估计量的评价准则

从上一节的讨论可知，对总体同一参数，采用不同的估计方法得到的估计量可能是不一样的。在实际中如何选择“较好”的估计量呢？即如何评价估计量的优劣？本节将介绍四个评价准则：无偏性准则、有效性准则、均方误差准则和相合性准则。

（一）无偏性准则

估计量本身是统计量，其取值随着样本观察值的改变而改变。因此，我们不能根据某次抽样的结果来衡量估计量的好坏。一个自然评价标准是要求估计量无系统偏差，即要求在大量重复抽样时，所有估计值的平均应与待估参数的真值相同，这就是无偏性准则。具体定义如下。

定义7.2.1　设是总体X的待估参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本。若估计量的数学期望存在，满足

则称是θ的无偏估计量或无偏估计（unbiased estimator）。

若，则称为估计量的偏差。

若，但满足，则称是θ的渐近无偏枯计。

例7.2.1　设总体X的均值μ和方差σ2存在，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，证明：样本均值和方差S2分别为μ和σ2的无偏估计。

证明　由X1，X2，…，Xn与X同分布且相互独立，得

和

因此，样本均值和方差S2分别为μ和σ2的无偏估计。

若取σ2的估计量为，则有，但满足

因此，B2是σ2的渐近无偏估计。

若取μ的估计量，其中权系数满足。则也是总体均值μ的无偏估计。我们称为参数μ的线性无偏估计。

（二）有效性准则

由上面可知，在有些情况下，同一总体参数的无偏估计量是不唯一的。为比较两个无偏估计量的好坏，我们需进一步考察估计量取值的波动性，即估计量的方差。如果无偏估计量的方差越小，说明该估计量的取值越集中在参数真值的附近。

定义7.2.2　设都是参数θ的无偏估计，若

则称比有效。

例7.2.2　讨论总体均值μ的线性无偏估计量的有效性。

解　由于

且满足。根据柯西—许瓦兹不等式知，在有关总体均值μ的所有线性无偏估计中，当时，达到最小。即样本均值是总体均值μ的最有效线性无偏估计。

例7.2.3　设总体X服从区间［0，θ］上的均匀分布，其中θ是未知参数，若X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，试求参数θ的矩估计和极大似然估计，并讨论估计量的无偏性和有效性。

解　由E（X）＝θ/2，可得θ的矩估计为，且

因此，是θ的无偏估计。

根据例（7.1.7）可知，参数θ的极大似然估计为

为考察的无偏性，先求X（n）的分布。由第三章第5节的知识，可求得X（n）的概率密度为

因此不是θ的无偏估计。但我们可以对进行修正，令也是θ的无偏估计。

下面比较的有效性。

由X（n）的分布可计算得

显然，当n⩾2时，，因此有效。

（三）均方误差准则

首先，我们给出均方误差的定义。

定义7.2.3　设是总体参数θ的估计量，称是估计量的均方误差，记为。

估计量的均方误差越小，说明估计参数θ时的平均误差越小，因而也就越优。这就是均方误差准则。

由定义可知，若是参数θ的无偏估计量，则有。此时，均方误差准则等价于有效性准则。

例7.2.4　设X1，X2，…，Xn是来自正态总体的样本，由前面讨论知，样本方差S2是参数σ2的无偏估计，而样本二阶中心矩B2是σ2的有偏估计。现根据均方误差标准对这两个估计量作出评价。

解　根据S2的无偏性和，求得S2的均方误差

下面计算B2的均方误差。

显然对任何n⩾2，有。因此根据均方误差准则，以B2作为σ2的估计量要比S2更优。

在实际应用中，均方误差准则比无偏性准则更重要。

（四）相合性准则

前面三个准则都是在样本容量n固定的情况下讨论的。然而，由于估计量依赖于样本容量n，自然会想到，一个好的估计量，当样本容量n越大时，该估计理应越精确越可靠，特别是当n→∞时，估计量的取值与参数真值应几乎完全一致，这就是估计量的相合性（或一致性）。相合性的严格定义如下。

定义7.2.4　设是总体参数θ的估计量，若对任意ε>0，有

即依概率收敛于θ，则称是θ的相合估计量，并记为。

一般地，由矩法求得参数的估计量都满足相合性，对于极大似然估计，则在总体分布满足一定正则的条件下，是待估参数的相合估计。

例7.2.5　X1，X2，…，Xn是来自均匀分布U［0，θ］的样本，证明由例7.2.3给出的两个估计量都是参数θ的相合估计。

证明　根据例7.2.3的结果有

根据切比雪夫不等式，对任意ε>0，有

因此，是参数θ的相合估计。