刚体转动惯量的测定

实验19　刚体转动惯量的测定

【实验目的】

（1）了解刚体转动惯量的测定方法，验证刚体转动定律；

（2）考察刚体的质量分布改变时对转动的影响，验证平行轴定理；

（3）运用作图法和最小二乘法处理实验数据。

【实验仪器】

刚体转动仪，秒表，天平，砝码，游标卡尺，钢卷尺。

【实验仪器介绍】

实验装置如图4-19-1所示，A是有5个不同半径R的塔轮，其两边对称地伸出两根有等分刻度的均匀细柱B和B′，细柱B和B′上各有一个可移动的圆柱形重物m₀，它们一起组成一个可以绕固定轴OO′转动的刚体系，塔轮上绕一细引线，通过滑轮C与砝码m相连。当砝码m下落时，通过细引线对刚体系施加外力矩。滑轮C的支架可以借固定螺丝D而升降，以保证当细引线绕塔轮的不同转动半径时都可以保证与转动轴相垂直。滑轮台架E上有一个标记F，用来判断砝码的起始位置。H是用来固定台架E的螺旋扳手。G为固定轴的螺丝和锁紧螺母，松开支臂上固定轴的螺丝G，取下塔轮，换上铅直准钉P，通过底脚螺丝S₁、S₂、S₃可以调节OO′轴竖直。调好OO′轴线竖直后，再换上塔轮A，调节固定轴的螺丝G使塔轮沿轴向有1mm左右的间隙（以减小磨擦），塔轮转动自如后用锁紧螺母G固定。

图4-19-1　刚体转动实验仪的装置图

【实验原理】

1.验证刚体转动定律

根据刚体转动定律，转动系统所受合外力矩M_合与角加速度β的关系为

其中I为该系统对回转轴的转动惯量。合外力矩M_合主要由引线的张力矩M和轴承的摩擦力矩M_μ构成，则

M-M_μ＝Iβ

当塔轮转动不太快，转动时空气阻力可以忽略，轴承的摩擦力矩M_μ可以视为恒定，上式可改为

在实验中，若要研究引线的张力矩M与角加速度β之间是否满足式（4-19-2）的关系，就要测不同M时的β值。

1）角加速度β的测量

测出砝码m从静止以匀加速度a下落h高度所用的时间t，则h＝at₂/2，而塔轮的角加速度β与砝码的匀加速度a关系为a＝Rβ，则

2）关于引线张力矩M

设引线的张力为F_T，其绕OO′轴的半径为R。把引线的长度认为不变，轻引线的质量、滑轮C的转动惯量、滑轮C轴上的摩擦力忽略不计近似后，有M＝F_TR。

实验时若保持a《g，由mg-F_T＝ma有F_T≈mg，则

3）外力矩与角加速度的关系

测量外力矩M与角加速度β的关系有两种方法：

（1）保持m、I、h不变，改变塔轮半径R，外力矩M改变，测量各M的角加速度β。

（2）保持R、I、h不变，改变砝码质量m，外力矩M改变，测量各M的角加速度β。

根据以上两种方法中的任一种方法进行测量，在毫米方格纸上作Mβ图线，如得一条直线，便可证明式（4-19-2）成立，就验证了刚体转动定律，而且该直线的截距为阻力矩M_μ，斜率为转动系统对转轴的转动惯量I。

2.考察刚体的质量分布对转动的影响，验证平行轴定理

（1）若保持m、R、h不变，对称地移动重物m₀，改变其离OO′轴的距离x，即保持式（4-19-1）中M_合不变，研究转动惯量I与角加速度β关系。

根据刚体转动惯量的平行轴定理和叠加定理，整个系统绕OO′轴转动的转动惯量为

式中I_0A为A、B、B′绕O　O′轴转动的转动惯量，I_0C为两个圆柱体重物m₀绕过其质心且平行于OO′轴的转动惯量。将式（4-19-5）代入式（4-19-2）有

M＝M_μ＋（I_0A＋I_0C＋2m₀x²）β

令I₀＝I_0A＋I_0C，将式（4-19-3）代入上式有

如摩擦力矩M_μ不变，则t₂与x₂成线性关系。

实验时，对称改变m₀距OO′轴的距离x，测量砝码从静止匀加速下落对应的时间t，根据实验数据在毫米方格纸上作t₂—x₂图，如得一直线便可证明式（4-19-1）、式（4-19-5）成立，这样就验证了刚体转动定律及转动惯量的平行轴定理。

（2）保持m、R、h不变，若二重物的位置为x和x₅时（图4-19-2）的转动惯量分别为I和I₅，根据平行轴定理，则有

图4-19-2　两个重物m0对称的x和x₅位置

其中I₀为x＝0时的转动惯量，当两次测量M_合不变，根据式（4-19-1），应有

由式（4-19-7）和式（4-19-9），得出

上式反映出重物位置x改变时对转动的影响。作图线，如得一条直线，便可证明式（4-19-7）和式（4-19-9）成立，就验证了平行轴定理和刚体转动定律，由直线的斜率可转化求出两重物在x₅时转动系统对OO′转轴的转动惯量I₅。

【实验内容与步骤】

1.观测张力矩M与刚体转动角加速度β的关系，测定刚体转动惯量

（1）调节实验装置。取下塔轮，换上铅直准钉，调节OO′轴与地面垂直。装上塔轮，尽量减小摩擦力，使塔轮转动自如，用螺丝固定，并在实验过程中维持磨擦力不变。绕线要从上至下尽量密排。

调节滑轮C的位置，保持引线与塔轮OO′轴互相垂直。

（2）测出塔轮上各轮的直径d，测出滑轮台架上的金属尖头F至地面间的距离h。把横杆上的铁柱重物m₀移到横杆的最外侧（5、5′）。

（3）在引线下端加一质量为m的砝码，保持m、I、h不变，将细线分别绕在塔轮的各轮上，用秒表测量砝码在F处自静止下落h高度所用的时间t，计算相应的张力矩M与角加速度β。

注意：m尽量要小，使a《g，并且R为最小半径时m能从静止匀加速下落。

在直角坐标纸上，将结果作M—β图，得出必要的结论，并用最小二乘法处理数据，求出刚体转动惯量I（即斜率）和摩擦力矩M_阻（即截距），写出其标准表达式：

M_阻＝M_阻±u（M_阻）（N·m）

I＝I±u（I）　（kg·m²）

★（4）保持R（2.50cm），I，h不变，用不同质量的砝码m，测量各M的角加速度β。根据数据作M—β图，得出必要的结论，并用最小二乘法处理数据，求出转动惯量。

2.考察刚体的质量分布对转动的影响，验证平行轴定理

保持m＝20.00g、R＝2.50cm、h不变，对称地改变m₀位置x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，测t。将结果作t²—x²图，得出必要的结论。

预习思考题

（1）实验中要求满足的实验条件是什么？

（2）塔轮系统的转动惯量I是包括＿＿对OO′转轴的转动惯量。

（3）实验中是如何验证刚体转动定律？如何验证平行轴定理？

思　考　题

（1）在调整刚体转动仪和实验中是如何实现实验要求的条件？

（2）利用式（4-19-6）验证平行轴定理，能不能作t—x图而不作t²—x²图？

（3）作M—β图线，由直线的斜率求出转动惯量I。作β5/β-x²图线，由直线的斜率k，求出m0在x₅时转动系统对转轴的转动惯量I₅。