筏形基础和箱形基础

4　柱下条形基础、筏形基础和箱形基础

4.1　概述

柱下条形基础、筏形基础和箱形基础统称为连续基础。连续基础具有一些共同的优点：①一般具有较大的基础底面积，能承担较大的建筑物荷载，易于满足地基承载力的要求；②其连续性有效地增强了建筑物的整体刚度，有利于减小不均匀沉降，同时提高了建筑物的抗震性能；③箱形基础以及设置了地下室的筏形基础，在有效提高地基承载力的同时还能以挖去的土重补偿建筑物的部分(或全部)自重。

这些基础一般被看成地基上的受弯构件，其挠曲特征、基底反力和截面内力分布都与地基、基础以及上部结构的相对刚度特征有关(前面已经详细阐述)，故本章从介绍弹性地基上梁的力学模型及其分析入手，再分类介绍柱下条形基础、筏形基础和箱形基础的构造要求和简化计算方法。

4.2　弹性地基上梁的分析

进行地基上受弯构件分析时，必须解决基底压力分布和地基沉降计算问题，即地基应力与应变。描述地基应力与应变的关系已经有不少模型，如文克勒地基模型、弹性半空间地基模型、有限压缩层地基模型等。虽然每一模型都尽可能地模拟地基与基础相互作用时表现的主要力学特性，并尽量简便，但或多或少都存在一定的局限性。在众多模型中，文克勒模型最为简单，本节将详细介绍文克勒地基上梁的计算。

4.2.1　文克勒地基上无限长梁解答

在进行弹性地基上梁的分析时，不论基于何种模型假设，也不论采用何种数学方法，都应满足以下两个基本条件：①计算前后基础底面与地基不出现脱开现象，即地基与基础之间的变形协调条件；②基础在外荷载和基底反力的作用下必须满足静力平衡。根据这两个基本条件可以组列解答问题所需的方程式，然后结合必要的边界条件求解。

1) 微分方程式

1867年，文克勒(Winkler)提出了土体表面任一点的压力强度p与该点的沉降s成正比的假设。即

p=k·s

(4-1)

式中：k——基床系数(kN/m3)。

图4-1表示外荷作用下文克勒地基上等截面梁在位于梁主平面内的挠曲曲线及梁的微单元。梁底反力为p(kPa)，梁宽为b(m)，梁底反力沿长度方向的分布为bp(kN/m)，梁和地基的竖向位移为ω，取微段梁dx(图4-1(b))，其上作用分布荷载q和梁底反力bp及相邻截面作用的弯矩M和剪力V，根据梁元素上竖向力的静力平衡条件可得：

图4-1　文克勒地基上梁的计算图示

(4-2)

又V=dM/dx，故上式可写成：

(4-3)

根据挠曲线方程EI(d2ω/dx2)=-M，连续对x取两次导数后，将式(4-3)代入可得：

(4-4)

引入文克勒假设，p=ks，并按接触条件，即梁全长的地基沉降应与梁的挠度相等，s=ω，从而可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程式为：

(4-5)

2) 微分方程通解

为了对式(4-5)求解，先考虑梁上无荷载部分，即q=0，并令，则式(4-5)可写为：

(4-6)

上式为常系数线性齐次方程，式中λ称为弹性地基梁的弹性特征，λ的量纲为(长度-1)，它的倒数1/λ称为特征长度。显然，特征长度1/λ越大梁相对越刚，因此，λ值是影响挠曲线形状的一个重要因素。该式的通解是：

ω=eλx(C1cosλx+C2sinλx)+e-λx(C3cosλx+C4sinλx)

(4-7)

根据dω/dx=θ，-EI(d2ω/dx2)=M，-EI(d3ω/dx3)=V，由式(4-7)可得梁的角变位θ、弯矩M和剪力V。式中待定的积分常数C1、C2、C3和C4的数值，在挠曲线及其各阶导数是连续的梁段中是不变的，可由荷载情况及边界条件确定。

3) 集中荷载作用下的解答

(1) 竖向集中力作用下

图4-2(a)为无限长梁受集中力F0作用，假定F0的作用点为坐标原点O，梁两侧对称，其边界条件为：

① 当x→∞时，ω=0。

② 当x=0时，因荷载和地基反力关于原点对称，故该点挠曲线的斜率为零，即dω/dx=0。

③ 当x=0时，在O点处紧靠F0的右边，则作用于梁右半部截面上的剪力应等于地基总反力之半，并指向下方，即V=-EId3ω/dx3=-F0/2。

图4-2　文克勒地基上无限长梁的挠度和内力

由边界条件①得：C1=C2=0。则对梁的右半部有：

ω=e-λx(C3cosλx+C4sinλx)

(4-8)

由边界条件②得：C3=C4=C，再根据边界条件③，可得C=F0λ/2kb

(4-9)

再对式(4-9)分别求导，可得梁的截面转角θ=dω/dx、弯矩M=-EI(d2ω/dx2)、剪力V=-EI(d3ω/dx3)和基底反力p=kω。若令K=kb为集中基床系数，则：

(4-10)

(4-11)

(4-12)

(4-13)

(4-14)

其中

Ax=e-λx(cosλx+sinλx)

(4-15)

Bx=e-λxsinλx

(4-16)

Cx=e-λx(cosλx-sinλx)

(4-17)

Dx=e-λxcosλx

(4-18)

Ax、Bx、Cx和Dx均为λx的函数，其值可由λx计算或从相关设计手册中查取。而对于集中力作用点左半部分，根据对称条件，应用上式，x取距离的绝对值，梁的挠度ω、弯矩M及基底反力p计算结果与梁的右半部分相同，即公式不变，但梁的转角θ与剪力V则取相反的符号。可绘出ω、θ、M、V随λx的变化情况，如图4-2(a)所示。

由式(4-10)可知，当x=0时，ω=F0λ/2K；当x=2π/λ时，ω=0.00187F0λ/2K。即梁的挠度随x的增加迅速衰减，在x=2π/λ处的挠度仅为x=0处挠度的0.187%，在x=π/λ处的挠度仅为x=0处挠度的4.3%，故当集中荷载的作用点离梁的两端距离x>π/λ时，可近似按无限长梁计算，实用中将弹性地基梁分为以下三种类型，有限长梁将在后续节中讨论：

① 无限长梁：荷载作用点与梁两端的距离都大于π/λ。

② 半无限长梁：荷载作用点与梁一端的距离小于π/λ，与另一端距离大于π/λ。

③ 有限长梁：荷载作用点与梁两端的距离都小于π/λ，梁的长度大于π/(4λ)。当梁的长度小于π/(4λ)时，梁的挠曲很小，可以忽略，称为刚性梁。

(2) 集中力偶作用下

图4-2(b)为无限长梁受一个顺时针方向的集中力偶M0作用，仍取集中力偶作用点为坐标原点O，式(4-9)中的积分常数可由以下边界条件确定：

① 当x→∞时，ω=0。

② 当x=0时，ω=0。

③ 当x=0时，在O点处紧靠M0作用点的右侧，则作用于梁右半部截面上的弯矩为M0/2，即M=-EI(d2ω/dx2)=M0/2。

同理，根据上述边界条件可得C1=C2=C3=0，C4=M0λ2/K

(4-19)

(4-20)

(4-21)

(4-22)

(4-23)

其中系数Ax、Bx、Cx和Dx与式(4-15)～式(4-18)相同。

对于集中力偶作用点的左半部分，根据反对称条件，x取绝对值，梁的转角θ与剪力V计算结果与梁的右半部分相同，但对梁的挠度ω、弯矩M及基底反力p则取相反的符号。ω、θ、M、V随λx的变化情况如图4-2(b)所示。

4.2.2　文克勒地基上半无限长梁解答

1) 集中力作用下

如果一半无限长梁的一端受集中力F0作用(图4-3(a))，另一端延至无穷远时，仍取坐标原点为F0的作用点，则边界条件为：

图4-3　半无限长梁

(1) 当x→∞时，ω=0。

(2) 当x=0时，M=-EI(d2ω/dx2)=0。

(3) 当x=0时，V=-EI(d3ω/dx3)=-F0。

由此可导得C1=C2=C4=0，C3=2F0/K。

将以上结果代入式(4-9)，则梁的挠度ω、转角θ、弯矩M和剪力V为：

(4-24)

(4-25)

(4-26)

V=-F0Cx

(4-27)

2) 力偶作用下

当一半无限长梁的一端受集中力偶M0作用(图4-3(b))，另一端延伸至无穷远时，则边界条件为：

(1) 当x→∞时，ω=0。

(2) 当x=0时，M=-EI(d2ω/dx2)=M0。

(3) 当x=0时，V=0。

同理可得式(4-9)中的积分常数为：C1=C2=0，C3=-C4=-2M0λ2/K。故此时梁的挠度ω、转角θ、弯矩M和剪力V的表达式为：

(4-28)

(4-29)

M=M0Ax

(4-30)

V=-2M0λBx

(4-31)

4.2.3　文克勒地基上有限长梁解答

在工程实践中，地基上的梁大多无法满足无限长的要求，只能看成有限长。对于有限长梁，荷载对梁两端的影响尚未消失，即梁端的挠曲或位移不能忽略不计。对于有限长梁，确定积分常数的常用方法是“初始参数法”，这里介绍一种以无限长梁的计算公式为基础的叠加法，利用叠加原理求得满足有限长梁两端边界条件的解答，从而避开了直接确定积分常数的繁琐，其原理如下。

图4-4　有限长梁内力、位移计算

图4-4中有一根长为l的弹性地基梁(梁Ⅰ)上作用有任意的已知荷载，其端点A、B均为自由端，若将A、B两端向外无限延长形成无限长梁(梁Ⅱ)，则该无限长梁在已知荷载作用下在相应于A、B两截面有弯矩Ma、Mb以及剪力Va、Vb，这与实际梁Ⅰ的A、B两端是自由界面，不存在任何内力不相符。为了利用无限长梁Ⅱ计算公式，需设法消除发生在梁Ⅱ中A、B两截面的弯矩和剪力，以满足梁Ⅰ的边界条件，可在梁Ⅱ的A、B两点外侧分别加上一对集中荷载MA、PA和MB、PB，使梁Ⅱ在A、B两截面中所产生的弯矩和剪力分别等于-Ma、-Va及-Mb、-Va(梁Ⅲ)，根据前面所得无限长梁的结果，可得以下方程组：

(4-32a)

(4-32b)

(4-32c)

(4-32d)

解上列方程组得：

(4-33)

式中：

Al=e-λl(cosλl+sinλl)，Bl=e-λlsinλl，Cl=e-λl(cosλl-sinλl)，Dl=e-λlcosλl

原来梁Ⅰ延伸为无限长梁Ⅱ之后，其A、B两截面处的连续性是靠内力Ma、Va和Mb、Vb来维持的，而附加荷载MA、PA和MB、PB的作用则正好抵消了这两对内力。其效果相当于把梁Ⅱ在A和B处切断而成为梁Ⅰ。由于MA、PA和MB、PB是为了在梁Ⅱ上实现梁Ⅰ的边界条件所必需的附加荷载，所以叫做梁端边界条件力。

现将有限长梁Ⅰ上任意点x的ω、θ、M和V的计算步骤归纳如下：

(1)以叠加法计算已知荷载在梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ两端的A和B截面引起的弯矩和剪力Ma、Va、Mb、Vb。

(2)按式(4-33)计算梁端边界条件力MA、PA和MB、PB。

(3)再按叠加法计算在已知荷载和边界条件力的共同作用下，梁Ⅱ上相应于梁Ⅰ的x点处的ω、θ、M和V值。

另外，当有限长梁的长度满足l≤4π/l时，梁的相对刚度很大，荷载作用下其挠曲很小，可以忽略不计，称为短梁或刚性梁。这类梁发生位移时，是平面移动，一般假设基底反力按直线分布，可按静力平衡条件求得。其截面弯矩及剪力也可由静力平衡条件求得。

【例4-1】　请推导图4-5所示的外伸半无限长梁在集中力F作用下，力作用点的挠度。

图4-5　外伸半无限长梁示意图

【解】　如图4-5所示，外伸半无限长梁Ⅰ可看成图中无限长梁Ⅱ以叠加法求解，即在PA、MA和荷载F0的共同作用下，梁Ⅱ的A点的弯矩和剪力为零，根据式(4-12)、式(4-13)列方程如下：

解方程组得：

O点的挠度根据式(4-10)、式(4-19)为：

若令

Zx=1+e-2λx(1+2cos2λx-2cosλxsinλx)

(4-34)

则

(4-35)

根据式(4-34)可知，当x=0时(半无限长梁)，Zx=4；当x→∞(无限长梁)时，Zx=1。

4.3　柱下条形基础

4.3.1　构造要求

柱下条形基础除了需满足扩展基础的一般构造要求外，还需满足下述规定：

(1) 柱下条形基础梁的高度宜为柱距的1/4～1/8。翼板厚度不应小于200mm。当翼板厚度大于250mm时，宜采用变厚度翼板，其顶面坡度宜小于或等于1∶3。

图4-6　现浇柱与条形基础梁交接处平面尺寸

(2) 条形基础的端部宜向外伸出，其长度宜为第一跨距的0.25倍。

(3) 现浇柱与条形基础梁的交接处，基础梁的平面尺寸应大于柱的平面尺寸，且柱的边缘至基础梁边缘的距离不得小于50mm(图4-6)。

(4)条形基础梁顶部和底部的纵向受力钢筋除应满足计算要求外，顶部钢筋应按计算配筋全部贯通，底部通长钢筋不应少于底部受力钢筋截面总面积的1/3。

(5) 柱下条形基础的混凝土强度等级不应低于C20。

4.3.2　一般设计

1) 基础底面尺寸

根据扩展基础构造的一般要求和条形基础构造的特殊要求，先确定条形基础的长度l，再将基础视为刚性矩形基础，按地基承载力特征值确定基础底面宽度b。在确定基础长度时，应尽量使其形心与基础所受外力合力重心相重合，使地基反力均匀分布，如图4-7(a)所示，基础宽度可按式(3-5)确定。若基础底面形心与基础所受外力合力重心不能重合，基础受偏心受荷，如图4-7(b)所示，则基底反力沿长度方向呈梯形分布，基础宽度除满足式(3-5)外，还应按式(3-10)～(3-12)进行验算。

图4-7　简化计算法的基底反力分布

2) 翼板的计算

柱下条形基础翼板的计算方法与墙下钢筋混凝土条形基础相同。在计算基底净反力设计值时，荷载沿纵向和横向的偏心情况都要予以考虑。当各跨的净反力相差较大时，可依次对各跨底板进行计算，净反力可取本跨内的最大值。

翼板可视为悬臂于肋梁两侧的悬臂板进行设计，其剪力仍可按式(3-21)中剪力计算方法计算，然后按斜截面的抗剪能力确定翼板厚度；其弯矩可按式(3-27)计算，并确定条形基础翼板内的横向配筋。

3) 基础梁纵向内力分析

(1)简化计算方法

根据上部结构刚度的大小，简化计算法可分为静定分析法(静定梁法)和倒梁法两种。这两种方法均假设基底反力为直线(平面)分布。为满足这一假定，要求条形基础具有足够的相对刚度。当柱距相差不大时，通常要求基础上的平均柱距lm应满足下列条件：

(4-36)

式中：1/λ——文克勒地基上梁的特征长度，。

对一般柱距及中等压缩性的地基，按上述条件进行分析，条形基础的高度应不小于平均柱距的1/6。

① 静定分析法

图4-8　静定分析法计算简图

静定分析法适用于上部结构刚度很小(如单层排架结构)而基础刚度相对较大的情况。计算时假定基底反力呈线性分布，求出基底净反力，然后将柱荷载直接作用于基础梁上，这样就可以在基础梁上所有作用力均已知的情况下，根据静力平衡条件计算出任一截面的弯矩和剪力，进而进行地基梁的配筋。

该法由于忽略了基础与上部结构的相互作用，即未考虑上部结构刚度的有利影响，荷载作用下基础梁将产生整体弯曲，计算所得结果与其他方法相比不利截面上的弯矩绝对值一般偏大很多。

② 倒梁法

倒梁法假定上部结构绝对刚性，各柱之间没有差异沉降，因而可把柱脚视为条形基础的铰支座，支座间不存在相对竖向位移，基础的挠曲变形不致改变地基反力，将基础梁按倒置的连续梁计算(可采用弯矩分配法或弯矩系数法)。此时，基底净反力(pjb，kN/m)呈线性分布，且除柱的竖向集中力外各种荷载作用(包括柱传来的力矩)均为已知，如图4-9所示。

图4-9　用倒梁法计算地基梁简图

应该指出，该计算模型仅考虑了柱间基础的局部弯曲，而忽略了基础全长发生的整体弯曲，因而所得的柱位处截面的正弯矩与柱间最大负弯矩绝对值比其他方法计算结果均衡，所以基础不利截面的弯矩较小。另外，用倒梁法求得的支座反力一般不等于原柱作用的竖向荷载，可理解为上部结构的整体刚度对基础整体弯曲的抑制作用，使柱荷载分布均匀化。实际上，如荷载和地基土层分布比较均匀，基础将发生正向弯曲，对于多层多跨框架结构下的条形基础，靠近基础中间的一些柱将发生较大的竖向位移，而边柱位移偏小。由于上部结构的协同工作，各柱的竖向位移趋于均匀，即中柱位移减小，边柱位移增大，从而导致边柱所受的实际荷载增大，中柱所受的实际荷载减小。

倒梁法求得的支座反力不等于原柱作用的竖向荷载，实践中常采用所谓“基底反力局部调整法”进行修正，即将支座处的不平衡力均匀分布在本支座两侧各1/3跨度范围内求解梁的内力，该内力与前面求得的内力进行叠加，如此反复多次，直到支座反力接近柱荷载为止。

考虑到按倒梁法计算时基础及上部结构的刚度都较好，由于存在上述分析的架越作用，基础两端部的基底反力会比按直线分布的反力有所增加。所以，两边跨的跨中和柱下截面受力钢筋宜在计算钢筋面积的基础上适当增加，一般可增加15%～20%。由于计算模型不能较全面地反映基础的实际受力情况，设计时不仅允许而且应该做些调整。

综上所述，在比较均匀的地基上，上部结构刚度较好，荷载分布和柱距较均匀(如相差不超过20%)，且条形基础梁的高度不小于1/6柱距时，基底反力可按直线分布，基础梁的内力可按倒梁法计算。

当条形基础的相对刚度较大时，由于基础的架越作用，其两端边跨的基底反力会有所增大，故两边跨的跨中弯矩及第一内支座的弯矩值宜乘以1.2的增大系数。需要指出的是，当荷载较大、土的压缩性较高或基础埋深较浅时，随着端部基底下塑性区的开展，架越作用将减弱、消失，甚至出现基底反力从端部向内转移的现象。

肋梁的配筋计算与一般的钢筋混凝土T形截面梁相仿，即对跨中按T形、对支座按矩形截面计算。当柱荷载对单向条形基础有扭力作用时，应作抗扭计算。

需要特别指出的是，静定分析法和倒梁法实际上代表了两种极端情况，且有诸多前提条件。因此，在对条形基础进行截面设计时，切不可拘泥于计算结果，而应结合实际情况和设计经验，在配筋时作某些必要的调整。

(2)弹性地基梁法

当无法满足简化计算法条件时，需按弹性地基梁法计算基础内力。根据地基条件的复杂程度，一般可分为下列三种情况：

① 对基础宽度不小于可压缩土层厚度两倍的薄压缩层地基，如地基的压缩性均匀，则可按文克勒地基上梁的解析解计算。

② 当基础宽度满足情况①的要求，但地基沿基础纵向的压缩性不均匀时，可沿纵向将地基划分成若干段(每段内的地基较为均匀)，每段分别计算基床系数，然后按文克勒地基上梁的数值分析法计算。

③ 当基础宽度不满足情况①的要求，或应考虑邻近基础或地面堆载对所计算基础的沉降和内力的影响时，宜采用非文克勒地基上梁的数值分析法进行迭代计算。

图4-10　例4-2示意图

【例4-2】　如图4-10所示柱下条形基础，已选取基础埋深1.5m，修正后的地基承载力特征值为130kPa，图中所示的荷载为设计值，标准值可近似取设计值的0.74倍。地基比较均匀，上部结构的刚度较大。试确定基础底面尺寸，并计算基础梁的内力。

【解】　由于地基比较均匀，上部结构的刚度较大，跨度相差不足20%，故可按倒梁法计算。

(1) 确定基础底面尺寸

设基础端部外伸长度为边跨跨距的0.2倍，即1.0m，则基础总长度l=2×(1+5)+6=18m，于是基底宽度为：

(2) 内力分析

拟以弯矩分配法计算肋梁弯矩，先求等效倒梁计算条件。

沿基础纵向的地基净反力为：

=289kN/m

边跨固端弯矩为：

×289×52=602kN·m

中跨固端弯矩为：

×289×62=867kN·m

A截面(左边)伸出端弯矩为：

×289×12=144kN·m

图4-11　计算简图

(3) 剪力计算

计算简图如图4-11所示。

A截面左边(上标l)的剪力为：

=bpjl0=289×1.0=289kN

取OB段作脱离体，计算A截面的支座反力：

A截面右边(上标r)的剪力为：

=bpjl0-RA=289×1-869.68=-580.68kN

B截面左边(上标l)的剪力为：

=bpj(l0+l1)-RA=289×6-869.68=864.32kN

取BC段作脱离体，计算B截面的支座反力：

=864.32+867=1731.32kN

按跨中剪力为零的条件来求跨中最大负弯矩：

OB段：

bpjx-RA=289x-869.68=0

所以　×289×32-869.68×2=-438.86kN·m

BC段为对称，最大负弯矩在中间截面：

×289×62+853.6=-446.9kN·m

由以上计算结果可作出条形基础的弯矩图和剪力图如图4-12和图4-13所示。

图4-12　弯矩图

图4-13　剪力图

【例4-3】　若按静定分析法重新分析例4-2，内力又如何？

【解】　计算支座处剪力：

=bpjl0=289×1=289kN

-F1=289-800=-511kN

=bpj(l0+l1)-F1=289×6-800=934kN

-F2=934-1800=-866kN

计算截面弯矩：

×289×1=144kN·m

按剪力y=0的条件，确定边跨跨中最大负弯矩的截面位置(至条形基础左端点的距离为x)：

于是：

×289×2.772-800×1.77=-307.3kN·m

×289×(1+5)2-800×5=1202kN·m

中跨最大负弯矩在跨中央：

×289×92-800×8-1800×3=-95.5kN·m

由计算结果可知，对于上部结构刚度大、地基均匀的基础采用倒梁法和静定法求得的内力差别还是比较大的，此时静定法无法求到正确的解。

4.3.3　柱下十字交叉梁基础的计算

柱下十字交叉条形基础是由纵横两个方向的柱下条形基础所组成的一种空间结构，各柱位于两个方向基础梁的交叉结点处。这种基础，一方面可以进一步扩大基础底面积，另一方面可以利用其巨大的空间刚度以调整不均匀沉降。这种基础适用于软弱地基上柱距较小的框架结构，其构造要求与柱下条形基础类似。

在初步选择交叉条形基础的底面积时，可假设地基反力为直线分布。如果所有荷载的合力对基底形心的偏心很小，则可认为基底反力是均布的，由此可求出基础底面的总面积，然后具体选择纵、横向各条形基础的长度和底面宽度。

要对交叉条形基础的内力进行比较仔细的分析是相当复杂的，目前常用的方法是简化计算法。

当上部结构具有很大的整体刚度时，可以像分析条形基础时那样，将交叉条形基础作为倒置的2组连续梁来对待，并以地基的净反力作为连续梁上的荷载。如果地基较软弱而均匀，基础刚度又较大，那么可以认为地基反力是直线分布的。

如果上部结构的刚度较小，则常采用比较简单的方法，把交叉结点处的柱荷载分配到纵横两个方向的基础梁上，待柱荷载分配后，把交叉条形基础分离为若干单独的柱下条形基础，并按照上节方法进行分析和设计。

确定交叉结点处柱荷载的分配值时，无论采用什么方法，都必须满足以下两个条件：

1) 静力平衡条件

各结点分配在纵、横基础梁上的荷载之和，应等于作用在该结点上的总荷载，即：

Fi=Fix+Fiy

(4-37)

式中：Fi——i节点上的竖向柱荷载(kN)；

Fix——x方向基础梁在i节点承受的竖向荷载(kN)；

Fiy——y方向基础梁在i节点承受的竖向荷载(kN)。

2) 变形协调条件

纵、横基础梁在交叉结点处的位移应相等。

ωix=ωiy

(4-38)

式中：ωix——x方向在i节点处的竖向位移；

ωiy——y方向在i节点处的竖向位移。

为了简化计算，设交叉结点处纵、横梁之间为铰接。当一个方向的基础梁有转角时，另一个方向的基础梁内不产生扭矩。结点上两个方向的弯矩分别由同向的基础梁承担，一个方向的弯矩不致引起另一个方向基础梁的变形。这就忽略了纵、横基础梁的扭转。为了防止这种简化计算使工程出现问题，在构造上，基础梁柱位的四周都必须配置封闭型的抗扭箍筋(用φ10～φ12)，并适当增加基础梁的纵向配筋量。

图4-14　十字交叉条形基础示意图

如采用文克勒地基上梁的分析方法来计算ωix和ωiy，并忽略相邻荷载的影响，则结点荷载的分配计算就可大为简化。交叉条形基础的交叉结点类型可分为角柱、边柱和内柱三类。下面给出结点荷载的分配计算公式。

图4-15　角柱结点

(1) 角柱结点

图4-15(a)所示为最常见的角柱结点，即x、y方向基础梁均可视为外伸半无限长梁，外伸长度分别为x、y，故结点i的竖向位移可按式(4-35)求得：

(4-39a)

(4-39b)

式中：bx、by——分别为x、y方向基础的底面宽度；

λx、λy——分别为x、y方向基础梁的柔度特征值；

k——地基的基床系数；

E——基础材料的弹性模量；

Ix、Iy——分别为x、y方向基础梁的截面惯性矩。

Zx(或Zy)是λx(或λy)的函数，可查表4-1或按式(4-34)计算，即：

Zx=1+e-2λx(1+2cos2λx-2cosλxsinλx)

(4-40)

根据变形协调条件ωix=ωiy，令，有：

将静力平衡条件Fi=Fix+Fiy代入上式，可解得：

(4-41a)

(4-41b)

以上两式即为所求的交叉结点柱荷载分配公式。

对图4-15(b)，y=0，Zy=4，分配公式成为：

(4-41c)

(4-41d)

对无外伸的角柱结点，图4-15(b)所示，Zx=Zy=4，分配公式为：

(4-41e)

(4-41f)

(2) 边柱结点

对图4-16(a)所示的边柱结点，y方向梁为无限长梁，即y=∞，Zy=1，故得：

(4-42a)

(4-42b)

对图4-16(b)，Zx=1，Zy=4，从而：

(4-42c)

(4-42d)

图4-16　边柱结点

图4-17　内柱结点

(3) 内柱结点

对内柱结点，如图4-17所示，Zx=Zy=1，故得：

(4-43a)

(4-43b)

表4-1　Zx函数表

当交叉条形基础按纵、横向条形基础分别计算时，结点下的底板面积其实被使用了两次(纵横向重叠部分)。若各结点下重叠面积之和占基础总面积的比例较大，则设计可能偏于不安全。为此，可通过加大结点荷载的方法加以平衡。调整后的结点竖向荷载为：

(4-44a)

(4-44b)

式中：pj——按交叉条形基础计算的基底净反力；

ΔFix、ΔFiy——分别为i结点在x、y方向的荷载增量；

ΔAi——i结点下的重叠面积，按下述结点类型计算：

第Ⅰ类型，如图4-15(a)、4-16(a)、4-17所示：ΔAi=bxby；

第Ⅱ类型，如图4-15(b)、4-16(b)所示，此时横向梁只伸到纵向梁宽度的一半处，故重叠面积只取交叉面积的一半：bxby；

第Ⅲ类型，如图4-15(c)所示：ΔAi=0。

4.4　筏形基础与箱形基础

对于高层建筑，由于上部结构荷载过大，采用柱下交梁基础已不能满足地基承载力要求，或虽能满足承载力要求，但无法满足基础刚度时，可考虑采用筏形基础或箱形基础。

筏形基础又称筏板基础、片筏基础或满堂红基础，按结构组成可分为平板式和肋梁式，如图4-18所示。

图4-18　筏形基础示意图

箱形基础在筏形基础上增加了顶板、内墙、外墙等组成元素，形成了一种空间整体结构，如图4-19所示。

图4-19　箱形基础组成示意图

筏形基础与箱形基础设计计算包括地基计算、内力分析、强度计算以及构造要求等方面。在确定筏形基础和箱形基础的平面尺寸时，应根据地基土的承载力、上部结构的布置及荷载分布等因素确定。平面布置时，应尽量使筏形基础底面形心与结构竖向永久荷载合力作用点重合。若偏心距较大，可通过调整筏板基础外伸悬挑长度的办法进行调整。不同的边缘部位，采用不同的悬挑长度，尽量使其偏心效应最小。对单幢建筑物，当地基土比较均匀时，在荷载效应准永久组合下，偏心距e宜符合下式要求：

e≤0.1W/A

(4-45)

式中：W——与偏心距方向一致的基础底面边缘抵抗矩(m3)；

A——基础底面面积(m2)。

基础底面压力除应符合式(3-5)和(3-10)的要求外，对于非抗震设防的高层建筑筏形和箱形基础，还要求基础底面边缘的最小压力标准值pkmin必须大于等于零。

对于抗震设防的建筑，还需考虑地震效应组合后的基底压应力平均值和基底边缘最大压力值pk及pkmax，满足以下两式：

pk≤faE

(4-46)

pkmax≤1.2faE

(4-47)

式中：faE——经修正、调整后的地基抗震承载力，faE=ζafa(kPa)；

ζa——地基土抗震承载力调整系数，应用时，按现行《建筑抗震设计规范》中的有关规定采用。

当基础底面地震效应组合的边缘最小压力出现零应力时，零应力区的面积不应超过基础底面面积的15%。对宽高比大于4的高层建筑，则不宜出现零应力区。

高层建筑筏基和箱基的埋深一般都较大，有的甚至设置了3～4层地下室，因此在计算地基最终沉降量时，应将地基的回弹再压缩变形考虑在内。

4.4.1　筏形基础

1) 构造要求

通常筏形基础的底板边缘应伸出边柱和角柱外侧包线以外，伸出长度一般不大于伸出方向边跨跨度的1/4。对肋梁不外伸的悬挑板，为减少板内弯矩，挑出长度不宜超过1.5～2.0m。当悬挑板做成坡状时，其边缘最小厚度不宜小于200mm。

一般多层建筑物的筏形基础，底板厚度不宜小于200mm，梁板式筏形基础底板不应小于300mm，同时，不小于最大柱网跨度或支撑跨度的1/20，亦可每层楼按50mm考虑，对12层以上建筑物的梁板式筏基，底板厚度与最大双向板格的短边净跨之比不应小于1/14，且板厚不应小于400mm，底板的厚度还应满足抗弯、抗冲切、抗剪切等强度要求。

对平板式柱下筏形基础，刚度较大、基底反力按直线分布计算时，其配筋可按无梁楼盖计算，板的下部钢筋可按柱上板带的正弯矩计算配置，上部钢筋可按跨中板带的负弯矩计算配置。为保证板、柱之间能够有效地传递弯矩，使筏板在地震效应下处于弹性状态，保证能够在柱根部实现预期的塑性铰，达到“强柱弱梁”的目的，柱下板带中，柱宽及其两侧各0.5倍板厚且不大于1/4板跨的有效宽度范围内，其配筋量不应小于柱下板带钢筋数量的一半，且应能承受通过弯曲传递来的不平衡弯矩αmMunb(αm为不平衡弯矩通过弯曲来传递的分配系数，αm=1-αs，αs见式(4-48)，Munb为作用在冲切临界截面重心上的不平衡弯矩)。平板式筏形基础柱下板带和跨中板带的底部钢筋应有1/2～1/3贯通全跨，且配筋率不应小于0.15%；顶部钢筋应按计算配筋全部连通。

(4-48)

对有抗震设防要求的无地下室或单层地下室平板式筏基，计算柱下板带受弯承载力时，柱内力应按地震作用不利组合计算。当筏板厚度大于2000mm时，宜在板厚中间部位设置直径不小于12mm、间距不大于300mm的双向钢筋网。当地基土比较均匀，上部结构刚度较好，梁板式筏基梁的高跨比或平板式筏基的厚跨比不小于1/6，且相邻柱荷载及柱间距的变化不超过20%时，筏形基础可仅考虑局部弯曲作用，筏基内力可按基底反力直线分布计算。计算时，基底反力应扣除底板及其上回填土的自重。当不满足上述要求时，应按弹性地基梁板进行分析计算。有抗震设防要求时，对无地下室且抗震等级为一、二级的框架结构，基础梁除应满足抗震构造要求外，计算时尚应将柱下端组合的弯矩设计值分别乘以1.5和1.25的增大系数。

对设有较密内墙的墙下筏形基础，宜采用等厚的钢筋混凝土平板，若地基比较均匀，上部结构刚度较好且地基土压缩模量Es≤4MPa时，可按支撑在墙体上的单向或双向连续板计算配筋。考虑到基础的架越作用，端部第一、二开间内配筋应比计算值增加10%～20%，板内上、下均匀配置；所有筏形基础受力钢筋的最小直径一般不小于12mm，间距常为100～200mm；当板厚h≤250mm时分布钢筋可采用φ8@250，当板厚h>250mm时分布钢筋可采用φ10@200。配筋满足计算要求的同时，纵横向支座尚应分别有0.15%和0.10%的钢筋连通，且跨中钢筋应全部连通。

当采用梁板式筏形基础时，梁的高度可按前节柱下交梁基础的要求选取，梁板式筏基的基础梁除满足正截面抗弯及斜截面抗剪承载力要求外，尚应按现行《混凝土结构设计规范》有关规定验算底层柱下基础梁顶面的受压承载力。按基底反力直线分布计算的梁板式筏基的内力可按连续梁分析，由于基础的架越作用引起的端部反力的增加效应可通过对边跨跨中以及第一内支座的弯矩值乘以1.2的放大系数来考虑。

梁板式筏形基础的底板和基础梁的配筋除应满足计算要求外，纵、横向底部尚应有1/2～1/3贯通全跨，且配筋率不应小于0.15%，顶部钢筋按计算全部连通。对肋梁不外伸的双向外伸悬挑板，边缘部位最好切角，如图4-20所示，并在板底配置辐射状、直径与边跨的受力钢筋相同、内锚长度大于外伸长度且大于混凝土受拉锚固长度的附加钢筋，其外端的最大间距不大于200mm。

图4-20　双向外伸板切角及辐射状钢筋示意图

筏形基础的混凝土强度等级不应低于C30，且应满足耐久性的要求。在设计使用年限为50年的条件下，严寒地区混凝土的最大水灰比应不超过0.55，最大氯离子含量应不超过水泥用量的0.2%；寒冷地区混凝土的最大水灰比应小于0.60，最大氯离子含量应小于水泥用量的0.3%。无论是寒冷地区还是严寒地区，其最大碱含量均不应超过3.0kg/m3。

当有地下室时，应采用防水混凝土，其抗渗等级应根据地下水的最大水头与防渗混凝土厚度的比值按现行《地下工程防水技术规范》选用，但不应小于0.6MPa，必要时，宜设架空排水层。

采用筏形基础的地下室，钢筋混凝土外墙厚度不应小于250mm，内墙不应小于200mm，墙的截面设计除满足承载力要求外，尚应考虑变形、抗裂及防渗等要求。墙体内应设置双面钢筋网，钢筋不宜采用光面圆钢筋，竖向钢筋的直径不应小于10mm，水平钢筋的直径不应小于12mm，间距不应大于200mm。筏板与地下室外墙的接缝及地下室外墙沿高度处的水平接缝应严格按施工缝的要求施工，必要时可设通长止水带。

高层建筑很多情况下都设有地下室及裙房，地下室底层柱或剪力墙与梁板式筏基的基础梁连接时，柱、墙边缘至基础梁边缘的距离不应小于50mm，当交叉基础梁的宽度小于柱截面边长时，交叉基础梁连接处应设置八字角，角柱与八字角之间的净距不宜小于50mm，单向基础梁与柱的连接以及基础梁与剪力墙间的连接要求见图4-21。

图4-21　地下室底层柱或剪力墙与基础梁连接的构造要求

2) 内力计算

筏形基础内力分析比较复杂，工程实践中，通常采用简化方法近似进行筏形基础内力计算，即假定基础是绝对刚性，基底反力呈线性分布，并按静力学方法计算基底反力。

如果上部结构和基础刚度足够大，这种假设是合理的，因此可采用前述柱下板带、柱上板带及单向、双向多跨连续板的计算方法；若柱网布置比较均匀，相邻柱荷载相差不大，可沿轴向、柱列向分别将基础底板划分成若干个计算板带，以相邻柱间的中心线作为板带间的界线，各自按独立的条形基础计算内力，忽略板带间切应力的影响，计算方法可大为简化；对柱下肋梁式筏板基础，如果框架柱网在两个方向的尺寸比小于2，且柱网内无小基础梁时，可将筏形基础视为一倒置的楼盖，以地基净反力作为外荷载，筏板按双向多跨连续板、肋梁按多跨连续梁计算内力；若柱网内有小基础梁，把底板分割成长短边比大于2的矩形格板时，底板可按单向板计算，主、次肋仍按连续梁计算，即所谓“倒楼盖”法。否则，应按弹性地基上的梁板进行内力分析。

(1) 倒楼盖法

如前所述，倒楼盖法是将筏形基础视为一放置在地基上的楼盖，柱或墙视为该楼盖的支座，地基净反力为作用在该楼盖上的外荷载，按混凝土结构中的单向或双向梁板的肋梁楼盖方法进行内力计算。在基础工程中，对框架结构中的筏形基础，常将纵、横方向的梁设置成相等的截面高度和宽度，在节点处，由于纵、横方向的基础梁交叉，柱的竖向荷载需要在纵、横方向分配，具体分配方法详见4.3.3节。求得柱荷载在纵、横两个方向的分配值，肋梁就可分别按两个方向上的条形基础计算了。

(2) 弹性地基上板的简化计算

如果柱网及荷载分布都比较均匀(变化不超过20%)，当筏形基础的柱距小于1.75λ(λ为基础梁的柔度指数)或筏形基础上支撑着刚性的上部结构(如上部结构为剪力墙)时，其内力及基底反力可按前述倒楼盖法计算；否则，筏基的刚度较弱，属于柔性基础，应按弹性地基上的梁板进行分析。若此时柱网及荷载分布仍比较均匀，可将筏形基础划分成相互垂直的条状板带，板带宽度即为相邻柱中心线间的距离，按前述文克勒弹性地基梁的办法计算。若柱距相差过大，荷载分布不均匀，则应按弹性地基上的板理论进行内力分析。

3) 结构验算

待分析完筏形基础内力后，还需对基础梁板的弯、剪及冲切承载力进行验算，并满足构造要求。

(1) 梁板式筏形基础

梁板式筏基除需计算正截面受弯承载力外，其厚度尚应满足受冲切承载力、受剪切承载力的要求。梁板式筏基底板受冲切承载力应按下式进行计算：

F1≤0.7βhpftumh0

(4-49)

式中：F l——作用的基本组合时，图4-22中阴影部分面积上的基底平均净反力设计值(kN)；

um——距基础梁边h0/2处冲切临界截面的周长(m)，如图4-22所示。

当底板区格为矩形双向板时，底板受冲切所需的厚度h0应按式(4-50)进行计算，其底板厚度与最大双向板格的短边净跨之比不应小于1/14，且板厚不应小于400mm。

(4-50)

式中：ln1、ln2——计算板格的短边和长边的净长度(m)；

pn——扣除底板及其上填土自重后，相应于作用的基本组合时的基底平均净反力设计值(kPa)。

梁板式筏基双向底板斜截面受剪承载力应按下式进行计算：

Vs≤0.7βhsft(ln2-2h0)h0

(4-51)

式中：Vs——距梁边缘h0处，作用在图4-23中阴影部分面积上的基底平均净反力产生的剪力设计值(kN)。

当底板板格为单向板时，其斜截面受剪承载力按式(3-21)验算，其底板厚度不应小于400mm。

图4-22　底板的冲切计算示意图

图4-23　底板剪切计算示意图

【例4-4】　某16层高层建筑的梁板式筏基底板，如图4-24所示，采用C35级混凝土，ft=1.57N/mm2，筏基底面处相应于荷载效应基本组合的地基上，平均净反力设计值p=320kPa。设as=60mm，请确定筏板厚度，并对筏板作剪切和冲切承载力验算。

图4-24　例4-4示意图

【解】　(1) 确定板厚

① 当底板区格为矩形双向板时，底板受冲切所需的厚度h0按式(4-50)计算，计算板格的短边净长度ln1=4.5m，计算板格长边的净长度ln2=6.0m。

先假定板厚小于800mm，则βhp=1.0，代入式(4-50)中：

h=h0+as=308+60=368mm

② 而对12层以上建筑的梁板式筏基，其底板厚度与最大双向板格的短边净跨之比不应小于1/14，且板厚不应小于400mm。×4500=321mm，故可确定板厚为450mm，满足要求。

(2) 对筏基作斜截面受剪切承载力验算

① 平行于梁JL4的剪切面上(一侧)的最大剪力设计值Vs的计算，先算A l。

Al=2ab-a2=2×1.86×2.61-1.862=6.2496m2

或

剪力设计值

Vs=pjAl=320×6.2496=1999.87kN

② 抗剪承载力计算：h=450mm<800mm，取βhs=1.0，根据式(4-51)进行验算。

0.7βhsft(ln2-2h0)h0=0.7×1.0×1.57×(6-2×0.39)×0.39×106=2237kN

③ 因0.7βhsft(ln2-2h0)h0=2237kN>Vs=1999.87kN，故抗剪承载力满足要求。

(3) 对筏基作受冲剪承载力验算

① 作用在冲切角上的最大冲切力Fl的计算

根据《建筑地基基础设计规范》8.4.5条规定，ln1=4.5m，ln2=6.0m

pj=320kPa，h0=h-as=450-60=390mm

A1=(ln1-2h0)(ln2-h0)=(4.5-2×0.39)×(6.0-2×0.39)=19.42mm2

冲切力设计值：Fl=pjA1=320×19.42=6214kN

② 抗冲切承载力的计算

h=450mm<800mm，取βhp=1.0

um=2(ln1-h0+ln2-h0)=2×(4.5-0.39+6.0-0.39)=19.44m

根据式(4-49)，0.7βhpftumh0=0.7×1.0×1.57×19440×390=8332.2kN

③ 因0.7βhpftumh0=8332.2kN>Fl=6214kN，故冲切承载力满足要求。

(2) 平板式筏形基础

高层建筑平板式筏形基础的板厚按受冲切承载力的要求计算时，应考虑作用在冲切临界截面重心上的不平衡弯矩产生的附加剪力。距柱边ln1、ln2处冲切临界截面的最大切应力τmax应按式(4-52)计算，且应满足式(4-53)要求，板的最小厚度不应小于500mm。

τmax=Fl/umh0+αsMunbcAB/Is

(4-52)

τmax≤0.7(0.4+1.2/βs)βhpft

(4-53)

式中：F l——相应于作用的基本组合时的冲切力(kN)，对内柱取轴力设计值减去筏板冲切破坏锥体内的地基反力设计值，对边柱和角柱取轴力设计值减去筏板冲切临界截面范围内的基底反力设计值，地基反力值应扣除底板的自重；

βs——柱截面长边与短边的比值，当βs<2时取βs=2，当βs>4时取βs=4；

Munb——作用在冲切临界截面重心上的不平衡弯矩设计值，按下式计算，如图4-25所示。

Munb=NeN-PeP±Mc

(4-54)

图4-25　边柱Munb计算示意图

N——柱根部柱轴力设计值(kN)；

Mc——柱根部弯矩设计值(kN·m)；

P——冲切临界截面范围内基底反力设计值(kN)；

eN——柱根部轴向力N到冲切临界截面重心的距离(m)；

eP——冲切临界截面范围内基底反力设计值之和对冲切临界截面重心的偏心距(m)，对内柱，由于对称的缘故，eN=eP=0，所以，Munb=M；

αs——不平衡弯矩通过冲切临界截面上的偏心剪力来传递的分配系数，按式(4-55)计算：

(4-55)

c1——与弯矩作用方向一致的冲切临界截面的边长(m)；

c2——垂直于c1的冲切临界截面边长(m)；

h0——筏板的有效高度(m)；

um——距柱边h0/2处冲切临界截面的周长(m)；

cAB——沿弯矩作用方向，冲切临界截面重心至冲切临界截面最大剪切点的距离(m)；

Is——冲切临界截面对其重心的极惯性矩(m4)。

冲切临界截面的周长um以及冲切临界截面对其重心的极惯性矩Is等，应根据柱所处位置的不同分别进行计算：

① 内柱应按下式计算，如图4-26所示：

图4-26　内柱冲切临界截面示意图

um=2c1+2c2

c1=hc+h0，　c2=bc+h0，　cAB=c1/2

式中：hc——与弯矩作用方向一致的柱截面边长(m)；

bc——垂直于hc的柱截面边长(m)。

② 边柱应按下式计算，如图4-27所示：

图4-27　边柱冲切临界截面示意图

um=2c1+c2

式中：冲切临界截面重心位置(m)。

③ 角柱按下式计算，如图4-28所示：

图4-28　角柱冲切临界截面示意图

um=c1+c2

当柱荷载较大，等厚度筏板的抗冲切承载力不能满足要求时，可在筏板上面增设柱墩或在筏板下局部增加板厚或采用抗冲切箍筋来提高抗冲切承载能力。

高层建筑在楼梯、电梯间大都设有内筒，采用平板式筏基时，内筒下的板厚也应满足抗冲切承载力的要求，其抗冲切承载力按下式计算，如图4-29所示：

Fl/umh0≤0.7βhpft/η

(4-56)

式中：F l——相应于作用的基本组合时，内筒所承受的轴力设计值减去内筒下筏板冲切破坏锥体内的基底净反力设计值(kN)；

um——距内筒外表面h0/2处冲切临界截面的周长(m)(图4-29)；

h0——距内筒外表面h0/2处筏板的截面有效高度(m)；

η——内筒冲切临界截面周长影响系数，取1.25。

图4-29　筏板受内筒冲切的临界截面位置示意图

当需要考虑内筒根部弯矩的影响时，距内筒外表面h0/2处冲切临界截面的最大剪应力可按公式(4-52)计算，此时τmax≤0.7βhpft/η。

平板式筏板基础除满足受冲切承载力外，尚需验算距内筒边缘或柱边缘h0处的筏板受剪承载力。受剪承载力可按式(4-57)验算，当筏板的厚度大于2000mm时，宜在板厚中间部位设置直径不小于12mm、间距不大于300mm的双向钢筋网。

Vs≤0.7βhsftbwh0

(4-57)

式中：Vs——相应于作用的基本组合时，基底净反力平均值产生的距内筒或柱边缘h0处筏板单位宽度的剪力设计值(kN)；

bw——筏板计算截面单位宽度(m)；

h0——距内筒或柱边缘h0处筏板的截面有效高度(m)。

【例4-5】　某安全等级为二级的高层建筑采用混凝土框架-核心筒结构体系，筒体平面尺寸为hc×bc=11.6m×11.2m，如图4-30所示。基础采用平板式筏基，板厚1.4m，计算时取h0=1.35m。筏基的混凝土强度等级为C30(ft=1.43N/mm2)。传至基础的荷载效应由永久荷载控制，荷载标准组合的地基净反力为240kPa(已扣除筏基自重)。按荷载效应标准组合的内筒轴力为Nk=78000kN，不考虑内筒根部弯矩的影响。求：筒体下板厚的受冲切承载力验算。

图4-30　基础示意图

【解】　(1) 冲切临界面的边长

(2) 冲切临界面周长um=2(c1+c2)=2×(12.95+12.55)=51m

(3) 相应于荷载效应基本组合时的集中力F l为：

=40898.52kN

(4) Fl/umh0=44025.93/(51×1.35)=594kPa

(5) 0.7βhpft/η=0.7×0.95×1.43×103/1.25=760.76kPa

(6) 0.7βhpft/η=760.76kPa>Fl/umh0=594kPa，受冲切承载力满足要求。

图4-31　例4-6示意图

【例4-6】　某高层框-剪结构底层内柱，其横截面为600mm×1650mm，柱的混凝土强度等级为C60，按荷载效应标准组合的柱轴力15000kN，弯矩为210kN·m，柱网尺寸为7m×9.45m，采用平板式筏形基础，筏板厚度为1.2m，柱下局部板厚为1.8m。筏板变厚度处台阶的边长分别为2.4m和4m。荷载标准组合地基净反力238kPa，筏板混凝土强度等级为C30(ft=1.43N/mm2)，保护层厚度取60mm。试验算筏板的受冲切承载力。

【解】　(1) 验算柱下受冲切筏板厚度

与弯矩作用方向一致的冲切临界截面的边长c1为：

c1=hc+h0=1.65+1.74=3.39m

垂直于c1的冲切临界截面的边长c2为：

c2=bc+h0=0.6+1.74=2.34m

冲切临界截面的周长um为：

um=2(c1+c2)=2×(3.39+2.34)=11.46m

内柱冲切临界截面的惯性矩Is为：

=37.67m4

沿弯矩作用方向，冲切临界截面重心至冲切临界截面最大剪应力点的距离cAB为：

相应于荷载效应基本组合时的集中力F l为：

=13525kN

作用在冲切临界截面重心上的不平衡弯矩设计值Munb为：

Munb=1.35Mck=1.35×210=283.5kN·m

不平衡弯矩通过冲切临界截面上的偏心剪力传递的分配系数αs为：

冲切临界截面上最大剪应力τmax为：

柱截面长边与短边的比值βhp为：

受冲切混凝土剪应力设计值τc为：

=767.7kPa>τmax=684kPa

(2) 计算筏板变厚处的冲切临界截面的最大剪应力

由于柱根弯矩值很小，当忽略其影响时：

h0=1.2-0.06=1.14m，b=4.0m，l=2.4m

um=2(b+h0+l+h0)=2×(4+1.14+2.4+1.14)=17.36m

==10807kN

满足要求。

4.4.2　箱形基础

1) 构造要求

箱形基础的高度应满足结构强度、刚度和使用要求，其值不宜小于长度的1/20，并不宜小于3m。箱形基础的埋置深度应满足抗倾覆和抗滑移的要求，在抗震设防地区，其埋深不宜小于建筑物高度的1/15，同时，基础高度要适合做地下室的使用要求，净高不应小于2.2m(箱基高度指箱基底板底面到顶板顶面的外包尺寸)。

箱形基础的外墙应沿建筑物四周布置，内墙宜按上部结构柱网尺寸和剪力墙位置纵、横交叉布置；一般每平方米基础面积上墙体长度不小于400mm或墙体水平截面总面积不宜小于箱形基础外墙外包尺寸的水平投影面积的1/10(不包括底板悬挑部分面积)，对基础平面长宽比大于4的箱基，其纵墙水平截面积不得小于外墙外包尺寸的水平投影面积的1/18。计算墙体水平截面积时不扣除洞口部分。

箱基的墙体厚度应根据实际受力情况确定，外墙不应小于250mm，常用250～400mm；内墙不宜小于200mm，常用200～300mm。墙体一般采用双向、双层配筋，无论竖向、横向其配筋均不宜小于φ10@200。除上部结构为剪力墙外，箱形基础墙顶部均宜配置两根以上不小于φ20的通长构造钢筋。

箱形基础中尽量少开洞口，必须开设洞口时，门洞应设在柱间居中位置，洞边至柱中心的距离不宜小于1.2m，洞口上过梁的高度不宜小于层高的1/5，洞口面积不宜大于柱距与箱形基础全高乘积的1/6，墙体洞口周围按计算设置加强钢筋。洞口四周附加钢筋面积应不小于洞口内被切断钢筋面积的一半，且不少于两根直径为16mm的钢筋，此钢筋应从洞口边缘处延长40倍钢筋直径。

箱基顶、底板及墙身的厚度应根据受力、整体刚度及防水要求确定。一般底板厚度不应小于300mm，顶、底板厚度应满足受剪承载力和冲切承载力要求。

底层柱主筋应伸入箱形基础一定深度，三面或四面与箱形基础墙相连的内柱，除四角钢筋直通基底外，其余钢筋伸入顶板底面以下的长度不小于其直径的35倍，外柱、与剪力墙相连的柱、其他内柱主筋应直通到板底。

另外，上部结构的嵌固部位可取箱基的顶部(单层地下室)或地下一层、顶部(多层地下室)等的规定，以及顶板除满足正截面受弯承载力和斜截面受剪承载力的要求外，顶板厚度的构造要求详见《高层建筑箱形与筏形基础技术规范》。

2) 地基反力计算

箱形基础的底面尺寸应按持力层土体承载力计算确定，并应进行软弱下卧层承载力验算，同时还应满足地基变形要求。验算时，除了符合筏形基础土体承载力要求外，还应满足pkmin≥0(pkmin为荷载效应标准组合时基底边缘的最小压力值)。计算地基变形时，仍采用前述的线性变形体条件下的分层总和法。

实际工程中，箱形基础的基底反力分布受诸多因素影响，如土的性质、上部结构的刚度、基础刚度、形状、埋深、相邻荷载等，若要精确分析将十分困难。

我国于20世纪70～80年代在北京、上海等地进行的典型工程实测资料表明：一般的软黏土地基上，纵向基底反力分布呈马鞍形(如图4-32)，反力最大值距基底端部约为基础长边的1/8～1/9，反力最大值约为平均值的1.06～1.34倍；一般第四纪黏土地基纵向基底反力分布呈抛物线形，基底反力最大值为平均值的1.25～1.37倍。在大量实测资料的统计结果上，我国《高层建筑箱形基础设计与施工规程》中规定了基底反力的实用计算法，即把基础底面的纵向分成8个区格，横向分成5个区格，总计40个区格，对于方形基底面积，则纵向、横向均分为8个区格，总计64个区格。不同的区格采用表4-2、表4-3所示不同的基底平均反力的倍数。这两表适用于上部结构与荷载比较均匀的框架结构，地基土比较均匀，底板悬挑部分不超过0.8m，不考虑相邻建筑物影响及满足各项构造要求的单幢建筑物的箱形基础。当纵横方向荷载不很均匀时，应分别求出由于荷载偏心引起的不均匀的地基反力，将该地基反力与按反力系数表求得的反力叠加，此时偏心所引起的基底反力可按直线分布考虑。对于上部结构刚度及荷载不对称、地基土层分布不均匀等不符合基底反力系数法计算的情况，应采用其他有效的方法进行基底反力的计算。

图4-32　箱形基础实测基底反力分布图

表4-2　黏土地基反力系数表

续表4-2

注：表中l、b分别为包括悬挑部分在内的箱形基础底板的长度和宽度。

表4-3　软土地区地基反力系数表

3) 箱形基础内力分析

在上部结构荷载和基底反力共同作用下，箱形基础其实是一个复杂的空间多次超静定体系，将同时产生整体弯曲和局部弯曲。

(1) 若上部结构为剪力墙体系，箱基墙体与上部结构的剪力墙直接相连，可认为箱基的抗弯刚度为无穷大，此时顶、底板犹如一支撑在不动支座上的受弯构件，仅产生局部弯曲，而不产生整体弯曲，故只需计算顶、底板的局部弯曲效应。顶板按实际荷载(包括板自重)普通楼盖计算；底板按均布的基底净反力(计入箱基自重后扣除底板自重所余的反力)倒楼盖计算。底板一般均设计成双向肋梁板或双向平板，根据板边界实际支撑条件按弹性理论的双向板计算。需注意的是，考虑到整体弯曲的影响，配置钢筋时除符合计算要求外，纵、横向支座尚应分别有0.15%和0.10%的钢筋连通配置，跨中钢筋全部连通。

图4-33　框架结构示意图

(2) 当上部结构为框架体系时，上部结构刚度较弱，基础的整体弯曲效应增大，箱形基础内力分析应同时考虑整体弯曲与局部弯曲的共同作用。整体弯曲计算时，为简化起见，工程上常将箱形基础当作一空心截面梁，按照截面面积、截面惯性矩不变的原则，将其等效成工字形截面，以一个阶梯形变化的基底反力和上部结构传下来的集中力作为外荷载，用静定分析或其他有效的方法计算任一截面的弯矩和剪力，其基底反力值可按前述基底反力系数法确定。由于上部结构共同工作，上部结构刚度对基础的受力有一定的调整、分担，基础的实际弯矩值要比计算值小。因此，应将计算的弯矩值按上部结构刚度的大小进行调整。

1953年，梅耶霍夫(Meyerhof)首次提出了框架结构等效抗弯刚度的计算式，后经修正，列入我国《高层建筑箱形基础设计与施工规程》中。对于图4-33所示的框架结构，等效抗弯刚度的计算公式为：

(4-58)

式中：MF——考虑上部结构共同作用时箱形基础的整体弯矩(折减后)(kN·m)；

M——不考虑上部结构共同作用时箱形基础的整体弯矩(kN·m)；

EF——箱形基础混凝土的弹性模量(kPa)；

IF——箱形基础按工字形截面计算的惯性矩(m4)，工字形截面的上、下翼缘宽度分别为箱形基础顶、底板的全宽，腹板厚度为在弯曲方向墙体厚度的总和；

EBIB——上部结构总折算刚度，按式(4-59)计算：

(4-59)

式中：Eb——梁、柱混凝土弹性模量(kPa)；

Kui、Kli、Kbi——第i层上柱、下柱和梁的线刚度，其值分别为Iui/hui、Ili/hli、Ibi/l；

Iui、Ili、Ibi——第i层上柱、下柱和梁的惯性矩(m4)；

hui、hli——第i层上柱、下柱的高度(m)；

L、l——上部结构弯曲方向的总长度和柱距(m)；

Ibi——第i层梁的截面惯性矩(m4)；

Ew——在弯曲方向与箱形基础相连的连续钢筋混凝土墙的弹性模量(kPa)；

Iw——在弯曲方向与箱形基础相连的连续钢筋混凝土墙的截面惯性矩(m4)，其值为Iw=th3/12，其中t、h为弯曲方向与箱形基础相连的连续钢筋混凝土墙体的厚度总和与高度(m)；

m——在弯曲方向的节间数。

在整体弯曲作用下，箱基的顶、底板可看成是工字形截面的上、下翼缘。靠翼缘的拉、压形成的力矩与荷载效应相抗衡，其拉力或压力等于箱基所承受的整体弯矩除以箱基的高度。由于箱基的顶、底板多为双层、双向配筋，所以按混凝土结构中的拉、压构件计算出顶板或底板整体弯曲时所需的钢筋用量应除以2，均匀地配置在顶板或底板的上层和下层，即可满足整体受弯的要求。

在局部弯曲作用下，顶、底板犹如一个支撑在箱基内墙上，承受横向力的双向或单向多跨连续板，顶板在实际使用荷载及自重，底板在基底压力扣除底板自重后的均布荷载(地基净反力)作用下，按弹性理论的双向或单向多跨连续板可求出局部弯曲作用时的弯矩值。由于整体弯曲的影响，局部弯曲时计算的弯矩值乘以0.8的折减系数后再用其计算顶、底板的配筋量。算出的配筋量与前述整体弯曲配筋量叠加，即得顶、底板的最终配筋量。配置时，应综合考虑承受整体弯曲和局部弯曲钢筋的位置，以充分发挥钢筋的作用。

4) 基础结构强度计算

箱形基础的底板厚度应根据实际受力情况、整体刚度及防水要求确定，并不应小于300mm。底板除了满足正截面的抗弯要求外，还需要满足抗剪及抗冲切要求，对于底板在剪力作用下，斜截面受剪承载力应符合下列要求：

Vs≤0.7fcbh0

(4-60)

式中：Vs——扣除底板自重后基底净反力产生的板支座边缘处总的剪力设计值(kN)；

b——支座至边缘处板的净宽(m)；

fc——混凝土轴心抗压强度设计值(103kN/m2)；

h0——底板的有效高度(m)。

图4-34　箱形基础挑出部位示意图

箱形基础底板应满足受冲切承载的要求。当底板区格为矩形双向板时，底板的截面有效高度应符合式(4-50)。与高层建筑相连的门厅等低矮单元基础，可采用从箱形基础挑出的基础梁方案(如图4-34)。挑出长度不宜大于0.15倍箱基宽度，并应考虑挑梁对箱基产生的偏心荷载的影响。挑出部分下面应填充一定厚度的松散材料，或采取其他能保证挑梁自由下沉的措施。

箱形基础的内、外墙，除与剪力墙连接者外，由柱根传给各片墙的竖向剪力设计值，可按相交于该柱下各片墙的刚度进行分配。墙身的受剪截面应符合下式要求：

Vw≤0.25fcAw

(4-61)

式中:Vw——由柱根轴力传给各片墙的竖向剪力设计值(kN)；

fc——混凝土轴心受压强度设计值(103kN/m2)；

Aw——墙身竖向有效截面面积(m2)。

箱形基础纵墙墙身截面的剪力计算时，一般可将箱形基础当做一根在外荷和基底反力共同作用下的静定梁，用力学方法求得各截面的总剪力Vj后，按下式将其分配至各道纵墙上：

(4-62)

式中：——第i道纵墙j支座所分得的剪力值，将该剪力值分配至支座的左右截面后得：

(4-63)

Vij——在第i道纵墙j支座处截面左右处的剪力设计值(kN)；

bi——第i纵墙宽度(m)；

∑bi——各道纵墙宽度总和(m)；

Nij——第i道纵墙j支座处柱竖向荷载设计值(kN)；

∑Nij——横向同一柱列中各柱的竖向荷载设计值之和(kN)；

A1、A2——求Vij时的底板局部面积(m2)，按图4-35中阴影部分面积计算。

图4-35　底板局部面积示意图(纵向)

图4-36　底板局部面积示意图(横向)

横墙截面剪力设计值Vij为图4-36中阴影部分面积与p的乘积。

底层柱与箱形基础交接处，柱边与墙边或柱角和八字角之间的净距不宜小于50mm，并应验算底层柱下墙体的局部受压承载力。当不能满足时，应增加墙体的承压面积或采取其他有效措施。

4.4.3　地下室设计时应考虑的几个问题

1) 地基基础的补偿性设计概念

在软弱地基上建造采用浅基础的高层建筑时，常常会遇到地基承载力或地基沉降不满足要求的情况。采用补偿性基础设计是解决这一问题的有效途径之一。

如果把建筑物的基础或地下部分做成中空、封闭的形式，那么被挖去的土重就可以用来补偿上部结构的部分甚至全部重量。这样，即使地基极其软弱，地基的稳定性和沉降也都很容易得到保证。

按照上述原理进行的地基基础设计，可称为补偿性基础设计，这样的基础，称为补偿性基础。当基底实际平均压力p(已扣除水的浮力)等于基底平面处土的自重应力σc时，称全补偿性基础；小于σc时，称超补偿基础；大于σc时为欠补偿基础。箱形基础和具有地下室的筏形基础是常见的补偿性基础类型。

虽然补偿性基础设计使得基底附加压力p0大为减小，由p0产生的地基沉降自然也大大减小甚至可以不予考虑，但基础仍然存在沉降问题，因为在深基坑开挖过程中所产生的坑底回弹及随后修筑基础和上部结构的再加荷可能引起显著的沉降。可以说，任何补偿性基础都不免有一定的沉降发生。

坑底的回弹是在开挖过程中连续、迅速发生的，因而无法完全避免，但如能减少应力的解除量，亦即减少膨胀，则再加荷时的随后沉降将显著减小，因为减小应力的解除，再压缩曲线的滞后程度也将相应减小，如图4-37所示。

为了尽量减少应力的解除，可以设法用建筑物的重量不断地替换被挖除的土体重量，以保持地基内的应力状态不变。

图4-37　土的膨胀与再压缩曲线

在第一阶段，基坑只开挖到预定总深度的一半左右，这样可以减少坑底回弹，同时也有利于坑底土体的稳定。为了进一步减少应力解除，还可以在基坑内布置深井进行抽水，以便大幅度降低地下水位，使地基中的有效自重压力增加。

第二阶段的开挖，采用重量逐步置换法。即按照箱基隔墙的位置逐个开挖基槽，到达基底标高后，在槽内浇筑钢筋混凝土隔墙，让墙体的重量及时代替挖除的土重。接着建造一部分上部结构，然后依次挖去墙间的土并浇捣底板，形成封闭空格后立即充水加压。

基坑开挖时还需注意避免长时间浸水，开挖后应及时修建基础，因为应力的解除会导致土中黏土颗粒表面的结合水膜增厚，使土体体积膨胀、坑底隆起，结果将加剧基础的沉降。

2) 地下室的抗浮设计

上述有关筏形基础和箱形基础的计算都是针对建筑物使用阶段进行的。在施工阶段，在地下室底板(箱基底板或筏板)完工后，上部结构底下几层完工前这一期间，如果出现地下水位高出底板底标高很多的情况，则应对地下室的抗浮稳定性和底板强度进行验算。

(1) 地下室的抗浮稳定性验算

地下室的整体抗浮稳定性可按式(3-20)计算。此外，还需考虑自重Gk与浮力Fw作用点是否基本重合。如果偏心过大，可能会出现地下室一侧上抬的情况。

当无法满足式(3-21)要求时，可以采用如下措施以提高地下室的抗浮稳定性：①加快上部结构的施工，增大建筑上部的结构自重；②在箱格内充水、在地下室底板上堆砂石等重物或在顶板上覆土，作为平衡浮力的临时措施；③将底板沿地下室外墙向外延伸，利用其上的填土压力来平衡浮力；④在底板下设置抗拔桩或抗拔锚杆，当基坑周围有支护桩(墙)时，可将其作为抗拔桩来加以利用。

(2) 底板强度验算

地下室在施工期间，须确保其底板在地下水浮力作用下具有足够的强度和刚度，并满足抗裂要求。地下室底板(特指筏基)在使用期间通常是按倒楼盖法进行内力分析的。但在施工期间，由于上部结构尚未建造，或上部结构已建造但其刚度尚未形成，故底板的内力计算不能按倒楼盖法进行，应结合具体情况选择合适的计算简图。如果底板的截面尺寸过大或配筋过多，可考虑在底板下设置抗拔锚杆或抗拔桩以改变底板的受力状态。

(3) 后浇带的设置

地下室一般均属于大体积钢筋混凝土结构。为避免大体积混凝土因收缩而开裂，当地下室长度超过40m时，宜设置贯通顶、底板和内外墙的后浇施工缝，缝宽不宜小于800mm。在该缝处，钢筋必须贯通。

为减少高层建筑主楼与裙房间的差异沉降，施工时通常在裙房一侧设置后浇带，后浇带的位置宜设在距主楼边柱的第二跨内。后浇带混凝土宜根据实测沉降值并在计算后期沉降差能满足设计要求后方可进行浇筑。后浇带的处理方法与施工缝相同。施工缝与后浇带的防水处理要与整片基础同时做好，并要采取必要的保护措施，以防止施工时损坏。

思考题与习题

1.十字交叉梁基础，某中柱节点承受荷载P=2300kN，一个方向基础宽度bx=1.5m，抗弯刚度EIx=750MPa·m4，另一个方向基础宽度by=1.2m，抗弯刚度EIy=500MPa·m4，基床系数k=4.6MN/m3。试计算两个方向分别承受的荷载Px、Py。

2.某场地均质黏土地基，其孔隙比e=0.86，土的重度γ=18kN/m3，在如图4-38所示的框架结构中拟修建柱下筏形基础，按正常使用极限状态下的荷载效应标准组合时，传至各柱室内地面(±0.00)标高的荷载如图所示，室外算起的基础埋深d=1.80m，室外标高-0.30m，地基土承载力特征值fak=120kPa。试设计该基础(图中柱荷载单位为kN，柱采用C50现浇混凝土，截面尺寸为600mm×600mm)。

图4-38　习题2图

3.某隧道底面宽度为38m，有A、B两段地基土性各有不同。A段为粉质黏土，软塑，厚度为3m，Es=4.5MPa，其下为基岩；B段为黏土，硬塑，厚度为15m，Es=17MPa，其下也为基岩。请计算A、B段地基基床系数。

4.粉质黏土地基上的柱下条形基础，按荷载效应基本组合各柱传递到基础上的轴力设计值如图4-39所示，基础梁底宽b=2.5m，高h=1.2m，地基修正后的承载力特征值fa=130kPa。试用倒梁法求基底反力分布与基础梁内力。

图4-39　习题4图

5.十字交叉梁基础，柱节点承受荷载P=1900kN，一个方向基础的宽度bx=1.5m，抗弯刚度EIx=780MPa·m4，另一个方向基础的宽度by=1.2m，抗弯刚度EIy=500MPa·m4，基床系数k=4.5MN/m3。试计算两个方向分别承受的荷载Px、Py。