矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中，都起着重要作用.

定义1　下面3种变换称为矩阵的初等行变换：

（i）对调矩阵的两行（对调i，j两行，记作ri↔rj）；

（ii）将某一行所有元素乘以数k≠0（第i行乘k，记作ri×k）；

（iii）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去（第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj）.

把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵初等列变换的定义（所用记号是把“r”换成“c”）.

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

显然，利用可将经过可将经过ri↔rj，ri×k，ri+krj变换后的矩阵变回原矩阵. 故矩阵的3种初等变换均是可逆的，且其逆变换与原变换是同一类型的初等变换.

若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B行等价，记作；若A经有限次初等列变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B列等价，记作；若A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作A～B.

矩阵之间的等价关系具有下列性质：

（i）反身性　A～A；

（ii）对称性　若A～B，则B～A；

（iii）传递性　若A～B，B～C，则A～C.

利用矩阵的初等行变换可以将一个矩阵化简，例如

对B1进一步施行初等行变换可得

这里，矩阵B1与B2都称为行阶梯形矩阵，其特点是：可画一条一行为一个台阶的阶梯线，线的下方元素全为0，台阶数就是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.

行阶梯形矩阵B2还称为行最简形矩阵，其特点是：每个非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

事实上，对于任何矩阵Am×n，总可经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.

对行最简形矩阵再施行初等列变换，可变成一种形式更简单的矩阵，称为标准形. 例如

矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0.

对于任何矩阵Am×n，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形

此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r是一个不变量，它为行阶梯形矩阵中非零行的行数.

任何矩阵A都有唯一的标准形. 等价矩阵有相同的标准形. 即有相同标准形的矩阵是等价的. 因此所有与A等价的矩阵组成一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中形式最简单的矩阵.

即得到（A，E）的行最简形.