“数形结合思想”的考情分析与研究

“数形结合思想”的考情分析与研究

张　斌

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，是数学的规律性与灵活性的有机结合．

在2011《考试大纲的说明》中强调:“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主．”数形结合思想是解答高考数学试题中一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，这就要求考生在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．以下从几个方面就近年高考题中出现的数形结合思想进行分析与研究．

一、基础知识与基本技能考题的分析与研究

基础知识与基本技能考题考查形式以选择题和填空题为主，考查的知识点有集合、函数、方程、不等式、解析几何的方程、斜率、距离公式、立体几何等．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形结合的产物．对学生的“由数转形，由形转数”的基本能力进行考查．

例1(2010年陕西卷．理．15)　(不等式选做题)不等式|x+3|－|x－2|≥3的解集为__________．

【解答】设函数f(x)=|x+3|－| x－2|，则f( x)=作函数f(x)的图象，如图所示，并作直线y=3与之交于点A．

又令2x+1=3，则x=1，即点A的横坐标为1．

故结合图形知，不等式的解集为{x|x≥1}．

【点评】本小题通过构造函数f(x)=|x+3|－|x－2|，利用零点分段法去绝对值，画出它的图像，利用数形结合思想解题，较为直观形象．此题也可用代数方法，分情况讨论去绝对值后，再求解不等式．

例2(2010年天津卷．理．9)　设集合A={x||x－a|＜1，x∈R}，B={x||x－b|＞2，x∈R}，若A≤B，则实数a，b必满足

A．|a+b|≤3 　　B．|a+b|≥3　　 C．|a－b|≤3 　　D．|a－b|≥3

【解答】由题意可得:A={a－1＜x＜a+1}，对集合B有x＜b－2或x＞b+2，因为A≤B，所以有b－2≥a－1或b+2≤a－1，解得a－b≥3或a－b≤3，即|a－b|≥3，选D。

【点评】解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合(数轴)的思想来解决．与不等式有关的集合问题，常借助数轴进行直观求解。

例3(2010年重庆卷．理．6)　已知函数y =sin(ωx+φ)，(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则

A．ω=1，φ=　　 B．ω=1，φ=－

C．ω=2，φ= 　　D．ω=2，φ=－

【解答】∵T=π∴ω=2，由五点作图法知，选D．

【点评】将函数y=A sin(ωx+φ)的图像与正弦曲线y=sin x的图像进行对比分析，结合五点法得出ω，φ的值，是解决此类问题的关键．

例4(2010年湖北卷．理．9)　若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是

【解答】曲线的方程可化简为(x－2)²+(y－3)³=4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2，3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时，须满足圆心(2，3)到直线y=x+b距离等于2，解得或，因为是下半圆故可得，当直线过(0，3)时，解得b=3，故，所以D正确．

【点评】本题体现了由数转形的过程，关键在于准确地画出函数的图像，本题中有的考生会把曲线方程错误地看成一个圆，从而得出选项A，当然是不对的．有关直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，我们常用数形结合思想解题．

二、灵活运用考题的分析与研究

本类考题考查形式以填空题和解答题为主，考查的知识点有函数与方程、导数、三角、解析几何的方程、斜率、距离公式、立体几何等．考查学生是否能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，是否能通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．

例5(2010年全国卷I．理．16)　已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为________．

【解答】如图，设B(0，b)，F(c，0)，

由，得，代入椭圆方程得，即

【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、平面向量知识，首先画出图形，结合已知条件从图象易发现B、D两点之间的坐标关系，利用D点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程即可算出离心率的值．同时考查了数形结合思想、方程思想．

例6(2010年全国卷I．理．15)　直线y=1与曲线y=x²－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．

【解答】如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x²－|x|+a，观图

可知，a的取值必须满足

解得

【点评】本小题主要考查函数的图像

与性质、不等式的解法，若直接去求四个

解是不现实的，但若能想到画出两函数图像利用数学结合思想来解决这个问题那就容易了，在平时的训练中应多强化学生利用数形结合解题的能力．

例7(2010年山东卷．理．22)　已知函数

(Ⅰ)当时，讨论f(x)的单调性;

(Ⅱ)设g(x)=x²－2bx+4．当a=时，若对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈［1，2］，使f(x₁)≥g(x₂)，求实数b取值范围．

【解答】(Ⅰ)因为

所以

令h(x)=ax²－x+1－a，x∈(0，+∞)，

(1)当a=0时，h(x)=－x+1，x∈(0，+∞)

所以，当x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减;当x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增．

(2)当a≠0时，由f'(x)=0，即ax²－x+1－a=0，解得

①当时，x₁=x₂，h(x)≥0恒成立，此时f'(x)≤0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减;

②当时．x∈(0，1)，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减;时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增;，+∞)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减;

③当a＜0时，由于，x∈(0，1)时，h(x)＞0，此时f'(x)＜0，函数f(x)单调递减;x∈(1，+∞)时，h(x)＜0，此时f'(x)＞0，函数f(x)单调递增．

(Ⅱ)因为

当x∈(0，1)时，f'(x)＜0，函数f(x)单调递减;当x∈(1，2)时，f'(x)＞0，函数f (x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为

由于“对任意x₁∈(0，2)，存在x₂∈［1，2］，使f(x₁)≥g(x₂)”等价于“g(x)在［1， 2］上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值－”(*)

又g(x)=x(－b)²+4－b²，x∈［1，2］，所以

①当b＜1时，因为［g(x)］_min=g(1)=5－2b＞0，此时与(*)矛盾;②当b∈［1，2］时，因为［g(x)］_min=4－b²≥0，同样与(*)矛盾;

③当b∈(2，+∞)时，因为［g(x)］_min=g(2)=8－4b，

解不等式，可得

综上，b的取值范围是．

【考题分析】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了数形结合与分类讨论的数学思想以及解不等式的能力以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间［1，2］上的最大值，然后解不等式求参数．

三、实际运用、创新考题的分析与研究

自从各省自主命题以来，有关实际应用的考题越来越多，其中也不乏一些好的创新考题．其中涉及数形结合思想方面的考题主要集中在函数、三角、圆锥曲线等章节中．这类考题往往信息较多、阅读量大，对学生的理解能力有较高要求，而有关实际运用的问题则对同学们的建模能力进行考查．创新型考题在概念、背景、知识交汇点等方面与常规题型有了不小的变化，在做这类题目时要有平和的心态，多读几遍题，千万不能着急，否则就会忙中出错．

例8(2010年北京卷．理．14)　如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P(x，y)的轨迹方程是y=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为_______;y=f (x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为．

说明:“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

【解答】不难想象，从某一个顶点(比如P)落在x轴上的时候开始计算，到下一次P点落在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4。下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P点从x轴上开始运动的时候，首先是围绕A点运动个圆，该圆半径为1，然后以B点为中心，滚动到C点落地，其间是以BP为半径，旋转90°，然后以C为圆心，再旋转90°，这时候以CP为半径，因此最终构成图象如下:

因此不难算出这块的面积为π+1，故答案为4;π+1．

【点评】本小题具有一定的创新性，关键在于能根据已知条件大致画出点P的运动轨迹。从图像中易得函数f(x)的最小正周期以及在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积．

例9(2010年江苏卷．17)　某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m)，如图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα =1．24，tanβ=1．20，请据此算出H的值;

(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大?

【解答】(1)同理:

AD－AB=DB，故得，解得:

因此，算出的电视塔的高度H是124m．

(2)由题设知d=AB，得

故当时，tan(α－β)最大．

因为，则，所以当时，α－β最大．

故所求的d是

【点评】本小题以实际问题为背景，考查解三角形、两角差的正切及不等式的知识，渗透数形结合的思想，对学生建模能力有一定的要求．如何把一个实际问题转化为数学问题是解题的关键第一步，而通过图形建立等量关系则是第二步，第三步是利用均值不等式求出函数的最值．实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。为切合我国中学数学教学的实际，让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识，因此，高考应用题的命制基本坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则．

例10(2009年北京卷．理．8)　点P在直线l:y=x－1上，若存在过P的直线交抛物线y=x²于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“A点”，那么下列结论中正确的是(　　)

A．直线l上的所有点都是“A点”

B．直线l上仅有有限个点是“A点”

C．直线l上的所有点都不是“A点”

D．直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“A点”

【解答】如图，设A(m，n)，P(x，x－1)，则B(2m－x，2n－x－2)，

∵A，B在y=x²上，

消去n，整理得关于x的方程

∵Δ=(4m－1)²－4(2m²－1) =8m²－8m+5＞0恒成立，

∴方程(1)恒有实数解，∴应选A．

【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及考生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题．对于这一类题目关键在于正确地理解好新定义的概念，结合抛物线y=x²和直线l:y=x－1的位置关系，“直线l上A点的个数”等价于“关于x的方程x²－(4m－1)x+2m²－1=0解的个数”．然后利用判别式即可得出结论．

高考对创新意识的考查其意义已超出了数学学习，对提高学习和工作能力，对今后的人生都有重要的意义．而高考对创新意识的考查为避免脱离当前的教学实际，它必然控制在一定的范围和层次上．因此，所设计的试题基本是能使用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题，且考查时所提出的问题，通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂、看懂，所以，对阅读、理解数学材料的能力有较高的要求．