从德布罗意的波粒二象理论和δ－函数谈傅里叶变换

继1900年普朗克提出量子概念以后，出现了爱因斯坦的光电效应解释、玻尔－索末菲原子定态轨道理论（圆满解释了氢光谱线，但此理论与加速电子的辐射理论相抵触）、泡利的不相容原理（每一量子态不可能存在多于一个的费米子）、德布罗意的波粒二象理论，直至1926年海森堡放弃研究电子轨道理论而以实验所能观察到的光谱线的频率和强度为研究起点，才与玻恩等一起揭示了坐标－动量的基本对易关系

[X，P]=iћ，

它不但是量子动力学的基础，也是不确定关系的理论源头。它告诉我们，X与P是不能同时精确地测定的，先测量坐标与先测量动量的两个结果不同。这样一来，处于坐标本征态（精确地测量坐标得x值）和处于动量本征态（精确地测量动量得p值）都只是理想的情形而不能实现。在想用理论处理连续变量量子态时，狄拉克发明了δ－函数。

我以为狄拉克创造的δ－函数是数学物理方法中最能体现物理直觉的范例。狄拉克16岁那年进入一个工科学校，在那里学习如何计算固态结构的应力，由此他萌发了δ－函数（Delta函数）的念头。思考工程中结构负载的时候，有些情况下负载是分布型的，有时负载只集中在一个点上，这两种情形下数学方程不同，从本质上讲，要把这两种情况统一起来就导向了δ－函数的创造。它的主要性质是

满足这两个性质的解有

以及

Delta函数的功能是有利于点源的讨论

故有

xδ(x)=0

理想情况下，动量p值确定的波是单色平面波e^ipx，弥散在空间中，所以其坐标值难以定义；反之，当弥散的波收敛于一个点x，如同一个经典意义下的有确定位置的质点，就无谓奢谈确定动量p的值，用δ－函数表示。从德布罗意的波－粒二象观点看，这两种情形是同一客体的两个“象”，如何把δ－函数与单色平面波e^ipq联系起来呢？它们之间的联系要靠傅里叶变换

此式右边是无穷多单色平面波e^ipq的叠加。介于这两个理想情况之间的就是一个波包，它是若干个不同p值的平面波的叠加。所以从量子论观点看，傅里叶变换是德布罗意的波粒二象的体现。