小物和小理的物理对话录(34)——光的折射定律
刘亚英， 蒋炜波， 孟卫东
【作者机构】清华大学附属中学
【来 源】《高中数理化》 2016年第3期P24-25页
【分 类 号】G633.7
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【关 键 字】折射定律 小物 对话录 光的反射 折射现象 惠更斯原理 牛顿第二定律 对称分布 传播路径 次波
【摘 要】前言:小物和小理是2名普通的高中生,他们酷爱物理,在学习高中物理的过程中,小物经常向小理提出许多刁钻而有趣的物理问题,了解他们的故事也能让你的物理达到新的高度。
前言:小物和小理是2名普通的高中生,他们酷爱物理,在学习高中物理的过程中,小物经常向小理提出许多刁钻而有趣的物理问题,了解他们的故事也能让你的物理达到新的高度．
小物:终于开始光学部分知识的学习了,感觉好亲切啊.初中的光学知识立马浮现在了我的脑海中,不过随着学习的深入,一些以前没有思考过的问题也显现了．
小理:哦,你又有什么地方感觉不对劲了?
小物:也不是什么大问题,这不是学习到折射定律了嘛,感觉折射定律的发现还真够曲折的,经历了上千年才研究清楚,教材上还给出了折射率这一用来描述介质对光的偏折本领强弱的物理量,还给出了折射率和传播速度的关系．
小理:这不是很好嘛,一切都很清楚啊,没什么问题．
小物:不,问题就在这了,折射率和光速的关系公式是怎么得出来的呢?凭什么光就非得按照这样的折射率偏转呢?
小理:这个教材上也没有解释,我觉得应该是实验发现光的传播就是符合这个规律,再通过实验验证,就像牛顿第二定律一样是实验验证的结论．
小物:不,不对,牛顿第二定律当时建立的时候已经有了速度变化快慢(加速度)的概念,并且加速度、惯性(质量)和相互作用(力)的逻辑关系是比较清楚的,因此某种程度上讲牛顿第二定律是可以在惯性定律的基础上推导延伸出来的.惯性定律说力是改变物体运动的原因,牛顿第二定律则详细阐述了力如何改变物体运动状态,因此牛顿第二定律并不能归结于实验验证的规律．可是折射定律感觉没有任何的逻辑推导,直接实验验证,总觉得缺了些什么.
小理:你是说折射定律的逻辑解释?这个我也说不好,光为什么按照这样的路径传播,好像光就是这样的吧?嗯……
经典力学作为物理学的基础,对我们的影响是非常深远的,尤其是力学中建立起来的逻辑思维方式，已经深深地印刻在了我们的头脑中,对逻辑完美的追求也是物理的一部分,物理也因为这一点而充满魅力．
光的传播路径的确符合反射和折射定律,但是背后的逻辑原因教材上并没有详细解释,历史上关于这一问题也有很多科学家研究过,比如传播路径最短原理、传播时间最短原理,或许这些科学家的研究能够帮助我们认识得更加清楚一些．
2.1 光的反射定律
图1
光的反射定律可以和数学上的一类经典问题相对应,即“将军饮马”问题．据说,在古希腊有一位聪明过人的学者,名叫海伦,有一天,一位将军向他请教了一个问题:如图1所示，从A地出发到河边饮马,然后再去B地,走什么样的路线最短?如何确定饮马的地点?
图2
解决的方法我们都知道,即作A关于河的对称点A′,然后连接A′B,A′B与河的交点C就是马饮水的最佳地点,这样最短的行进路线就是ACB了,AC和BC是对称分布的，如图2所示．
图3
这一问题和光的反射定律如出一辙.事实上，想让光线经过A点到界面反射后再经过B点,那么光的传播路径是唯一确定的,也是一条和ACB相同的路径,且AC和BC是对称分布的,如图3所示，光路ACB就是由光的反射定律决定的路径,这条路径是路线最短并且时间最短的路径．
2.2 光的折射定律
折射规律也对应着一类数学问题,即“海滩救人”问题．某人在海岸边A处看到海里B处有人遇险需要立即去营救.已知人在陆地上的运动速度v大于在海水中游泳速度v′,那么该如何选择营救行进路线呢?
图4
很明显直线前进是路径最短的,但是时间却不是最短的.这里救人首先要考虑的是时间最短,因此实际上应该在陆地上多走一段,在水中少走一段,以期达到时间最短,即真实的救人路径如图4所示.
图5
可是如何确定路径ACB的时间最短呢?这就需要用到数学工具了,如图5所示，A和B到海岸的距离分别为a和b,AB沿海岸距离为l,假设救人的时候入海点为C,CB沿海岸距离为x,则AC沿海岸的距离为l-x,人在陆地上的速度为v,在海中游泳速度为v′．
那么救人的总时间t为:
.
利用数学导数方法求解时间的最小值,即先求出时间t关于x的导数t′=0,即
.
因此
,所以
sin θ1/sin θ2=v/v′.
此时时间有最小值．如果将人的运动改为光的传播,光在真空和介质中的传播速度为c和v,那么在界面处光的传播路径将发生偏折,偏折的路径满足时间最短的要求，即
.
图6
这就是教材上关于折射率和光速的关系公式,可见时间最短原理是能够解释光的传播路径偏折现象的,从这个角度能够推导出折射的规律,因此时间最短原理成为了几何光学的基础原理．
2.3 惠更斯原理
时间最短原理能够解释和推导出折射率,但该理论解释在物理上面临一个棘手的难题:光是如何知道哪条路径时间最短的呢?光有自主选择的意识吗?
很显然光是没有自主意识的.关于光的本质历史上争论几百年了,但是从来没人认为光有自主意识，能够选择时间最短的路径,因此时间最短原理解释折射率在数学上行得通,但在物理上存在困难．针对这一点,物理学家在光是一种波的本质假设之下,利用波的惠更斯原理圆满地解释了光的折射率．
我们知道波的传播是依靠前一质点的振动带动后一质点的振动,这样波源的振动就逐渐传播出去了(图7)．惠更斯原理认为,每一振动的质点都可认为是产生球面次波的一个点波源,而以后任何时刻的波阵面(波传播最前沿的质点的集合)则可看作是这些次波的包络面,波阵面和波的传播速度垂直(图8)!
图7 平面波 图8 球面波
图9
下面我们尝试使用惠更斯原理来推导解释折射率．
如图9所示，光从真空射向玻璃介质,真空中的速度为c,介质中的速度为v,以带箭头的直线代表光的传播路径(如AO、BC等),与路径垂直的虚线代表波阵面,图中NN′为法线,入射角为∠i．光线AO在O点进入玻璃介质,传播速度发生变化,光线BC在O′进入玻璃介质,传播速度发生变化．由于玻璃中光的传播速度小于真空中的速度,因此AO光线在介质中传播的距离小于同时间BC光线在真空中的传播距离．
假设t时间后,BC光线到达O′点,此时AO光线在玻璃介质中的传播距离较小,但是并不知道光线的传播方向,因此作了一个以O为圆心的虚线圆,如图9所示,根据波阵面的定义,过O′作虚线圆的切线O′D,则O′D为光波的最前沿,即为新的波阵面．可见波阵面方向发生变化,代表光的传播方向发生了变化,∠r即为折射角．
由运动关系可知CO′=ct, OD=vt, 因此,
,
于是得到
.
这就是折射率与光速的关系式,折射定律得到了证明．惠更斯原理在物理上能够很好地解释光的折射现象,并且得到了和时间最短原理相同的结果,但是比时间最短原理更有说服力,数学和物理的关联再一次得到印证,是不是很神奇呢?
要完整地解释折射现象,需要考虑到光的本质——电磁波,用电磁场的知识才能完成,但是这种方式太过烦琐,实际上我们更常使用惠更斯原理．
故事到了最后,小物又给小理提出了一个问题,能够用惠更斯原理证明反射定律中反射角和入射角的关系吗?
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