中考数学复习之矩阵的定义

称为列矩阵，又称列向量．

解　因为A＝B，故有：1＝c＋1，a＝－4，2－b＝0，3＝3d，联立求解可得：a＝－4，b＝2，c＝0，d＝1．

2．1．2　几类特殊矩阵

1）三角矩阵

如果n阶方阵A＝（aij）m×n满足aij＝0（i＞j；i，j＝1，2，…，n），即

则称A为n阶上三角矩阵．

如果n阶方阵B＝（bij）n×n满足bij＝0（i＜j；i，j＝1，2，…，n），即

则称B为n阶下三角矩阵．

例如3阶上三角矩阵：

2）对角矩阵

形如

的n阶方阵称为对角矩阵，其特点就是主对角线以外的元素全部为0，主对角线上的元素aii（i＝1，2，…，n）不全为0．对角矩阵也可记为

diag（a11，a22，…，ann）

3）单位矩阵

主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记为E．

例如3阶单位矩阵：

4）数量矩阵

单位矩阵是特殊的数量矩阵．

例如3阶数量矩阵：

§2．2　矩阵的运算

本节定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间的一些最基本的关系，包括矩阵的加法、矩阵与数的乘法、矩阵的乘法以及矩阵的转置运算．

2．2．1　矩阵的加法

定义2．2．1　设两个m×n的矩阵

则矩阵

称为A与B的和，记为

C＝A＋B．

矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加．当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数（即同型矩阵）．由于矩阵的加法归结为它们元素的加法，也就是数的加法，所以不难验证有下列运算规律：

（1）A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C；

（2）A＋B＝B＋A；

（3）A＋O＝A．

其中A，B，C均为m×n的矩阵，而O为m×n的零矩阵．

矩阵

称为矩阵A的负矩阵，记为－A．显然有

2．2．2　矩阵的数乘

定义2．2．2　矩阵

称为矩阵A＝（aij）m×n与数k的数量乘积，简称矩阵的数乘，记为kA．

不难验证，矩阵的数乘适合以下的规律：

（1）（k＋l）A＝kA＋lA；

（2）k（A＋B）＝kA＋kB；

（3）k（lA）＝（kl）A；

（4）k（AB）＝（kA）B＝A（kB）．

2．2．3　矩阵的乘法

由矩阵乘法的定义可得如下结论：

（1）左乘矩阵A的列数要等于右乘矩阵B的行数，乘法AB才有意义．

（2）矩阵C的行数等于左乘矩阵A的行数，C的列数等于右乘矩阵B的列数．

（3）乘积矩阵的元素cij等于左矩阵的第i行和右矩阵第j列的对应元素的乘积之和．

AC，CA．

显然AB＝CB，但A≠C．

从例2．2．3与例2．2．4可以看出，矩阵乘法不满足交换律，也不满足消去律．即若AB＝O不能必然推出A＝O或B＝O．

定义2．2．4　若矩阵A与B相乘，满足AB＝BA，则称A与B可交换．从可交换定义可推出结论：可交换的矩阵必为同阶方阵．

设A＝（aij）m×n，B＝（bij）s×t，且可交换．则据可交换定义和矩阵乘法定义的推出结论有（AB）m×t＝（BA）s×n，因此

故m＝n＝s＝t，即A与B为同阶方阵．

可得

矩阵乘法和数与矩阵乘法满足下列运算规律（设运算可以进行，λ为常数）：

（1）（AB）C＝A（BC）；

（2）A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；

（3）λ（AB）＝（λA）B＝A（λB）．

2．2．4　矩阵的转置

定义2．2．5　将一个m×n矩阵

的行和列互换（行变成列，列变成行），得到一个n×m矩阵

此矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为AT．

容易验证，矩阵的转置满足如下规律：

（1）（AT）T＝A；

（2）（A＋B）T＝AT＋BT；

（3）（kA）T＝kAT（k是一个常数）；

（4）（AB）T＝BTAT．

其中，规律（4）可以推广到多个矩阵的情况，即

下面介绍与矩阵的转置相关的两类重要的矩阵．

定义2．2．6　设

是一个n阶方阵．如果AT＝A，即

aij＝aji（i，j＝1，2，…，n）

则称A为对称矩阵；如果AT＝－A，即

aij＝－aji（i，j＝1，2，…，n）

则称A为反对称矩阵．

容易得到，反对称矩阵的主对角线元素全为零．

2．2．5　方阵的行列式

对于n阶方阵A＝（aij）n×n，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵A的行列式，记为A或detA．

方阵的行列式满足如下的运算规律：

其中，A，B均为n阶方阵，k是一个常数．

称为方阵A的伴随矩阵．试证明：

所以

类似可以证得A∗A＝AE，故AA∗＝A∗A＝A E．

（2）由（1）的结论和矩阵乘积的行列式定理有

§2．3　矩阵的初等变换

2．3．1　初等变换

消元法消去第二个方程的x1得：

消元法第二个方程x2的系数化为1得：

消元法消去第一个方程的x2得：

消元法求解方程组的过程，对应于由各个系数组成的矩阵变化，有以下两种变换：

（1）某一行减去另外一行的n倍；

（2）某一行乘以一个常数．

当然，交换两个方程的位置，对应系数矩阵交换两行，也不影响方程组的解．

定义2．3．1　设矩阵A＝（aij）m×n，则以下三种行（列）的变换：

（1）A的某两行（列）元素对换：

（2）用一个非零数k乘以A的某一行（列）的元素；

（3）A的某行（列）元素的k倍对应加到另一行（列）；

称为矩阵的初等行（列）变换．一般地，将矩阵的初等行、列的变换统称为矩阵的初等变换．

一般地，形如

的矩阵，称为行阶梯型矩阵，其特点为：每个阶梯只有一行；元素不为零的行（非零行）的第一个非零元素的列标随着行标的增大而严格增大（列标一定小于行标）；元素全为零的行（如果有的话）必在矩阵非零行的下面几行．

例如

均为阶梯型矩阵．

在阶梯型矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且非零行的第一个元素1所在的列的其余元素全为零，如

则称该矩阵为行最简型．

2．3．2　矩阵秩的定义

定义2．3．2　在一个m×n矩阵中，任取k行k列（k≤m，k≤n）相交处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置，构成的k阶行列式称为矩阵k阶子式．

例如，对于矩阵

取1、2行和2、4列相交处的元素构成一个2阶子式，记为

若选第1、2、3行和第1、2、4列，则可得到一个3阶子式

定义2．3．3　一个矩阵A中不等于0的最高阶子式的阶数称为矩阵A的秩，记作r（A），或R（A）．

对于m×n矩阵，显然R（A）≤min｛m，n｝．零矩阵的秩等于零．

例2．3．1　求矩阵

的秩．

解　矩阵A只有一个4阶子式，且显然为零．而在3阶子式中有

不等于零的子式的最高阶数是3，所以按定义，R（A）＝3．

进一步可看到，在一个矩阵中，当所有k阶子式为零时，根据展开定理，可推知任何高于子式也必然为零．因此，定义2．3．3可改述如下：

若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零，且所有r＋1阶子式都为零，则矩阵A秩就是r．

例如，在

中，2阶子式＝－1≠0，而所有3阶子式全为零，因此矩阵A的秩等于2．

例2．3．2　设矩阵

的秩分别为s和t，则m×n矩阵

的秩r满足不等式：

max（s，t）≤r≤s＋t．

证　首先C的秩r不可能比s、t中任何一个小，否则C中任何s阶、t阶子式都要为零．这与R（A）＝s，R（A）＝t矛盾．于是max（s，t）≤r．

下面证明r≤s＋t．对C中任何s＋t＋1阶子式D，运用展开定理把D按其所含的矩阵A的列展开．这时，若D所含矩阵A的列数大于s，则在展开式中A的子式都是零，因此D＝0．若D所含的矩阵B的列数就大于t，因此展开式中矩阵B的子式都是零，因此仍有D＝0．

定义2．3．4　设A为n阶方阵，若A≠0，即矩阵的秩为n，则称A为非奇异矩阵，或称A为满秩的（非退化矩阵）；若A＝0，即矩阵的秩小于n，则称A为奇异矩阵，或称A为降秩的（退化矩阵）．

2．3．3　利用初等变换求矩阵的秩

从上面可以看到，求矩阵的秩需要计算一些子式，当矩阵的阶数较高时，计算量较大．下面介绍一种简便方法，即通过矩阵的初等变换，将矩阵简化来判定矩阵的秩．如果能简化成一种形如阶梯的矩阵

其中，a1，a2，…，ar都不为零，∗代表可能不为零的数，其他都是零，则容易看出，矩阵A的秩即为r．例如矩阵

的秩就等于3，因为它任何4阶子式都有一行元素为零，即所有4阶子式全为零，而明显有一个3阶子式不等于零．

定义2．3．5　对矩阵A施行下列变换：

（1）互换矩阵A中的任意两行（列）；

（2）用一个不等于零的数乘矩阵A中的某一行（列）中所有元素；

（3）用一个数乘矩阵A中的某一行（列）中的所有元素，再加到另一行（列）的对应元素上去．

这三种变换分别称为对换、倍乘、倍加，统称为矩阵A的初等变换．若变换只对矩阵的行进行，则称为行初等变换；若变换只对矩阵的列进行，则称为列初等变换．

初等变换对矩阵的秩有什么影响呢？这是下面要讨论的问题．

定理2．3．1　初等变换不改变矩阵的秩．

证明略．

为便于理解，仅以4阶矩阵来说明倍加的情形．

设

以k乘第4行加到第3行上，得

现分析矩阵B中3阶子式D，不外乎下面3种情形：

（1）D不包含第3行，则D就是矩阵A中的3阶子式，因此D＝0．

（2）D包含第4行，同时又包含第3行，由行列式性质，D与矩阵A中对应的3阶子式相等，因此D＝0．

（3）D包含第3行，但不包含第4行，如

得

因此，矩阵B中的一切3阶子式全为零，所以R（B）≤R（A）．

另一方面，矩阵A也可看成有矩阵B经初等变换（把第4行乘以－k加到第三行上）而得出，因此，也有R（A）≤R（B），从而R（A）＝R（B）．

例2．3．3　求矩阵

的秩．

解　把A的第一行分别乘以－3和－5，再分别加到第2行和第4行上，可得

再将第2行乘以－2加到第4行上，把第2行加到第3行上，可得

这就是阶梯型矩阵，易知R（A）＝3．

如果对矩阵（2．3．1）进一步化简，把第2行加到第1行，可得

再将第3行加到第一行，把第3行乘以2加到第2行，得

对矩阵（2．3．2）施行列初等变换：把第2列乘以－1；再将第1、2、3列分别倍加到第4、5列上，把第4、5列的元素全部化为零．这样可得

一般说来，有如下定理及推论：

定理2．3．2　任意一个秩为r的矩阵A，经过若干次初等变换，可化为一最简型：

其中，对角线上1的个数恰为r个．这种矩阵称为标准型矩阵．

推论2．3．1　对满秩矩阵，可以经过若干次初等变换将它简化成单位矩阵．

例2．3．4　用初等变换把

化成单位矩阵．

解　对矩阵A进行初等变换：

所以矩阵的秩为R（A）＝3，为标准型单位矩阵．

2．3．4　初等矩阵

定义2．3．6　由n阶单位矩阵En经过一次初等行（或列）变换得到的矩阵称为初等矩阵．

对应于三种初等变换，可以得到三种初等矩阵：

（1）对换单位阵的i，j两行（或两列）而得到的初等矩阵记为En（i，j），常常也简记为E（i，j）．这种矩阵形如：

（2）用一个非零数k乘以A的第i行（或第i列）的元素得到的初等矩阵，记为E（i（k））．

（3）将矩阵A的第i行（或第j列）元素的k倍对应加到第j行（或第i列）得到的初等矩阵，记为E（j，i（k））．

因为初等矩阵都是由单位矩阵经过一次初等变换得到的，依据行列式的性质知道初等矩阵的行列式值不为零，故它们都可逆．初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵．

容易验证，它们的逆矩阵为：

2．3．5　初等变换与初等矩阵的关系

定理2．3．3　设A＝（aij）m×n，则对A施行一次初等行变换，相当于用一个m阶的同类型初等矩阵（单位矩阵经相同初等变换而得到的初等矩阵）左乘矩阵A；对A施行一次初等列变换，相当于用一个n阶的同类型初等矩阵右乘矩阵A：

即乘积的结果等同于直接把A的i，j两行进行对换；

即乘积的结果等同于直接把A的i行元素乘以k倍；

即乘积的结果等同于直接把A的i行元素的k倍对应加到第j行．关于右乘关系的相关结论可以类似证得．

§2．4　可逆矩阵

数的乘法存在着逆运算——除法，当数a≠0时，

定义2．4．1　对于n阶矩阵A，若存在着一个同阶矩阵B使得

AB＝BA＝E

那么称矩阵A可逆，矩阵B为矩阵A的逆矩阵．将A的逆矩阵记为A－1．

可以验证：若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的．假设B1，B2均为可逆矩阵A的逆矩阵，由定义2．4．1有：

AB1＝B1A＝E，AB2＝B2A＝E，

则B1＝B1E＝B1（AB2）＝（B1A）B2＝EB2＝B2．

所以一个矩阵如果可逆，那么它的逆矩阵是唯一的．

注意，在定义中，A，B的地位是对等的，因此B也可逆，且B－1＝A（就是（A－1）－1＝A），即是说A与B互为逆矩阵．

定理2．4．1　若两个同阶方阵A与B的乘积有AB＝E，则A与B就互逆．

证　若A与B是同阶方阵且AB＝E，根据方阵乘积的行列式的运算规律有所以A与B均可逆．

将AB＝E两边同时左乘A就得A＝B，同时右乘B就得B＝A，即A与B互为逆矩阵．

然而，什么样的矩阵才是可逆的呢？如果一个矩阵可逆，又如何由它求到它的逆矩阵呢？下面的定理解答了这一疑惑．

定理2．4．2　n阶方阵A可逆的充分必要条件为A≠0（非奇异矩阵），且

其中，A∗为A的伴随矩阵．

证　由伴随矩阵的定义有

故当且仅当A≠0，即A是非奇异矩阵时，等式两边可乘

所以根据矩阵乘法的性质规律有

于是

定理2．4．2给出了矩阵可逆的判断依据和求逆的方法，此方法称为伴随矩阵求逆法．以此为基础，还可以推出一些有用的求逆矩阵的结论，如下面例子中的结论就具有普适性．

A12＝－2，A13＝0，A21＝9，A22＝－3，A23＝2，A31＝－1，A32＝0，A33＝－1，

所以

（对于二阶矩阵，当其可逆时，利用伴随矩阵法得出的结论中，注意到A∗与A的元素的关系，就可直接写出A∗．）

所以

可逆矩阵有以下性质：

（3）若方阵A可逆，则AT也可逆且（AT）－1＝（A－1）T；

（4）若方阵A可逆，且AB＝AC，则B＝C；

（5）若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB也可逆且（AB）－1＝B－1A－1．证　（1）若方阵A可逆，则AA－1＝E，所以

（3）因为AT（A－1）T＝（A－1A）T＝E，（A－1）TAT＝（AA－1）T＝E，所以

（AT）－1＝（A－1）T．

（4）若方阵A可逆，可将AB＝AC两端同时左乘A－1得（A－1A）B＝（A－1A）C，即B＝C．

（5）若A与B为同阶可逆阵，则有（AB）（B－1A－1）＝A（BB－1）A－1＝AA－1＝E．而AB，B－1A－1均为与A同阶的方阵，故（AB）－1＝B－1A－1．

定理2．4．3　一个n阶方阵A可逆的充分必要条件是它的等价标准形为单位阵，且A可以表成一系列初等矩阵的乘积．

证　由初等变换与初等矩阵的关系可知，存在一系列初等矩阵Q1，Q2，…，Qs；R1，R2，…，Rt使得

所以

因为初等矩阵的乘积也是初等矩阵，故此定理得证．

若A为n阶可逆阵，则A－1也可逆．由定理2．4．3的结论知存在一系列初等矩阵G1，G2，…，Gk使得

A－1＝G1G2…Gk

于是A－1A＝G1G2…GkA＝E．

又G1G2…GkE＝G1G2…Gk＝A－1，由初等矩阵与初等变换的关|系有

这揭示出求逆矩阵的又一种通用方法——初等变换求逆法．该方法之一是用n阶方阵A和一个同阶单位阵构造出一个n×2n的矩阵（AE），然后将矩阵（AE）始终进行初等行变换，直到子块A变换为单位阵时，则子块E就变换为A的逆矩阵A－1；若变换到某步骤时左边子块出现一行元素全为零，则可判断矩阵A不可逆．

故B不可逆，即B－1不存在．

当求逆方阵不是前边介绍的特殊形式的矩阵，且阶数又较大时，用伴随矩阵求逆法求解往往繁复且易出差错．这时利用初等变换求逆法就是行之有效的选择．

例2．4．6　用逆矩阵或初等变换解下列矩阵方程：

解　（1）由AX＝A＋2X，得

同时由二阶矩阵的逆可得

所以

§2．5　矩阵的分块

在矩阵的讨论或运算过程中，有时需要把一个矩阵分成若干个子块（子矩阵），这样能使原矩阵显得结构简单且明晰，便于分析和运算．

给出一个矩阵，可以根据需要把它写成不同的分块矩阵形式．对于分块后的矩阵，在运算时可以把子块当元素按矩阵的原有运算规则进行运算．为此，矩阵的分块在加法和乘法运算里应遵从不同的分块原则．

2．5．1　加法运算里的分块原则

相加矩阵的行、列的分块方式要一致，即行块、列块数对应相等，对应位置上的子块的行列数对应相等．

算A＋B．

2．5．2　乘法运算里的分块原则

利用分块矩阵计算矩阵Am×n与Bn×s的乘积AB时，要使左乘矩阵A的列的分块与右乘矩阵B的行的分块一致，即A的列块数与B的行块数相等，A某列块的列数与B的对应行块的行数相等．并且要注意，子块相乘时A的各子块始终左乘B的对应子块．

例2．5．2　已知A

解法一　AB＝

　　　　

同时有

从此例可以看出，不同的分块方法使得求解过程的繁杂程度不一样，一般应尽可能地将特殊的零子块和单位子块分出来，这样可以简化子块的求解．

分块对角矩阵具有如下性质：

（2）若｜Ai｜≠0（i＝1，2，…，s），则A可逆，且