段双曲线的结合点，如图9－37（b）所示。圆锥与正四棱柱前后、左右对称，相贯线也前后、左右对称。由于正四棱柱的H面投影具有积聚性，因而相贯线的H投影积聚在正四棱柱的积聚投影上，相贯线H投影已知，V、W投影未知。
（2）作图步骤：具体作图如图9－37（c）、（d）、（e）所示。
①求贯穿点：正四棱柱与圆锥的贯穿点（也是最低点）A、B、C、D分别为正四棱柱的棱线与圆锥特殊位置素线（最左、最前、最右、最后素线）的交点，可根据其已知的H投影a、b、c、d，利用重属性法求出其V投影a′、b′、c′、d′及W投影a″、b″、c″、d″。
②求最高点：正四棱柱各棱面的竖向对称线与圆锥面的交点E、F、G、H分别为四段截交线（双曲线）的最高点，可根据其已知的H投影e、f、g、h，利用纬圆法或素线法求出其V投影e′、f′、g′、h′及W投影e″、f″、g″、h″。
③求一般点：在相贯线H投影的适当位置取对称的一般点1、2、3、4、5、6、7、8，使其在圆锥的一个纬圆上，利用在圆锥表面上定点的辅助纬圆法求出其V投影1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′及W投影1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″、8″。
图9－37 圆锥与四棱柱相贯
④连点并判别可见性：该相贯体前后、左右都对称，故属于圆锥前半部分相贯线的V投影和属于圆锥左半部分相贯线的W投影都可见。在V投影中用光滑的曲线顺次连接a′－4′－e′－3′－b′－2′－f′－1′－c′，由于正四棱柱及圆锥前后对称，其相贯线也前后对称，故以上相贯线与a′－5′－h′－6′－d′－7′－g′－8′－c′重合。在W投影中用光滑的曲线顺次连接d″－6″－h″－5″－a″－4″－e″－3″－b″，由于正四棱柱及圆锥左右对称，其相贯线也左右对称，故以上相贯线分别与d″－7″－g″－8″－c″－1″－f″－2″－b″重合。
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