二维和三维形函数

2.5.2　典型的一维、二维和三维形函数

1）一维形函数

对于如图2.11所示的一维杆单元（一维母单元），采用坐标ξ（局部坐标），－1≤ξ≤＋1。通过坐标变换，可以得到整体坐标系（x，y，z）中不同长度和形状的曲线单元（子单元）。一维形函数如下：

图2.11　一维母单元

（1）线性单元（2结点）

（2）二次单元（3结点）

（3）三次单元（4结点）

2）二维形函数

二维母单元是（ξ，η）平面中的2×2正方形，其中

－1≤ξ≤＋1， －1≤η≤＋1

如图2.12所示，坐标原点位于单元形心上。单元边界由4条直线确定：ξ＝±1，η＝±1，结点数目应与形函数阶次相适应，以保证用形函数定义的未知量在相邻单元之间的连续性。对于线性、二次、三次形函数，单元每边应分别有2、3、4个结点。除了4个角点外，其他结点放在各边的二等分或三等分点上。二维形函数如下：

图2.12　二维母单元

（1）线性单元（4结点）

上式也可以合并为下列形式：

式中　 ξ_i、η_i——结点i的坐标。

显然，在单元的4条边界上，形函数是线性的。

（2）二次函数（8结点）

角点：

边中点：

在单元的4条边上，形函数是二次函数。

（3）三次单元（12结点）

角点：

边三分点：

在单元的4条边上，形函数是三次函数。

3）三维形函数

三维母单元是（ξ，η，ζ）坐标系中的2×2×2正六面体，其中：

－1≤ξ≤＋1， －1≤η≤＋1， －1≤ζ≤＋1

如图2.13所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是6个平面：ξ＝±1，η＝±1，ζ＝±1。单元结点放在角点及各棱的等分点上。三维形函数如下：

图2.13　三维母单元

（1）线性单元（8结点）

（2）二次单元（20结点）

角点：

典型边中点：

（3）三次单元

角点：

典型边中点：