基于位理论的建模方法

7.3.3　基于位理论的建模方法

1.矩谐分析法

矩谐分析研究的对象是地球表面一个矩形区域，在地磁场区域以外的空间，地磁位满足Laplace方程:

若地磁场既有内源部分，又有外源部分，则式(7-35)的一般解在直角坐标系下的形式为:

由于矩谐分析研究的对象是矩形区域xOy面，包含了内源磁场和外源磁场，利用区域边界条件，方程(7-35)的解又可以写为:

式中L_x和L_y分别为矩形区域的南北和东西长度。

若取区域中心为矩谐坐标系的原点，则有:

根据式(7-35)地磁位的表达式，在矩谐坐标系下地磁三分量可表达为:

式(7-39)给出了矩谐分析用于构建3分量地磁场的模型，A、B、C、E、F、G、H分别代表模型的系数; x、y、z分别为矩形坐标系下的测点3维坐标，相应的地磁3分量为B_x、B_y、B_z;N为模型截止阶数。若模型的截止阶数为N_max，则模型中包含了2N_max(N_max+1)+3个未知数。在实际数据处理中，若测点个数为n，N_max可通过如下经验模型近似确定:

基于矩谐分析的地磁场建模过程如下:

(1)根据研究区域，确定矩谐坐标系的原点O。通常情况下，原点O选择在测区的中央位置。若区域过大，为计算方便，可考虑选择在测区中央附近的整经度、纬度位置。

(2)根据测点Q的地理坐标(θ，λ)，转换其空间直角坐标(X，Y，Z)为矩谐坐标系下的坐标(x，y，z)。

(3)转换球面上各测点测站坐标系下地磁三分量(BX_Q，BY_Q，BZ_Q)为矩谐坐标系下的三分量(B_x，B_y，B_z)。

(4)根据式(7-39)构建地磁场模型，并利用最小二乘法确定模型系数A、B、C、D和E_ij、F_ij、G_ij和H_ij。

(5)利用式(7-38)中建立的地磁场模型，计算矩形区域内不同位置的地磁三分量。重复(2)中的坐标转换过程，将待求点的矩谐坐标代入地磁场模型中，便可得到其在矩谐坐标系下的地磁三分量。进而根据坐标转换的逆过程，得到其在测站坐标系下的地磁三分量。

2.球冠谐分析理论

根据地磁场位理论，内源磁位可表示为:

式中，a为地球半径，r为地心径向距离，和为高斯系数，(cosδ)为Schmidt准归一化缔合Legendre函数，φ和δ分别为球冠坐标系下的经度和余纬。

位表达式满足Laplace方程:

根据位理论，磁测站空间直角坐标下的地磁三个分量可表示为:

相对球谐分析，球冠谐分析是在地球的某一球冠部分进行球谐分析，因此必须满足一定的边界条件。在经度及余纬δ= 0°处与全球分析中相同，而在δ=δ₀边界处，磁位V要满足条件:

式中，f和g是与δ无关的函数。

Haines认为，通过选择合适的基函数，使得来满足，即通过确定n的根来完成。

不同于球谐分析，满足上式的n的根一般为非整数n_k，且与模型的阶数m相关。替代式(7-41)中的n为n_k(m)，则球冠谐分析中的Legendre地磁位V表达为:

式中，K _max代表球冠谐分析中的最大截止阶数。

结合式(7-46)和式(7-43)，则基于地磁三分量的球冠谐分析地磁场模型可表达为:

式(7-47)中，Legendre函数可通过如下递推关系获得:

对式(7-48)关于δ求导，则有:

式(7-48)和式(7-49)给出了Legendre级数的实用计算方式，但其中n_k是未知的。

根据球冠谐分析的边界条件(式(7-45))，在给定球冠半角θ₀的情况下，通过解算可以得到不同阶数k和项数m下的n_k。由于式(7-45)中包含了m和n_k，因此，在求解n_k的过程中，需要首先给定m，然后采用迭代的方法获得n_k。

球冠谐分析过程如下:

(1)根据研究区域，选择球冠坐标系的极点O以及球冠半角θ₀;

(2)将测点地理坐标(θ，λ)转换到球冠坐标(δ，φ);

(3)转换球面上测站坐标系下地磁三分量(x，y，z)为球冠坐标系下的三分量(x_C，y_C，z_C);

(4)根据式(7-47)构建地磁场模型，并利用最小二乘法确定系数;

(5)计算不同位置的地磁三分量时，重复(2)中的转换过程，将待求点的球冠坐标代入(4)中所构建的地磁场模型中，计算在球冠坐标系下的地磁三分量，并将之转换到地理坐标系下。转换模型为: