放射线展开法

二、放射线展开法

放射线法适用于立体表面的素线相交于一点的锥体，如圆锥、椭圆锥、棱锥等表面的展开。

放射线法的展开原理是将立体的表面由锥顶作出一系列放射线，将锥面分成一系列小的三角形，每一小三角形作为一个平面，将所有小三角形依次展开，画在同一平面上，即得所求的展开图。

用放射线法做展开图的大体步骤如下:

①画出主视图及底断面图。

②将断面图圆周分成若干等分(棱锥取角点)，由等分点或角点向主视图底边引垂线，再由垂足向锥顶引素线，将锥体分割成若干小三角形。

③求各素线的实长。

④将所有小三角形的实际大小，依次展开并画在平面上，即得所求展开图。

［例1］平口圆锥台的展开。

平口圆锥台是无顶锥的圆锥，上下口平行且垂直于锥管的轴线，主视图的投影为等腰梯形(图3－37)。其展开方法如下。

用已知尺寸画出主视图和底断面半圆周。以A点为圆心，分别以AE、AD为半径画同心圆弧，在以AD为半径的圆弧上截取D'D″等于底断面圆周长度，以直线连结A、D'和A、D″，与以AE为半径所画的弧交于E'E″，则扇形E″D″D'E'即为平口圆锥台的展开图。

［例2］圆锥台下部斜切后的展开。

圆锥台下部斜切，可以想象为由一只具有锥顶的正圆锥被上部正平面和下部斜平面截割后形成。其展开过程是先作平口圆锥台的展开，然后作出被截割下部的展开图，则剩下部分即为所求的展开图。求圆锥斜切后展开图的主要问题在于求实长线，即求圆锥斜切后锥面上各素线的实长。不论是圆锥上部斜切还是下部斜切，均可用画纬线法求出斜切后各条素线的实长，便可以作出展开图。

图3－37　平口圆锥台展开图

图3－38　圆锥台下部斜切的展开

作图步骤如下(图3－38):

①用已知尺寸画出主视图，O4'为轴线。在轴线延长线上，以1—1为直径画辅助断面，6等分断面半圆周，等分点为1、2、…、7。由等分点向上引垂线与1—1相交，由交点向O点引素线并向下延长，交下部截切线于1'、2'、3'、…、7'。过各点向右引水平线(纬线)与B7'相交。

②展开图画法。以O点为圆心，O1为半径画圆弧，在其上截取7—7'等于辅助断面圆周长，并对应画出各等分点，通过各点向O连放射线并延长;以O点为圆心，以O到B7'线上各点距离为半径，画同心圆弧与放射线对应相交，各交点连成7″—1″—7″光滑曲线，即为所求圆锥台下部斜切后的展开图。

图3－39　正四棱锥台的展开

［例3］正四棱锥台的展开。

正四棱锥台由锥面组合而成，如图3－39所示。它的主视图母线1'A'和3'C'反映实长，其俯视图为四个等腰梯形所组成的正方形，同时反映锥台上下口的实形。由于四个侧面均倾斜于基本投影面，因此，各面在主、俯视图中均不反映实形，可用放射线法作展开。

作图步骤如下:

①用已知尺寸画出主视图和俯视图。

②展开图画法。以O点为圆心，OA'为半径画圆弧，在圆弧上以俯视图a边为半径，依次截取4等分，得A、B、C、D、A点，并与O连结;然后仍以O点为圆心，O1'为半径画圆弧，得1、2、3、4、5点，以直线连结各点，即得正四棱锥台展开图。

［例4］截头圆锥管与大圆管斜交的展开。

截头圆锥管与大圆管斜交的展开可采用放射线法。

作图步骤见图3－40:

①用已知尺寸画出主视图和左视图的主要轮廓线。

图3－40　截头圆锥管与大圆管斜交的展开图

②在主视图AB线上画断面图，并4等分半圆周，等分点为1、2、3、4、5，由等分点做AB线段的垂线与AB相交，过交点向O连素线并向下延长。

③由AB各点向右引水平线，交左视图轴线各点，由轴线交点左、右对称截取主视图断面等分点至AB的距离，得出各点并成椭圆曲线，完成左视图。由椭圆各点向锥顶O'点引素线并向下延长，交大圆管断面于3'、4'、2'、1'(5')各点。由圆管断面交点向左引水平线，与主视图圆锥管各素线对应相交，连成5″—3″—1″曲线，完成主视图。

④圆锥管展开。过相贯线上各点做O—3轴线的垂线，交圆锥管边线B5″及延长线于1″、2″、3″、4″各点，再以O点为圆心，OB为半径画圆弧，并截取″等于AB断面的圆周长，画出等分点。过O点向各点连放射线且向外延长，再以O为圆心，分别以O—1″、O—2″、…、O—5″为半径画同心圆弧与放射线对应相交，用光滑曲线将各交点连结起来，即得所求圆锥管的展开图。

⑤圆管孔部的展开。在由主视图1″点所引下垂线上，截取3'—3'等于左视图圆锥管所截大圆管的3'—1'—3'圆弧的伸直长度，并画出4'、2'、1'(5')各点的距离。由各点向右引水平线，与由主视图相贯线各点所引的下垂线对应相交，连结各交点成光滑曲线，即得圆管切孔展开图。

［例5］圆管与圆锥管水平相交的展开。

圆管与圆锥管水平相交，其相贯线为空间曲线。

作图步骤见图3－41。

①用已知尺寸画出主视图、俯视图和圆管的1/2断面图。4等分断面半圆周，由等分点向右引水平线与圆锥母线OB相交，其交点为1、2、3、4、5点。由2、3、4点引下垂线，与俯视图的水平中心线相交，以O'点为圆心，以O'点到各交点的距离为半径画同心圆，与俯视图的圆管断面等分点向右所引水平线对应相交于2'、3'、4'。再由2'、3'、4'点引上垂线，与前由圆管断面等分点所引的水平线对应相交，连结各交点成光滑曲线(相贯线)，完成主视图。

②做圆管展开图。在主视图1—5延长线上截取1—1线段等于圆管断面周长，并8等分，由等分点引对1—1线段的垂线，与由主视图相贯线各点所引上垂线对应相交，连接各交点成光滑曲线，即得圆管展开图。

③做圆锥管的展开。由俯视图锥底中心O'点向2'、3'、4'点连素线，交圆锥底断面圆周于2″、3″、4″各点。然后以O为圆心，OB长为半径画圆弧等于底断面半圆周长，由圆弧中点1″(5″)左、右对称截取底断面弧长分别等于俯视图锥底圆对应各点的弧长。再由各点向O连素线，与以O为圆心，O到OB各点作半径画同心圆弧对应相交，连接各交点成光滑曲线，即得开孔实形展开。

图3－41　圆管水平交圆锥管的展开图