离散傅里叶变换()

2.5　离散傅里叶变换(DFT)

前面已经介绍了一些基本的离散序列，本节将介绍对离散序列的一种基本操作——离散傅里叶变换，这也是数字信号处理的一个基本方法。离散傅里叶变换和其他分析有限长序列的方法相比，更能反映序列有限长的特点。离散傅里叶变换不仅在理论上相当重要，而且由于其具有快速有效的算法，即FFT算法，因而它对分析离散时间信号和系统起着非常重要的作用。

下面将简略介绍离散傅里叶变换及其性质，并举例说明它们在MATLAB上的实现方法。

2.5.1　离散傅里叶变换

傅里叶变换是建立在以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的“频率函数”之间的某种变换关系。离散傅里叶变换(DFT)就是傅里叶变换在时间域和频率域都离散时的情形。设x(n)为长度为N的有限长序列，则该序列的傅里叶变换及其逆变换分别为

其中，。通过定义，不难写出其MATLAB程序。

例2.17　已知序列x(n)=(1， 2， 4， 5， 6， 7， 8， 10)，求x(n)的傅里叶变换DFT及其傅里叶逆变换IDFT，并画出原信号x(n)与其傅里叶逆变换IDFT［X(k)］的图形进行比较。

MATLAB程序如下:

程序执行结果如图2-17所示。

图2-17　离散傅里叶变换

2.5.2　离散傅里叶变换的基本性质

DFT有很多重要性质，在信号处理中有着广泛的应用。最常见的性质有:线性特性、序列的圆周移位性质、循环对称性质、循环折叠性质。下面将给出这些基本性质的内容，并通过例题来说明。

1．线性特性

若两个有限长序列x₁(n)和x₂(n)的线性组合为

x₃(n)= ax₁(n)+bx₂(n)，

则有

DFT(x₃(n))= aDFT(x₁(n))+bDFT(x₂(n))，

式中a， b为任意常数。

例2.18　已知x₁(n)=(0， 1， 3， 4， 5)，x₂(n)=(1， 2， 1， 2， 1， 5)。

(1)求y(n)=2x₁(n)+3x₂(n)，再由y(n)的N点DFT获得Y(k)。

(2)由x₁(n)， x₂(n)求X₁(k)， X₂(k)，再求Y(k)= X₁(k)+X₂(k)。用图形分别表示以上结果，将两种方法求得的Y(k)进行比较。

MATLAB程序如下:

if length(xn1)＞length(xn2)%对长度短的序列补0，保证两个序列可加

程序执行结果如图2-18所示。

2．序列的圆周移位性质

有限长序列x(n)的圆周移位是:以它的长度N为周期，将其延拓成周期序列x^*(n)，并将周期序列进行移位，然后取主值区间上的序列值。例如，序列x(n)右移m位的过程如下:

(1)将x(n)以N为周期进行周期延拓，得到序列x^*(n)= x(〈n〉_N)。

(2)将x^*(n)右移m位，得到x^*(n－m)。

(3)取x^*(n－m)的主值序列，得到x(n)的循环移位序列y(n)。

因此，就有y(n)= x(〈n－m〉_N)G_N(n)，

图2-18　离散傅里叶变换的线性特性

有了圆周移位的概念后，我们有下面两个重要的定理。

时域移位定理　若DFT(x(n))= X(k)，y(n)= x(〈n－m〉_N)G_N(n)，则DFT(y(n))= W^mkX(k)．

频域移位定理　若DFT(x(n))= X(k)，Y(k)= X(〈k－m〉_N)G_N(k)，则IDFT(Y(k))= x(n)W^－nm．

例2.19　已知有限长序列x(n)=(2， 3， 4， 5， 1， 7， 9)，设y(n)为x(n)右移2位得到的新序列。

(1)根据圆周移位的定义，求出y(n)，再由y(n)的N点DFT获得Y₁(k)。

(2)先求出x(n)的N点DFT X(k)，再由时域移位定理获得y(n)的N 点DFTY₂(k)。

用图形分别表示以上结果，将Y₁(k)和Y₂(k)进行比较。

MATLAB程序如下:

3．循环对称性质

设实序列x(n)可以分解成循环偶序列x₁(n)和循环奇序列x₂(n)，即

x(n)= x₁(n)+x₂(n)， 0≤n≤N－1，

其中

图2-19　离散傅里叶变换的频域移位特性

设DFT(x(n))= X(k)= Re(x(k))+j·Im(x(k))，则有

DFT(x₁(n))= Re(x(k))，　

DFT(x₂(n))= j·Im(x(k))．

例2.20　已知有限长序列x(n)=(1， 1， 2， 2， 3， 3， 4， 4)。

(1)把序列x(n)分解成循环偶序列x₁(n)和循环奇序列x₂(n)。

(2)利用序列x(n)验证离散傅里叶变换的循环对称性。

MATLAB程序如下(省略作图部分):

程序执行结果如图2-20所示。

图2-20　离散傅里叶变换的循环对称性

4．循环折叠性质

有限长序列x(n)的循环折叠序列y(n)定义为

循环折叠后的序列y(n)的DFT由下式给出:

也就是说，对在时域上循环折叠的函数，其对应的DFT在频域上也作循环折叠，并取X(k)的共轭。

例2.21　已知有限长序列x(n)=(1， 3， 2， 4， 5， 6， 7)，画出循环程度分别为N =7，N =12时x(n)和x(－n)的图形。

MATLAB程序如下:

程序执行结果如图2-21所示。

图2-21　离散傅里叶变换的循环折叠性