承内压圆平板的应力

一、承内压圆平板的应力特点

压力容器中，除前面讨论的球壳、圆筒体等旋转壳外，还有一类平板结构，如人孔或手孔的盖板、管板、法兰等。

平板在内压作用下的内力及变形情况，与梁承受横向均布载荷时的内力及变形情况在本质上是相同的，两者都产生弯曲变形，内力是弯矩及剪力。但梁的横向尺寸比梁的长度小得多，故受横向载荷后是沿长度在载荷作用方向发生弯曲变形；平板则具有一定的长度和宽度，长、宽度比其厚度大得多。在横向载荷的作用下，在平板的长度方向、宽度方向及平板平面内的其他各个方向，都产生弯曲变形，即产生面的弯曲。面的弯曲可以用两个互相垂直方向的弯曲来描述，常简称为双向弯曲。平板产生双向弯曲时，弯曲应力沿板厚的分布仍然是线性的，即只随离中性轴的距离z发生变化， /zM Iσ＝ 仍然成立，但此处弯矩M及惯性矩I与梁的情况不同。承受均匀分布的内压，圆平板的内力及变形都对称于过平板中心而垂直于平板面的z轴，如图6−18所示。以柱坐标系分析圆平板的双向弯曲，设微元体上环向弯矩为Mθ，径向弯矩为Mr，径向剪力为 rQ，则可以通过弯曲后的挠度ω求解弯曲内力和应力。

图6−18 圆平板弯曲时的受力分析

二、挠度微分方程及其求解

弹性力学关于小挠度薄板的分析表明，圆平板某点在内压作用下的弯矩取决于圆平板在该点的挠度ω，即：

式中 ω——圆平板中某点承受内压后的挠度，mm；

r ——该点离平板中心的径向距离，mm；

μ——材料的泊松比；

D ——圆平板板条的抗弯刚度，N/m，其中：

E ——材料弹性模量；

δ——圆平板厚度。

而圆平板的挠度ω取决于压力载荷p与自身的抗弯刚度D，即：

上式为圆平板承受均布横向载荷时的挠度微分方程式，其解为：

对无孔圆平板，在板中心处挠度最大，但此处r=0，相应于r=0的lnr是无意义的，所以常数项A1=A2=0，从而有：

式中，常数项A3及A4可根据圆平板周界的支撑条件求解。

三、周边铰支圆平板

圆平板的周边是连接在圆筒体上的，圆筒体对圆平板的约束情况，由两者的相对刚度来决定。当圆筒体的壁厚比圆平板的壁厚小得多时，圆筒体只能限制平板在圆平板轴线方向的位移，而对圆平板在连接处的转动约束不大，这样的约束可简化成周边铰支圆平板。

设周边铰支圆平板的半径为R，则有：

根据式（6−34）～式（6−36）解得：

因此，圆平板中心处挠度最大为：

在圆平板上下表面处任一点的径向弯曲应力及环向弯曲应力分别为：

最大应力产生于圆平板中心的表面，均为：

四、周边固支圆平板

如果与圆平板连接的筒体壁厚很厚，筒体不仅限制了圆平板周边沿筒体轴向的位移，而且限制了圆平板在连接处的转动，则可把筒体对圆平板周边的约束情况简化为固支。周边固支圆平板的边界条件：

根据式（6−34）～式（6−36）解得：

因此，圆平板中心处挠度最大为：

在圆平板上下表面处任一点的径向弯曲应力及环向弯曲应力分别为：

最大应力产生于圆平板边缘的表面，均为：

五、与相连圆筒壳的比较

综合周边铰支、固支两种情况，圆平板在内压p作用下的最大弯曲应力：

而相连接的圆筒壳在内压作用下的环向薄膜应力：

通常圆筒壳的壁厚δ远小于R，因此，通过比较可知，圆平板在内压作用下的最大弯曲应力远大于圆筒壳在内压作用下的环向薄膜应力。

针对变形情况，以挠度较小的固支圆平板与圆筒壳比较，假定圆平板与圆筒壳同材料、同厚度，且取 0.3μ＝ ，则圆平板的最大挠度为：

圆筒壳的半径增量 RΔt （即圆筒壳承压后其径向位移）为：

则：

综上所述，当以圆平板作圆筒壳封头或端盖时，假定二者材料、壁厚相同，则圆平板中最大弯曲应力远大于圆筒壳中的薄膜应力；圆平板中的最大挠度远大于圆筒壳的半径增量。因而工程上采用的平封头，其厚度远大于相连圆筒壳，且限于在小直径圆筒上使用。如在大直径圆筒壳上采用平封头或平端盖，为不使其应力及挠曲变形过大，除了采用较大厚度及合理的连接结构外，还常在平封头上加装支撑或拉撑装置。