图形处理技术概述

2.1.1 图形处理的数学基础

1）矢量及其运算

设有两个矢量V 1（x 1，y 1，z1）和V 2（x 2，y 2，z2），有关矢量的运算如下。

（1）矢量之和：

V 1＋V 2＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2，z1＋z2）

（2）矢量之积：

V 1·V 2＝（x 1·x 2＋y 1·y 2＋z1·z2）

（3）矢量的长度：

（4）两个矢量的叉积：

2）矩阵及其运算

这个m行n列矩阵是由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n矩阵。矩阵中所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，m行n列的零矩阵记为O m×n。对于任意矩阵A m×n恒有A m×n＋O m×n＝A m×n。如果一个矩阵的主对角各元素aii＝1，其余各元素均为零，则称这个矩阵为单位矩阵，记为I。可表示为

m阶单位矩阵记为I m。对于任意矩阵A m×n，恒有A m×n·I n＝A m×n，I m·A m×n＝A m×n。

（1）矩阵的加法运算。设两个矩阵A和B都是m行n列矩阵，把它们对应位置的元素相加而得到的矩阵称为A、B的和，记为A＋B，即

（2）数乘矩阵。用数k乘以矩阵A的每一个元素而得到的矩阵称之为k与A之积，记为k A。

（3）矩阵的乘法运算。设矩阵A＝（aij）2×3，矩阵B＝（bij）3×2，则这两个矩阵的乘积A×B可表示为

注意：任意两个矩阵只有在前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时才可以相乘，即

A m×n·B n×p＝C m×p

（4）逆矩阵。对于矩阵A，若存在A·A－1＝A－1·A＝I，则称A－1为A的逆矩阵。设A是一个n阶矩阵，如果有n阶矩阵B存在，且使得A·B＝B·A＝I，如果A是一个非奇异矩阵，则称B是A的逆矩阵，否则A是一个奇异矩阵。由于A、B处于对称地位，故当A是非奇异矩阵时，其逆矩阵B也为非奇异矩阵，而且A也是B的逆矩阵，即A、B互为逆矩阵。

（5）转置矩阵。把矩阵A＝（aij）m×n的行、列互换而得到的一个n×m的矩阵，称为A的转置矩阵，记为A T。即

转置矩阵具有如下基本性质：

①（A T）T＝A；②（A＋B）T＝A T＋B T；③（αA）T＝αA T；④（A·B）T＝B T·A T；⑤当A是一个n阶矩阵且A＝A T时，则A是一个对称矩阵。

（6）矩阵运算的基本性质。

①矩阵加法适合交换律与结合律：A＋B＝B＋A；A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C。

②数乘矩阵适合分配律与结合律：α（A＋B）＝αA＋αB；（α＋β）A＝αA＋βA；α（A·B）＝（αA）·B＝A·（αB）；α（βA）＝（αβ）A。

③矩阵的乘法适合结合律：A（B·C）＝（A·B）C。

④矩阵的乘法对加法适合分配律：（A＋B）C＝AC＋BC；C（A＋B）＝CA＋CB。

⑤矩阵的乘法不适合交换律：一般情况下，A·B不等于B·A，因为相乘时，如果A、B不为方阵且A·B成立，则B和A不可相乘。即使A、B均为方阵，在一般情况下，AB和BA仍然不相等。如：

2.1.2 坐标系统

1）坐标系

（1）世界坐标系。世界坐标系（world coordinate system，WCS）又称用户坐标系，用于描述现实世界的整体布局，即何种类型的对象存在于我们所描述的世界之中及其如何定位。用来定义物体形状、大小和位置。

（2）建模坐标系。建模坐标系（modeling coordinate system，MCS）用于描述世界坐标系中每个具体物体的形状，每个物体均由其本身的建模坐标系定义。当物体的空间位置发生变化时，由建模坐标系定义的物体上的各点的坐标值不变。建模坐标系与世界坐标系是局部与整体的关系。

（3）设备坐标系。设备坐标系（device coordinate system，DCS）是指具体设备本身的坐标系，通常是一个二维的平面直角坐标系，个别的是三维坐标系。其坐标轴的基本量度单位是显示器的像素或绘图仪的步长，因此设备坐标系的定义域是整数域，而且由于绘图仪有图幅的输出范围，显示器也有分辨率的限制，故设备坐标系是有界的。对于相同的图形信息，由于坐标系的原点位置、x和y坐标轴方向及图形显示窗口的不同，在不同显示设备上显示出的图形是不一样的。

（4）规格化设备坐标系。工程图样在最终通过图形输出设备时，会受到输出设备本身物理参数的限制，所以为了避免由于设备坐标系与设备的相关性而影响应用程序的可移植性，在从世界坐标系到设备坐标系的转换中，应采用规格化设备坐标系（normalized device coordinate system，NDCS）。规格化设备坐标系一般是与设备无关的图形系统，通常取无量纲的单位长度作为规格化坐标系中的图形有效空间。

（5）观察坐标系。观察坐标系（viewing coordinate system，VCS）是一个定义在世界坐标系中任何方向，任何地点的左手三维直角辅助坐标系，其原点与视心重合。用户可以根据图形观察和显示的要求自由设定其位置和方向，以便获得所期望的观察视图。

2）坐标变换

在交互式计算机图形系统中，用户利用各种图形输入设备进行交互式绘图的基本步骤如下：在局部建模坐标系中建立形体的几何模型；将单个形体进行组装，形成世界坐标系中的全局模型；确定观察点的位置，建立观察坐标系；确定图形的显示范围，即选择形体对象的可见区域；确定图形显示设备上的观察区域，显示形体对象的可见部分。

在上述交互式绘图过程中主要涉及坐标系之间的转换，其变换过程如下：

首先，通过定义世界坐标系和建模坐标系之间相对移动和旋转的变换矩阵，将建模坐标系下的坐标值变换为世界坐标系下的坐标数据，该变换称为建模变换。其次，通过用世界坐标系和观察坐标系间的变换矩阵，将图形的世界坐标变换为观察坐标，该变换称为观察变换。然后通过投影变换将观察坐标变换为规格化设备坐标，即投影变换。最后，由设备驱动程序将规格化设备坐标转换成设备坐标，以将图形显示在特定的图形设备上。具体的坐标变换过程如图2-1所示。

图2-1　坐标系之间的坐标变换过程

不同的坐标系之间通过变换矩阵建立联系。例如，每个建模坐标系的位置和方位可通过变换矩阵，由世界坐标系确定，同样，观察坐标系也可通过世界坐标系定义的一系列数据，由与世界坐标系相关的变换矩阵确定。