节点电压与支路电流的关系

当构成电路的元件及电路本身的尺寸远小于电路工作时的电磁波的波长时，可认为电场只集中在电容中，磁场只集中在电感中，称这些元件为集中元件或集中参数元件。

全部由集中参数元件连接而成的电路，称为集中参数电路。在分析集中参数电路时，除了需要了解元件本身的特性之外，还应掌握它们相互连接给支路电流和电压带来的约束——电路的拓扑约束。基尔霍夫定律表达了这类约束。

基尔霍夫定律是集中参数电路的基本定律，它包含基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。下面介绍几个术语。

（1）支路：电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。如图1-20中有6条支路：aed、cfd、agc、ab、bc、bd。

（2）节点：三条或三条以上支路的连接点称为节点。如图1-20中就有4个节点：a、b、c、d。

（3）回路：由若干条支路组成的闭合路径，其中每个节点只经过一次，这条闭合路径称为回路。如图1-20中就有7个回路：abdea、 bcfdb、 abcga、 abdfcga、 agcbdea、 abcfdea、agcfdea。

在网络分析中，有时以元件作支路，因此元件的连接点也称节点。于是在图1-20中便有9条支路，7个节点：a、b、c、d、e、f、g。

图1-20　电路实例

基尔霍夫电流定律：在集中参数电路中，任何时刻，流出（或流入）一个节点的所有支路电流的代数和恒等于零。其数学表达式为

对图1-20中的节点a，应用KCL则有

把式（1-29）改写成下式

上式表明：在集中参数电路中，任何时刻，流入一个节点电流之和等于流出该节点的电流之和。

在式（1-29）中，流出节点的电流前取“+”号，流入节点的电流前面取“-”号，而电流是流出节点还是流入节点均按电流的参考方向判定。

KCL为支路电流施加了一个线性约束。例如，若已知i1=-5A，i3 =3A，则按式（1-29）就有：i4=-8A， i4不能取其他数值。从i1 、i3 、i4正负和参考方向可判断出，实际流入节点a的电流是8A，流出节点a的电流也是8A。

KCL通常用于节点，也适于一个包围部分电路的封闭面。例如图1-20中，封闭面S包围着节点a、b、c，在这些节点处有

把上3式相加，则流出封闭面S的电流的代数和

因此，流出（或流入）一个封闭面电流的代数和也恒等于零；或者说，流出封闭面的电流之和等于流入封闭面的电流之和，这就是电流的连续性。基尔霍夫电流定律也是电荷守恒定律的体现。

基尔霍夫电压定律：在集中参数电路中，任何时刻，沿着一个回路所有支路电压的代数和恒等于零。KVL的数学表达式为

在写出式（1-30）时，先要任意规定绕行回路的方向，凡支路电压的参考方向与回路的绕行方向一致者，此电压前面取“+”号，支路电压的参考方向与回路的绕行方向相反者，此电压前面取“-”号。回路的绕行方向可用箭头表示，也可用闭合节点序列来表示。

在图1-20中，对回路abdea，应用KVL有

如果一个闭合节点序列不构成回路，例如图1-20中的节点序列（a、d、e、a），在节点a、d之间没有支路，但节点a、d之间有开路电压uad， KVL同样适用于这样的闭合节点序列，即

所以，在集中参数电路中，任何时刻，沿任何闭合节点序列，全部电压的代数和恒等于零。这是KVL的另一种形式。

把式（1-31）改写成下式

由此可见，电路中任意两点间的电压是与计算路径无关的，是单值的。所以，基尔霍夫电压定律实质是两点间电压与计算路径无关这一性质的体现。各支路电压、电流关系方程为

KVL为电路中支路电压施加了线性约束。

KCL和KVL只与电路中元件相互连接方式有关，而与元件的性质无关。所以这种约束称为“拓扑约束”。不论电路中的元件是线性的还是非线性的，时变的还是非时变的（定常的），只要是集中参数电路，KCL和KVL总是成立的。

例1-4　图1-21所示电路中，CCVS的电压ud =4i1，设已知us=7V，is=0.5A，i1=1A，R1 =2Ω，求电压u3和电阻R2。

解　规定支路电流和电压的参考方向如图1-21所示，对回路abda应用KVL有

图1-21　例1-4图

在只含有电阻、电压源的电路中，KVL具有另外的形式。据图1-22，对回路abcda应用KVL有

图1-22　KVL示例

将式（1-33）代入式（1-32），得

将上式中的电源电压都移到方程的右边，得

式（1-34）是KVL的另一种表示形式，它是元件的电压和电流的约束关系与KVL结合在一起的结果。式（1-34）的意义是：对于这种回路，沿着回路的绕行方向，电阻电位降的代数和等于电压源电位升的代数和。当电流的参考方向与绕行方向一致时，Ri项前面取“+”号，否则取“-”号；当绕行方向通过电压源 us时，是从“-”极性到“+”极性（电位升），则us项前取“+”号，否则取“-”号。