刚体的运动

一般固体在外力作用下，其形状和大小会发生变化，但如果在外力作用下，物体的形状和大小保持不变，即物体内任意两点之间的距离不因外力而改变，这种理想化了的物体就叫做刚体．刚体的运动分为平动和转动两种，而转动又可分为定轴转动和非定轴转动．如果刚体内任意两点间的连线在运动过程中始终保持平行，则刚体的这种运动称为平动，如图3.1所示．刚体的平动可看作是质点的运动，描述质点运动的各个物理量和质点力学的规律都适用于刚体的平动．

图3.1　刚体的平动

当刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为转动，这条直线叫转轴．如果转轴的位置或方向随时间变化（如旋转陀螺），这是非定轴转动．如果转轴的位置或方向是固定不动的，这种转轴为固定转轴，此时刚体的转动为定轴转动．本章我们主要研究刚体的定轴转动．

一般的刚体运动可看成是平动和转动的合成运动，所以刚体平动和转动的规律是研究刚体复杂运动的基础．

同质点力学一样，刚体的定轴转动同样可分为运动学和动力学，本节我们首先介绍刚体的定轴转动运动学描述．

刚体作定轴转动时，如图3.2所示，刚体内任一点P将在通过P点且与转轴垂直的平面内作圆周运动，该平面称为转动平面，圆心O是转轴与该平面的交点．因此刚体的定轴转动实质上就是刚体内各个点在垂直于转轴平面内的圆周运动．

图3.2　刚体的定轴转动

显然，刚体作定轴转动时，在相同的一段时间内，刚体上转动半径不同的各点，其位移、速度、加速度一般各不相同，但各点的半径扫过的角度却是相同的，而且角速度和角加速度也是相同的，因此用角量来描述刚体的定轴转动是较为方便的．我们以前讨论过的角位移、角速度和角加速度等概念以及有关公式（见1.2.4），角量和质点的位移、速度、加速度等线量的关系，对刚体的定轴转动都适用．即：

刚体的角速度为

图3.3　角速度矢量

角速度ω可以定义为矢量，用ω表示．它的方向规定为沿转轴的方向，指向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋法则确定，如图3.3所示．

刚体的角加速度为

离转轴距离为r的质点的线速度和刚体的角速度的关系为

加速度与刚体的角加速度和角速度的关系为

例3.1　一飞轮转过的角度和时间的关系为，式中a、b、c都是常量．求它的角加速度．

角加速度是角速度对时间t的导数，因此得

由此可见，飞轮作的是变速转动．

因飞轮作匀减速运动，则角加速度为

上式中“-”号表示α的方向与ω0的方向相反．而飞轮在30s内转过的角度为

飞轮共转了

（2）在t=6s时，飞轮的角速度为

（3）在t=6s时，飞轮边缘一点的线速度大小为

切向和法向加速度为