测定物体的转动惯量

一、实训目标

1.理解测量转动惯量的原理;

2.学会用三线摆法测定物体的转动惯量;

3.了解物体的转动惯量与哪些因素有关;

4.验证转动惯量的平行轴定理。

二、实训器材

新型转动惯量测定仪平台、米尺、游标卡尺、计数计时仪、水平仪,样品为圆盘、圆环及圆柱体3种。

图3-1　新型转动惯量实验装置

三、实训原理

转动惯量是物体转动惯性的量度。物体对某轴的转动惯量的大小,除了与物体的质量有关外,还与转轴的位置和质量的分布有关。正确测量物体的转动惯量,在工程技术中有着十分重要的意义。如正确测定炮弹的转动惯量,对炮弹命中率有着不可忽视的作用。机械装置中飞轮的转动惯量大小,直接对机械的工作有较大影响。有规则物体的转动惯量可以通过计算求得,但对几何形状复杂的刚体,计算则相当复杂,而用实验方法测定,就简便得多,三线扭摆就是通过扭转运动测量刚体转动惯量的常用装置之一。

本实验采用新型转动惯量测定仪测定转动惯量。如图3-1所示该仪器采用激光光电传感器与计数计时仪相结合,测定悬盘的扭转摆动周期。计数计时仪具有记忆功能,从悬盘扭转摆动开始直到设定的次数为止,均可查阅相应次数所用的时间,特别适合实验者深入研究和分析悬盘振动中等周期振动及周期变化情况。仪器直观性强,测量准确度高。下图3-2为实验装置结构图。

图3-2　新型转动惯量测定仪结构图

1.启动盘锁紧螺母;2.摆线调节锁紧螺栓;3.摆线调节旋钮;4.启动盘; 5.摆线（其中一根线挡光计时);6.悬盘;7.光电接收器;8.接收器支架; 9.悬臂;10.悬臂锁紧螺栓;11.支杆;12.半导体激光器;13.调节脚;14.导轨; 15.连接线;16.计数计时仪;17.小圆柱样品;18.圆盘样品;19.圆环样品;20.挡光标记

图3-3　三线摆结构图

三线摆是将一个匀质圆盘,以等长的3条细线对称地悬挂在一个水平的小圆盘下面构成的。每个圆盘的3个悬点均构成一个等边三角形。如图3-3所示,当底圆盘B调成水平,三线等长时,B盘可以绕垂直于它并通过两盘中心的轴线O1O2作扭转摆动,扭转的周期与下圆盘（包括其上物体)的转动惯量有关,三线摆法正是通过测量它的扭转周期去求已知质量物体的转动惯量。

由节末附录1的推导可知,当摆角很小,三悬线很长并等长,悬线张力相等,上下圆盘平行,且只绕O1O2轴扭转的条件下,下圆盘B对O1O2轴的转动惯量J0为

若测量质量为m的待测物体对于O1O2轴的转动惯量J,只须将待测物体置于圆盘上,设此时扭转周期为T,对于O1O2轴的转动惯量

于是得到待测物体对于O1O2轴的转动惯量

图3-4

式（3-3)表明,各物体对同一转轴的转动惯量具有相叠加的关系,这是三线摆方法的优点。为了减小测量误差,放置待测物体时,要使其质心恰好和下圆盘B的轴心重合。

由此算出的d值和用长度器实测的值比较,在实验误差允许范围内两者相符的话,就验证了转动惯量的平行轴定理。

四、实验内容及步骤

1.调节仪器

（1)调节三线摆

①调节上盘（启动盘)水平。

将圆形水平仪放到旋臂上,调节底板调节脚,使其水平。

②调节下悬盘水平。

将圆形水平仪放至悬盘中心,调节摆线锁紧螺栓和摆线调节旋钮,使悬盘水平。

（2)调节激光器和计时仪

①先将光电接收器放到一个适当位置,后调节激光器位置,使其和光电接收器在一个水平线上。此时可打开电源,将激光束调整到最佳位置,即激光打到光电接收器的小孔上,计数计时仪右上角的低电平指示灯状态为暗。注意此时切勿直视激光光源。

②再调整启动盘,使一根摆线靠近激光束（此时也可轻轻旋转启动盘,使其在5°内转动起来)。

③设置计时仪的预置次数（20或者40,即半周期数)。

计数器的使用:将主机后面板的航空插座与操作平台上的光电接收器上的航空插头相连接。仪器上的接线柱仅备用,＋5V也可作电源（5V,0.5A),GND是接地,IN是触发信号输入端,可与传感器输出端相连。打开电源,预置计数值,此时计数显示屏上将显示设定值,仪器处于等待状态,仪器右上角的低电平指示灯为暗状态,（使用在激光光电传感器上时,等待状态为暗,每接收到一个触发信号,低平指示灯就亮一次;用在其他传感器上时,此灯等待状态为亮,接收到一个触发信号,低平指示灯就暗一次。)接收到触发信号后,计数计时仪开始计时。

2.数据测量

（1)测量下悬盘的转动惯量J0

图3-5

②用米尺测量上、下圆盘之间的距离H。

③测量悬盘的质量M0。

④测量下悬盘摆动周期T0,为了尽可能消除下圆盘的扭转振动之外的运动,三线摆仪上圆盘A可方便地绕O1O2轴作水平转动。测量时,先使下圆盘静止,然后转动上圆盘,通过3条等长悬线的张力使下圆盘随着作单纯的扭转振动。轻轻旋转启动盘,使下悬盘作扭转摆动（摆角小于5°),记录10或20个周期的时间。

⑤算出下悬盘的转动惯量J0。

（2)测量悬盘加圆环的转动惯量J1

①在下悬盘上放上圆环并使它的中心对准悬盘中心。

②测量悬盘加圆环的扭转摆动周期T1。

③测量并记录圆环质量M1,圆环的内、外直径D内和D外。

④算出悬盘加圆盘的转动惯量J1,圆环的转动惯量JM1。

（3)测量悬盘加圆盘的转动惯量J3

①在下悬盘上放上圆盘并使它的中心对准悬盘中心。

②测量悬盘加圆盘的扭转摆动周期T3。

③测量并记录圆盘质量M3,直径D圆盘。

④算出悬盘加圆盘的转动惯量J3,圆盘的转动惯量JM3。

（4)圆环和圆盘的质量接近,比较它们的转动惯量,得出质量分布与转动惯量的关系。将测得的悬盘、圆环、圆盘的转动惯量值分别与各自的理论值比较,算出百分误差。

（5)验证平行轴定理

①将两个相同的圆柱体按照下悬盘上的刻线,对称的放在悬盘上,相距一定的距离2d＝D槽－D小柱。

②测量扭转摆动周期T2。

③测量圆柱体的直径D小柱,悬盘上刻线直径D槽及圆柱体的总质量2M2。

④算出两圆柱体质心离开O1O2轴距离均为d（即两圆柱体的质心间距为2d)时,它们对于O1O2轴的转动惯量J′2。

⑤由公式J＝mD2算出单个小圆柱体处于轴线上并绕其转动的转动惯量J2。

⑥由公式（3-5)md2＝－J2算出的d值和用长度器实测的d′值比较,并计算出百分误差。

注意事项:

①切勿直视激光光源或将激光束直射人眼。

②做完实验要把样品放好,不要划伤表面,以免影响以后的实验。

③移动接收器时,请不要直接搬上面的支杆,要拿住下面的小盒子移动。

④启动盘及悬盘上各有平均分布的3只小孔,实验时用于测量两悬点间距离。

五、数据记录与分析

1.数据记录

表3-1　各周期的测定

表3-2　上、下圆盘几何参数及其间距

表3-3　圆环、圆柱体几何参数

2.计算物体的转动惯量

（1)计算下盘绕对称轴转动的转动惯量J0＝________。

（2)计算圆环绕对称轴转动的转动惯量JM1＝________。

（3)计算圆盘绕对称轴转动的转动惯量JM3＝________。

（4)计算单个圆柱作绕对称轴转动的转动惯量J2＝________。

六、思考题

1.试分析式（3-1)成立的条件。实验中应如何保证待测物转轴始终和O1O2轴重合？

2.将待测物体放到下圆盘（中心一致)测量转动惯量,其周期T一定比只有下圆盘时大吗？为什么？

图3-6

【附】公式（3-1)的推导

设下圆盘的质量为m0,以小角度作扭转振动时,它沿O1O2轴线上升的高度h,如图3-6所示,则势能为

当圆盘回到平衡位置时,它具有动能为

略去摩擦力,按机械能守恒定律

把下圆盘小角度扭转振动作为简谐振动,圆盘的角位移θ与时间t的关系为

在通过平衡位置时,ω0＝于是

设悬线长度AB＝L,上、下圆盘悬点到中心的距离分别为r和R。对应角振幅θ0,下圆盘轴向上移高度

由于

AC2＝AB2－BC2＝L2－（R－r)2,AC′2＝AB′2－B′C′2＝L2－（R2＋r2－2Rrcosθ0)

所以

由于θ0很小,h＜＜2H,则得

代入式（3-9)并经整理,得到表达式为J0＝此即式（3-1)。