【摘要】：设A是矩阵，齐次方程组有非零解的充分必要条件是，亦即A的列向量线性相关。如A是n阶矩阵，有非零解的充要条件是. 有非零解的充分条件是。
1/4) 齐次方程组有非零解的判定
（1）设A是
矩阵，齐次方程组
有非零解的充分必要条件是
，亦即A的列向量线性相关。 （2）如A是n阶矩阵，
有非零解的充要条件是
. （3）
有非零解的充分条件是
(即方程个数<未知数个数)。 注：齐次方程组有非零解，关键在于系数矩阵的秩要小于未知数的个数（也就是系数矩阵中列向量的个数），（2）用行列式判定解是有条件的，而（3）反映的是n+1个n维向量必线性相关。 （4）如
则
的每一列都是
的解，当
时，蕴含
有非零解，进而有
.
(2/4) 非齐次方程组有解的判定
（1）增广矩阵 设有n个未知数m个方程的非齐次线性方程组： 
令
，
，
， 
定义增广矩阵： 
（2）设A是
矩阵，方程组
，则 （i）有唯一解 
（ii）有无穷多解 
（iii）无解 
b不能由A的列向量线性表出
(3/4) 齐次方程组和非齐次方程组解的关系
（1）如
有唯一解，则
只有零解。 （2）当
只有零解，
没有无穷多解，也就是可能有唯一解也可能无解。
(4/4) 方程组解的性质
（1）若
是
的解，则
是
的解 （2）若
是
的解，
是
的解，则
是
的解； （3）若
是
的解，则
是
的解. 推广： （1）设
是
的解，则当
时
为
的解；当
时
为
的解； （2）设
是
的s个线性无关的解，则
为
的s-1个线性无关的解.
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