【摘要】：上一节学习了两种参数点估计的方法，即矩估计法和最大似然估计法．对于同一个未知参数，用不同的估计法得到的点估计量可能是不相同的，那么哪一个估计量更好呢？
1．无偏性
证 因为样本X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从相同分布，所以有
E（Xi）＝μ，D（Xi）＝σ2，i＝1，2，…，n．
由于
例7．2．2 设总体X～Exp（θ），相应的概率密度函数为
其中θ＞0为未知，又设（X1，X2，…，Xn）是X的一样本，
事实上，本例中（X1，X2，…，Xn）中的每一个Xi均可作为θ的无偏估计．
那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理？直观的想法就是希望该估计围绕真值的波动越小越好，波动大小可以用方差来衡量，因此人们常用无偏估计方差的大小作为衡量无偏估计优劣的标准，为此引入了估计量的有效性概念．
2．有效性
例7．2．3 证明：设总体X的均值E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，则样本均值X作为总体均值μ的估计量较个别样本Xi（i＝1，2，…，n）有效．
所以当n≥2时，D（X）＜D（Xi），故样本均值X作为总体均值μ的估计量较个别样本Xi（i＝1，2，…，n）有效．
例7．2．4 从总体X中抽取样本X1，X2，X3，证明下列三个统计量
都是总体均值E（X）＝μ的无偏估计量，并确定哪个估计量更有效．
所以三个统计量都是总体均值μ的无偏估计量．而
3．一致性
例7．2．5 设总体X的均值E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，证明样本均值X是总体均值μ的一致估计量．
证 因为样本X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从相同的分布，所以
E（Xi）＝μ，D（Xi）＝σ2，i＝1，2，…，n．
于是，由切比雪夫定理知：
所以X是μ的一致估计量．
对于未知参数θ的估计量，我们可以运用无偏性、有效性、一致性来判断其优劣，以便选择出较好的估计量．
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