系统状态空间表达式的获取及模型转换

1）从机理出发建立状态空间表达式

对于结构和参数已知的系统，可由原各动态环节的工作机理列写物理方程和相应的微分方程，再定义独立状态变量写成状态变量间的一阶微分方程组。

［例8-02］ 以作用力f（t）为输入，y1、y2为输出建立如图8-4（a）所示系统的状态空间表达式。

［解］ （1）选择状态变量。

图8-4（a）所示的双弹簧质量阻尼机械系统中，弹簧K1、K2和质量M1、M2是储能

图8-4 机械系统

元件，系统为四阶系统有四个状态变量，选择质量块M1、M2的位移y1、y2，速度狏1、狏2作为独立状态变量，即

（2）列写系统各动态环节的物理方程和相应的微分方程。

根据图8-4（b）分离体受力分析，对M1和M2分别有

（3）用一阶微分方程组取代所有的微分方程。

（4）动态方程写成状态变量向量矩阵的形式，即状态方程。

输出量按状态变量的线性组合，写成向量代数方程的形式，即得输出方程

2）由模型转化得到状态空间状态表达式

同一系统的两种不同形式的数学模型（如输入输出模型和状态空间模型）之间存在着内在联系，并且可以相互转换。

在经典控制理论中，动态系统的时域模型表征为输出和输入间的一个单变量高阶微分方程

或者对应的传递函数

适当选择系统的状态变量，可以由ai（i＝1，…，n）、bj（j＝0，1，…，n）得到相应的系数矩阵A、B、C、D及对应的状态空间表达式

不同的状态变量的选用，可以得到无限种不同的动态方程。从后续的系统设计及校正工作提供方便的角度，经常转换成能控标准形、能观标准形或对角线标准形。

（1）能控标准形、能观标准形。

与式（8-3）对应的能控标准形的状态空间表达如下

y＝［bn－anb0bn－1－an－1b0…b2－a2b0b1－a1b0］x＋b0u 　（8-4b）与式（8-3）对应的能观标准形的状态空间表达如下

由式（8-4）、式（8-5）知，同一个系统传递函数的能控标准形和能观标准形实现中，系数矩阵之间有如下关系：

（2）对角线标准形。

考虑一般性，如果传递函数的分母多项式（即传递函数的特征多项式）具有互不相同的极点时，则传递函数G（s）的一般形式可以写成部分分式展开式

式中：λi为特征方程的根；ci为λi对应的留数。

对应可以有对角线标准形实现

式（8-6）中系数矩阵A为对角线矩阵，对角线上的元素为传递函数特征方程的根。

当传递函数特征方程有重根时，A阵成为约当（Jodan）矩阵。例如传递函数

如果选取如下的x11、x12、x13、x2和x3作为状态变量，即

此系统的动态方程为

对角线标准形实现和约当标准形实现又称为特征值标准形实现。

［例8-03］ 求取G（s）＝的能控标准形、能测标准形和对角线标准形实现。

［解］ （1）由题知n＝3、a1＝7、a2＝14、a3＝8、b0＝0、b1＝1、b2＝8、b3＝15能控标准形实现

y＝［b3－a3b0b2－a2b0b1－a1b0］x＋b0u＝［15 8 1］x能测标准形实现

（2）对角线标准形实现

即n＝3、b0＝0、λ1＝1、λ2＝2、λ3＝4、c1＝8／3、c2＝－3／2、c3＝－1／6。于是有

在MATLAB提供将传递函数转换成为状态空间的tf2ss（），对应的还有将传递函数模型转换零极点模型的tf2zp（）。

［例8-04］ 求系统G（s）＝对应的零极点模型和状态空间模型。

［解］ MATLAB中程序为

运行上述程序，有如下的运行结果。

即对应的零极点模型为

对应的状态空间模型则是

3）模型状态方程转换为传递函数模型

与从传递函数得到系统的状态空间表达相对应的是可以由状态空间表达得到传递函数模型。当指定传递函数的输入变量、输出变量后，得到的传递函数是唯一的。

设系统传递函数为

其状态空间表达式如下：

式中：x为n维状态向量，u为输入量，y为输出量，进行拉普拉斯变换有

sX（s）－x（0）＝AX（s）＋BU（s）

Y（s）＝CX（s）＋DU（s）

由传递函数定义中的零初始条件，即x（0）＝0，可得到

X（s）＝（sI－A）－1BU（s）

Y（s）＝［C（sI－A）－1B＋D］U（s）

于是

G（s）＝＝C（sI－A）－1B＋D

如果D＝0，则

式中：adj（sI－A）为特征矩阵（sI－A）的伴随矩阵；∣sI－A∣为系数矩阵A的特征多项式，∣sI－A∣＝0即为系统的特征方程。将式（8-8）对比于经典控制理论中的

可得，

（1）传递函数分母多项式等同于系统矩阵A的特征多项式；

（2）传递函数的极点就是系统（系数矩阵A）的特征值。

［例8-05］ 由［例8-01］中得到的机械系统的状态空间表达式，求取系统的传递函数。

［解］ 由［例8-01］求得的A、B、C得到

G（s）＝C（sI－A）－1B

同样，MATLAB也提供将状态空间模型转换为传递函数模型的函数ss2tf（）。

［例8-06］ 某系统有状态空间模型

［解］ 对应有程序

运行上述程序，有如下的运行结果。

即可获得