现值与利率

第一节　终值、现值与利率

一、终值与复利

当我们今天存款1元时，未来会带来多少钱呢?要回答这个问题，就必须引入终值的概念，所谓终值(future value)，又称未来值，是指现在的一定量现金在未来某一时点上的价值，俗称本利和。计算终值有两种基本的方法，即单利与复利。

(一)单利

单利(Simple Interest)是指仅按本金和时间的长短计算利息，本金所生利息不加入本金重复计息。其计算公式为:

其中，C代表利息额，P代表本金或现值(Present Value)，r代表利率，n代表时间，S表示本金与利息之和或终值。

如一笔为期5年、年利率为6%的10万元贷款，在单利情况下，利息总额为: C=100 000×6%×5=30 000(元);本利和为:S=100 000+30 000=130 000(元)

(二)复利

复利(Compound Interest)是将上期利息计入本期本金一并计算利息的一种方法。俗称“利滚利”。其计算公式为:

如上例，在复利的情况下，本利和为:S=100 000×(1+6%)⁵=133 822.56(元);则利息为:C=S－P=133 822.56－100 000=33 822.56(元)

复利反映了利息的本质特征。因为按期结出的利息属于贷出者所有，这部分所有权也应取得分配一部分社会产品的权利。如果对此加以否定，也就否定了本金的所有权。否定了复利，就意味着否定利息本身。

(三)连续复利(Continuous compounding)

现在假设以上贷款是每半年支付一次利息，也就是说6个月的利率是3%，因此，半年后的本利和为:

第一年末本利和为:S₁=100 000×(1+3%)²=106 090(元)

一直到第5年末，10万元贷款的本利和为:S=100 000×(1+3%)¹⁰= 134 391.64(元)。它比一年计息一次的本利和多出569.08元，这就是多次复利的结果。

一般地，若本金为P，年利率为r，每年的计息次数为m，则n年末的本利和公式为:

如果m取正无穷大，此时不同计息期之间的间隔很短，可以看作是无穷小量。得到的利率就是连续复利，即连续复利是指在期数趋于无限大的极限情况下得到的利率。将3.5式变形为:

当复利结算的周期数m→∞时的极限为e，即

所以当m→∞连续复利本利和公式为:

即:S=P·e^nr(3.8)

式中，e^nr为瞬间复利系数，或称一元钱的瞬间复利本利和。

(四)复利计算中的实际利率与名义利率

当保险代理员告诉你，他们的一个保险产品上个月的投资收益率为0.5%，此时，你会想到什么?人们通常会想到一年期的投资收益率是多少呢?因为，人们很少根据月收益率进行判断。此时，就需要将不到1年期的利率转化为年率，即实际利率，或者将几年的投资收益率换算成一年的投资收益率。

要将月收益率为0.5%的投资换算成年收益率，就必须假设这种收益状况会持续下去直到第12个月，因此，我们不能仅仅用月利率0.5%乘以12得出年利率6%。相反，我们需要将月利率连续复利12个月，于是当投资本金为100元时，利用终值的公式有:

S_n=P(1+i)ⁿ=100(1+0.5%)¹²=106.17

即月收益率为0.5%时，其年实际投资收益率为6.17%，比简单相乘的6%的收益高0.17%。因为，前者没有考虑复利。将上面的分析过程用一般的公式表示出来，即是:

式中，r_a代表年利率，r_m代表月利率。

例如，某1年期抵押贷款月利率为6.6‰，年名义利率为7.92%(6.6‰×12)，由于该抵押贷款是按月计复利的，所以根据以上公式，年实际贷款利率应为:(1+ 6.6‰)¹²－1=8.21%

另外一种情况是，当保险代理员告诉你，他们的一个保险产品在过去的5年里投资收益率为20%，就是说在五年内，从100元增加到了120元，你会想到什么呢?同样，人们会将其换算成年收益率来考虑。同理，不能简单地将其除以5，得出该保险产品年收益率为4%的结论，因为必须考虑复利因素。在考虑复利情况下，利用终值公式有:

120=100(1+r)⁵

这表明，五年连续年利率为3.71%将导致20%的总投资收益。

专栏3

活期存款按季付息不同计算方式利息差别大

从2005年9月21日起，按照《中国人民银行关于人民币存贷款计结息问题的通知》的规定，个人活期存款由按年结息改为按季结息，每季末月的20日为结息日。

此次改变计结息方式对于储户来说利息收入有所增加。因为按照新的规则结息，相当于活期存款利息多了几次“利滚利”的机会。而且存款由原先按每个月30天计算，改为按实际发生的天数计息，使利息计算更加精确。根据计算，1万元活期存款一年税后本息由原来的10 057.6元，增加到10 058.52元，增长0.92元。如果遇到闰年，这个利息收入还会有所增加。

除了人民币活期存款外，有些银行的外币活期存款计结息方式也随之发生了变化。农业银行、工商银行和华夏银行的外币活期储蓄存款的计结息方式与人民币个人活期存款相同，也改为按季度结息。同时，单位活期存款和协定存款也在同时实现按季结息。

但是，根据人民银行2005年公布的《人民币存贷款业务计结息规则》，商业银行可以选取不同方法计算利息，最主要的差别是一年按365天或者360天计息(每月30天)，即大月的31日是否计息可由银行选择。央行还提供了两种计息方式供银行选择，一种是积数计息，按实际天数每日累计账户余额，以累计积数乘以日利率计算利息;另一种是逐笔计息，按整年整月计息，如果遇到有零头，零头部分按日计息。

根据逐笔计息法计息公式，计息期有整年(月)又有零头天数的，计息公式为:

利息=本金×年(月)数×年(月)利率+本金×零头天数×日利率。但同时，银行可选择将计息期全部化为实际天数计算利息，即每年为365天(闰年366天)，每月为当月公历实际天数，计息公式为:利息=本金×实际天数×日利率。而按实际天数计息的利息将比前者更高。

以10万元、年利率1.62%的通知存款为例，如果2月28日存，10月1日取款。折算月利率为1.62%/12=0.135%;日利率为1.62%/360=0.004 5%，期间存款天数为214天。根据逐笔计息法计息有两个公式，两类计息方法算出的利息差达18元。

公式1:利息=100 000×0.135%×7=945(元)

公式2:利息=100 000×0.004 5%×214=963(元)

此外，如果银行选择按月计息方式的话，还将比按季计息方式利息更高。

二、现值

(一)现值的定义

现值又称本金，是指未来时点上的一定量现金折合到现在的价值。为了理解现值的计算，将上面终值的分析倒过来理解即可，也就是5年后的133 822.56元，在利率为6%的情况下，相当于今天的10万元。于是，现值的计算公式是:

式中，PV表示现值(Present Value)。

3.10式是一个非常重要的公式，在整个金融学学习中会反复使用到。注意，在计算现值时使用的利率，人们通常称为贴现率(Discount Rate)。“贴现”一词，在经济学或金融学的教科书中经常被提到。但是，这里的含义是不同的。如，央行的贴现率可以指中央银行对商业银行贷款时的利率，即使未来值与现在值相等时的利率。

从3.10式可以得出，现值的三个基本特征:

(1)未来支付越多，或终值越大时，现值越大;

(2)未来支付的时期越短时，现值越大，这一特点很好地体现了货币的时间价值;

(3)利率越低时，现值越大。

因此，影响现值大小的因素有三个:期限、终值与贴现率。

(二)现值的变化

首先，看终值的变化。如果终值增加一倍，则现值会增加一倍。如利率为5%，2年以后支付的100元，其现值为90.70元;如果将终值增加为200元，则现值也增加一倍，达到181.40元。因此，现值与终值的变动方向与变动比例都是一致的。

其次，看支付期限的变化。支付期限越近时，其价值越大。让我们再引用上面的例子:利率为5%的100元支付。现值对支付期限的敏感性到底如何呢?令支付期限从0到30年，在利率为5%的情况下终值为100元的现值如何变化呢?如图3.1所示，现值从当前支付时的100元下降到30年支付时只有23元。

图3.1　利率为5%的现值图

最后，看贴现率的变化。贴现率是影响现值大小的重要因素。为了理解它的重要性，让我们看一个例子:分别在1年、5年、10年、20年后支付的100元，在不同的贴现率情况下，其现值有多么不同。见表3.1所示:

表3.1　终值100元的现值　单位:元

续表

从表3.1可以看出，无论终值或期限如何变化，随着贴现率的上升，现值是下降的。反之，随着贴现率的下降，现值将会上升。

三、关键的利率———到期收益率

(一)到期收益率的概念

“到期收益率”这一概念非常重要，它甚至被经济学家视为衡量利率的最为精确的指标，比如，在利率期限结构理论中的收益曲线就是指到期收益率与时间的关系，尽管人们会简化为利率与时间的关系。另外，在前面计算现值时，我们是给定市场利率的，实际上，这一利率也就是到期收益率，或必要回报率。因此，到期收益率是一个非常关键的利率。

在介绍什么是到期收益率之前，首先必须明确，债务工具上的票面利率并不是投资者的收益率。比如，20年期的面值为1 000元、票面利率为10%的息票债券，每期都要向债券持有者支付1 000×10%=100元的定额利息，一共支付20年。到第20年末，除了要支付100元定额利息之外，还要偿还本金1 000元。看上去，这里的利率水平在债券发行时已经约定为10%了，但是，是否意味着该债券的持有者一定能够得到10%的收益率，或者，从另一方面看，这是否意味着该债券的发行者一定要承担10%的成本呢?不一定，这里就有必要引入“到期收益率”来更准确地把握债券的利率水平了。

到期收益率(Yield to Maturity，简称YTM)，指的是这样一种利率，即它是使某项投资或金融工具未来所能获得的收益的现值等于其当前价格的利率。也就是说，到期收益率是使债务工具未来收益的现值等于今天的价格的贴现率。

就债券而言，到期收益率是指买入债券后持有至期满得到的收益，包括利息收入和资本损益与买入债券的实际价格之比率。因此，债券的到期收益率按单利计算公式是:

到期收益率=(票面利息±本金损益)/市场价格

例如，某种债券票面金额为100元，10年还本，每年利息7元，某人以95元买入该债券并持有到期，那么，他每年除了得到利息收益7元外，还获得本金盈利0.5元((100－95)/10)，这样，他每年的实际收益就是7.5元，其到期收益率为7.90%(7.5/95)。

但在实践中，到期收益率多数是指按复利计算的收益率，它是指能使未来收益现值等于债券买入价格的贴现率。

为了更好地理解到期收益率，下面考虑五种金融市场工具的到期收益率的计算:简单贷款、等额分期付款贷款、息票债券、永久债券、贴现债券。

(二)到期收益率的估算与运用

1.简单贷款的到期收益率

简单贷款(Simple Loan)，是指为期一年的贷款，到期后借款人连本带息一次偿还。如果以P表示贷款额，A表示年末偿还额，根据到期收益率的定义，我们把银行今天所付的本钱(也就是现在的价值)放在等式的左边，把银行一年后所得本利和的现值计算过程放在等式的右边，则这笔贷款的到期收益率(r)的计算公式为:

例如:某银行贷给小张1 000元，一年后小张还给银行1 100元。代入上式得:则:

1 000元=1 100元/(1+r)

等式为一元一次方程，其解为r=0.1，即该笔简单贷款的到期收益率为10%。

可见，对于普通贷款而言，其到期收益率与利率是一回事。因为根据案例数据，可知该笔贷款的名义利率也是10%［(1 100－1 000)/1 000=10%］。

2.等额分期付款贷款的到期收益率

等额分期付款的贷款(Fixed-Payment Loan)，是指借款人在整个贷款期内分期偿还一个固定的金额，比如，等额分期付款的住房抵押贷款。为了计算到期收益率，与简单贷款的原理一样，先写出贷款未来偿还额的现值，并令其等于现在的价格(贷款本金)。如果以FP代表固定偿付额，则其到期收益率计算公式如下:

其中，P为贷款额;FP为固定偿付额;n为贷款有效期，r为到期收益率。

例如，王先生向银行借了1 000元、期限25年、每年偿还126元的等额分期偿还贷款，请计算这笔贷款银行的到期收益率。根据上式，有:

解得，到期收益率r=12%，这12%就是王先生在这笔贷款中所支付的实际利率。

(三)息票债券的到期收益率

息票债券，是指定期支付定额利息、到期偿还本金的债券。它的基本特点是，到期前每期都有现金流发生，比如，20年期的面值为1 000元、票面利率为10%的息票债券，每期都要向债券持有者支付1 000×10%=100元的定额利息，一共支付20年，到第20年末，除了要支付100元的定额利息外，还要偿还本金1 000元。所以，这一年有两笔现金流发生。

根据到期收益率的定义，我们可以推出息票债券的到期收益率计算公式:

其中，P是息票债券的市场价格，F是息票债券的面值，C是息票债券的年收入，它等于息票债券的面值F乘以票面利率i(C=F*i)，n是债券的到期期限，C_t为第t年的现金流，r是到期收益率。

按上面的例子，并且债权人将债券持有到期，那么，到期收益率公式为:

计算得r=10%，即到期收益率为10%。这一结果与债券的票面利率相等。这是因为该债券的价格等于其面值。一旦债券的现行价格不等于其面值，那么，到期收益率也就不再等于票面利率了，而是可能低于或高于票面利率，这取决于债券价格是高于或低于面值。

具体地:息票债券的到期收益率与其票面利率之间存在着以下关系:

第一，如果债券价格高于面值(P＞F)，则到期收益率低于票面利率(r＜i);

第二，如果债券价格低于面值(P＜F)，则到期收益率高于票面利率(r＞i);

第三，如果债券价格等于面值(P=F)，则到期收益率等于票面利率(r=i)。

从以上到期收益率与票面利率的关系，不难看出，到期收益率与债券价格之间呈反向变动的关系。亦即，随着债券价格的提高，到期收益率会下降;反之，随着债券价格的下降，到期收益率会上升。

(四)零息票债券的到期收益率

零息票债券，也称折扣债券，是指以贴现方式发行，不支付利息，而于到期日时按面值一次性兑付的债券。投资者通过以债券面值的折扣价买入来获利。

零息票债券的到期收益率(r)计算公式为:

假设某公司发行的零息票债券面值是1 000元，期限为4年，如果这种债券的销售价格为750元，则其到期收益率为7.5%。

(五)永久债券的到期收益率

永久债券，是指定期支付固定利息，没有到期日的一种债券。假设永久债券每年末支付利息额为C，债券的市场价格为P，则其到期收益率r的计算公式为:

根据无穷递减等比数列的求和公式可知，上式的右边等于C/r，因此，永久债券的到期收益率计算公式可以简化为:r=C/P。

例如，假定投资者以1 000元的价格购买了某永久债券，每年可得到利息收入100元，则到期收益率为10%:r=100/1 000=10%。

以上介绍了不同债务工具的到期收益率的计算。不难看出，尽管经济学家把“衡量利率的最为精确的指标”这一赞誉毫不吝啬地给予了“到期收益率”，但是，该指标仍存在诸多缺点与不足，比如，到期收益率的计算比较繁琐，期限越长就越是繁琐。而且，它没有考虑投资者可能不将债务工具持有到期末的情形。因此，在现实中，人们时常用当期收益率或持有期收益率来近似地替代到期收益率指标。