为了引入定积分的概念，先来考虑下面几个问题。
例6.1.1 计算由x＝a，x＝b，y＝0及y＝f（x）（其中f（x）＞0，x∈［a,b］）所围成的平面图形（称为曲边梯形）的面积S，如图6.1所示。
图6.1
由于以曲线为边的图形不能用古典的方法求出其面积的准确值，所以现采用如下方法：
在区间［a,b］内插入n－1个分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将［a,b］分成n个小区间［xi－1,xi］，小区间的长度记为∆xi＝xi－xi－1，（i＝1,2,…,n）．任取一点ξi∈［xi－1,xi］，那么f（ξi）∆xi（i＝1,2,…,n）表示以xi－1xi为底、以f（ξi）为高的矩形面积。将这些小矩形面积相加得
为所求曲边梯形面积S的近似值。
可以看出，当每个小区间长度取得越小，所得到的近似值就越准确，如果当每一个小区间的长度都趋向于零，上述和式的极限存在，就可以得到曲边梯形面积的精确值，即
例6.1.2 一个方向不变，大小为定值的力F，作用于物体使其沿力的方向移动距离d，则力所做的功为F·d．但如果力的方向不变，大小随着物体移动位置的变化而变化，这时如何计算力所做的功呢？也可以说如何来定义变力所做的功W？
假设力F＝F（x），x∈［a,b］将物体从点x＝a沿力的方向直线移动到点x＝b，如图6.2．
图6.2
与例6.1.1同理，在区间［a,b］内插入n－1个点
a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，
记∆xi＝xi－xi－1，i＝1，2，…，n，任取一点ξi∈［xi－1,xi］，那么在小区间［xi－1,xi］内可看作力F近似不变，用F（ξi）（i＝1,2,…,n）来表示，所以F（ξi）∆xi就近似表示力F在xi－1xi这一小段上做的功，于是
上述两个问题最后都归结为求同样类型的极限，这样的问题还很多，例如求一根线密度不均匀的细棒的质量也归结为这个类型的极限，这就是定积分的基本思想。这种思想早在古希腊时就用来计算抛物线弓形等图形的面积，称为“穷竭法”。例如求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0围成的图形面积S，在［0,1］内插入n－1个分点：
图6.3
因此，所求面积为
下面我们给出定积分的定义。
（1）在［a,b］中任意插入n－1个分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b，将［a,b］分成n个子区间［xi－1,xi］，i＝1，2，…，n，称之为闭区间［a,b］的一个分割，记为
（2）任取点ξi∈［xi－1,xi］，i＝1，2，…，n，记ξ＝［ξ1,ξ2,…,ξn］为P的介点，并称
为f关于分割P和介点ξ的Riemann（黎曼）和。
（3）如果存在常数I，对任意的ε＞0，总存在δ＞0，使得对任何满足‖P‖＜δ的分割P和任意选取的P的介点ξ，都有｜SP（f,ξ）－I｜＜ε成立，则称f在［a,b］上可积，I称为f在［a,b］上的定积分，记作
由定义6.1.3知，f在［a,b］上可积，即是：对［a,b］上的任意分割和相应的任意介点，只要当小区间的长度都趋向于零时，Riemann和的“极限”皆存在为常数I，即
但要注意的是，上述“极限”有别于函数极限和数列极限。
有了这个定积分的定义，例6.1.1中的曲边梯形的面积可表示为
例6.1.2中变力所做的功可表示为
图6.4
在定义6.1.3中，我们假设积分的下限小于上限，即a＜b，这对于定积分的计算和应用都会带来不便，所以，我们定义
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