初中物理基础知识——达朗伯原理

4.3.5　达朗伯原理

达朗伯原理提出了另一种解决动力学问题的方法——动静法，即把动力学问题从形式上转化为静力学问题，然后用静力平衡条件求解。

1.惯性力的概念

当质点受到其他物体的作用而改变其原来的运动状态时，由于质点的惯性产生对施力物体的反作用力，称为质点的惯性力。惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，并作用在施力物体上。惯性力的表达式为

F^I=－ma

2.质点的达朗伯原理

设质点M，质量为m，受到主动力合力F、约束力合力N作用。合力R=F+N。在合力R作用下具有加速度a，则

R=F+N=ma

图4.3-10

令惯性力F^I=－ma，并假想把惯性力作用于质点上，则R+F^I=0，即F+N+F^I=0。此式即为质点的达朗伯原理。表示如果在运动的质点上，假想加上惯性力，则作用于质点的主动力F、约束力N和惯性力F^I成平衡。应该注意，这里的“平衡”没有实际的物理意义，它不过是质点运动微分方程的另一种形式，即把ma项移到左边。

3.质点系达朗伯原理

对质点系内各质点都可列出

F_i+N_i+F^I_i=0(i=1，2，…，n)

此式即为质点系达朗伯原理。一般地说，它是一个空间任意力系。

4.刚体惯性力系的简化

根据力系简化理论，按刚体的各种运动形式，可分别将惯性力系简化，其结果如表4.3-8所示。

表4.3-8

【例4.3-9】长方形匀质薄板重W，以两根等长的软绳支持，如图4.3-11所示。设薄板在图示位置无初速地开始运动，图中α=30°。求此时绳子中的拉力。

解:(1)对象

以平板为研究对象。

图4.3-11

(2)受力分析

运动开始时板受重力W、软绳约束反力T₁、T₂。

(3)运动分析并虚加惯性力

由约束条件知平板作平动，在运动开始时板上各点法向加速度为零，切向加速度垂直于软绳，大小a_τ=lε。ε为软绳的角加速度，于是平板惯性力的合力R^I=加于质心C上。如图4.3-11所示。

(4)选坐标系，列方程求解

作用于板上的主动力W、约束反力T₁、T₂及虚加的惯性力R^I构成平面平衡力系。根据动静法列方程

Σm_A(F_i)=0

从此可求得T₁、T₂以及R^I，从R^I可得到薄板运动的加速度。

今设C=2b，W=1kN，从式(2)，得到

R^I=Wsinα=0.50kN

并得到板的加速度

a=gsinα=4.90m/s²

代入式(1)，解得T₂=0.56kN

从式(3)可得T₁=0.31kN

【例4.3-10】质量为m、长为l的直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆盘边缘上，如图4.3-12(a)所示。令圆盘以角加速度ε绕其中心O转动。求其开始转动时AB杆上焊接处由于转动而引起的约束反力。并讨论当圆盘以匀角速ω转动时的情况。

解:以直杆AB为研究对象，由于直杆AB随同圆盘一起绕固定点O以角加速度ε转动，杆上所有的惯性力可以简化为一个过O点的力R^I，以及一个力偶M^I

O，其大小分别为

图4.3-12

R^I的方向及的转向如图4.3-12(b)所示。根据动静法列方程

当直杆随同圆盘以ω匀速转动时，直杆上的惯性力可简化为如图4.3-12(c)所示。此时，OCω²，R^I通过O点，方向如图4.3-12(b)所示。从此，可求得:

【例4.3-11】轮A、B均质，重为P₁、P₂，半径均为R，物块C重Q，用一不计质量不伸缩的绳子连接，如图4.3-13所示。轮A在α角斜面上作纯滚动，轮B绕O轴转动。试求物块C下落的加速度a和斜面对轮A的摩擦力F。

解:分析系统受力情况，主动力为P₁、P₂、Q，约束力为法向反力N、摩擦力F、轴承处约束力X_O、Y_O以及内约束力T₁(A与B间的绳子张力)、T₂(B与C间的绳子张力)。用动静法求解较方便，则分别在A、B、C上加惯性力:(因轮A作平面运动，且为纯滚动)，(因轮B作定轴转动，轮心与O重合)，F^I=(物块C作直线平动)。根据平面力系物体系统平衡，共可列出独立平衡方程式3(A)+3(B)+1(C)=7个，未知量个数为a、N、F、X_O、Y_O、T₁、T₂共7个，可见是一静定的代表方程组，可解。取A轮，由

图4.3-13

讨论:本题若用动能定理求解加速度a也较方便，但动能定理不能求解摩擦力F。

从本题的求解过程可见，采用动静法解题，可以充分发挥静力学中灵活选取研究对象、巧妙选取矩心和投影轴的优点。