勤劳村的图形风波

第5课　勤劳村的图形风波

数学故事

谁是劳动能手?

多多熊来到勤劳村看望好朋友波波，正巧撞上勤劳村一年一度的劳动能手选拔赛，在规定时间内谁耕田的面积最大，谁就是获胜者。经过一番比试，波波和上一届劳动能手牛牛遥遥领先，可是究竟他俩谁是冠军，大家争得面红耳赤，谁也说服不了谁。

多多熊一看，原来牛牛选了一块长20米，宽5米的长方形田，波波选的是一块底20米，高5米的平行四边形田地。到底哪块耕田面积最大呢?

“既然牛牛选的长方形田的长与波波选的平行四边形的底相等，长方形田的宽与平行四边形的高相等。那这样吧，就算两个种得一样多，怎样?”村长打算平息这场争吵。

“不行，我选的耕地是四四方方的，可波波的平行四边形地，两边都比我的要少，应该是我耕地面积最大。”牛牛理直气壮地说。

波波不服气，可又不知道该怎么反驳牛牛，这时多多熊站出来，对大家说:“这两块地的确一样大。”牛牛不以为然，说:“多多熊，虽然波波是你的好朋友，可是，如果你说不出一个因为所以来，我可不同意!”“你别急呀!”多多熊拿出两个小纸片，“这两个小纸片一个是长20厘米，宽5厘米的长方形，一个是底是20厘米，高是5厘米的平行四边形。我们把这个平行四边形的右边沿着高用剪刀剪开，移到左边来。(见下图)你们看，拼成的这个图是什么?”

大家一看，一下子就明白了。牛牛不好意思地说:“原来真是一样大呀。这么一转化，平行四边形的底就是我长方形的长，平行四边形的高就是我长方形的宽。那么平行四边形的面积就是用平行四边形的底乘以平行四边形的高呀。”村长说:“这个办法可真好!平行四边形，求积要变形;沿高切一块，拼成长方形;用底乘以高，永远记在心。我宣布，牛牛和波波都是今年的劳动能手!”

许多平面图形之间是有内在联系的，找到了这种联系，就可以将要求的图形转化为已学过的图形，从而求得其面积。这种转化思想是数学学习的一种重要思想方法。小朋友们，你还知道哪些运用转化思想解决数学问题的故事呢?

巧解趣题

巧等分，找关系

多多熊帮波波争取到了“劳动能手”的称号，波波得意极了，村民们也盛情邀请波波带着多多熊到自己家来做客。

这一天，波波和多多熊来到了村民卡尔家，卡尔拿出了家里最好的食物招待他们，也给他们讲了自己家的故事。

原来卡尔家有四兄弟，父母去长途旅行了，四兄弟商量着，在山脚下有一块地，如果把它平均分成四份，四兄弟各得一份，种上父母喜欢的花，在父母回家的时候作为礼物送给他们，父母该有多高兴啊!可是那块地怎样才能四等分?这可难倒了四兄弟。

多多熊被卡尔兄弟的孝心打动了，决定帮助他们分好山脚下的那块三角形地(见图1)。

波波一看到这块地，一脸疑惑地说:“这个可怎么分呀?又不是什么等腰的三角形。”

图1

图2

多多熊笑着说:“这个不难!”说完便开始用尺子测量起底边来，只见他将底边直接平均分成4份，然后将顶点与底边上的点连了起来。(见图2)

波波还是不明白，小声地问:“多多熊，你确定这4部分一样大?看上去边上的比较少呀!”

多多熊解释说:“我将底边平均分成4份，那么每人分得的三角形地的底边是相等的，每人分得的底边加上上面顶点，又组成了一个三角形。你看他们每个三角形的高一样吗?你说等底同高的4个三角形的面积相不相等?”

多多熊这么一说，波波恍然大悟:“对呀!分成的4个三角形它们的底相等，高相同，它们的面积肯定相等呀!问题解决了!”

卡尔听了，对多多熊更加佩服起来。想了想，他说:“这种分法很平均，但是每个形状相距太大。种上花草不一定好看呢!”

图3

“那可怎么办呢?”波波抓抓脑袋。

多多熊想了想，有办法了。他又过去左画画，右量量，不一会设计出了第二套方案。(见图3)。

“先把三角形平均分成2个等底同高的三角形，然后再把这一半的三角形又分成2个等底同高的三角形。分成的这4个三角形的面积果真一样大，而且形状上的差距要少了很多。”多多熊笑呵呵地解释这种分法。

“这样的分法真是不错，顺着多多熊的想法，我也有一个方案了。”卡尔说。不多会儿，他的分法也出来了(见图4)。

“真棒!”多多熊冲着卡尔就竖起了大拇指。

图4

图5

“我也来分分看!”波波说。经过一段时间的测量和画线，也分好4块地(见图5)。

虽然分的形状相差很大，但是这4块三角形地的面积真的是一样大。多多熊和卡尔齐声喝彩!

“太好了，现在我们四兄弟可以开始准备送给父母的礼物了，谢谢你们，你们可帮了我们一个大忙呢!”卡尔感激地说。

离开了勤劳村，多多熊回头看了看这个可爱的小村庄，感叹道:“学好数学可真重要呀!”

智力提升

多多熊提醒:组合图形中，知道了部分图形的面积，要求整个图形的面积;或者知道了整个图形的面积，要求部分图形的面积，有时可以用等分的方法，根据两者之间的倍数关系来解。

1.在一个长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是所在长方形面积的(　)。

2.如右图，三角形ABE的面积是24平方米，且BC=CD=DE，那么三角形ABC的面积是(　)平方米。

3.甲、乙两个三角形面积相等，甲的底是乙的2倍，甲的这条底上的高是乙对应底上高的(　)。

①2倍　　　②一半　　　③相等

4.平行四边形的底是0.6米，高是0.4米，与它等底等高的三角形的面积是(　)。

①0.12平方米　　　②0.48平方米　　　③0.24平方米

5.一张梯形的纸片，下底是24厘米，上底是18厘米，高14厘米，把它剪成一张尽可能大的三角形纸片，求余下的碎纸屑的总面积。

6.用一张长12分米、宽4分米的长方形纸，裁成直角边是4分米的等腰三角形，共可以裁成几张?

7.梯形的面积是36平方厘米，BE是BC的一半。求阴影部分的面积。

8.平行四边形的面积是49平方厘米，E是底边上的中点。求阴影部分的面积。

9.长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。求阴影部分的面积。

10.一张边长是4厘米的正方形纸，剪去两邻边中点连线的一个角，求剩下的面积。

11.求右图正六边形的面积。(单位:厘米)

12.将正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接8个端点得到一个八边形，求阴影部分的面积。

13.四边都相等的两个完全相同的四边形，在两边的中点处部分重合。已知重合部分的面积是8平方厘米。求阴影部分的面积。

14.计算下面各图形的面积。

15.一张长方形的铁板，从长边的中点到两个宽边的中点分别连一条线，沿这两条线剪下来两个角。求剩下图形的面积是多少?

16.一块铁板的形状如下图。在这块铁板的两面涂上油漆，涂油漆的面积是多少?(单位:分米)

智慧阅读

揭秘“64=65”

有一个不可思议的面积视频在网上流传，64=65，你信吗?

视频是这样的:表演者拿出一个8×8方格的纸片。因此纸片上共有8×8=64个方格。

表演者又在纸片上画了几道线(如右图)，并沿线将纸剪开成4片。

然后，又将4块纸片重新拼成一个长方形，要求观众再计算一下长方形的面积。

大家一看，新拼成的长方形，长有13格，宽是5格。这样，新图形的面积共有:

13×5=65

奇怪，还是原来的那张纸，64格却变成了65格!我们都知道，在对图形进行拼割组合时，并不改变图形的面积，因此这里的正方形和长方形面积应该相等——难道64=65?

问题究竟出在哪里呢?

事实上解释这个问题的方法很简单，你找不出原因时，不妨动起手来，用纸照着剪一剪，拼一拼，一定会发现其中的奥秘。

图形的分割、移动、拼合都不可能改变图形本身的面积大小，在剪开的四个纸片中，两个直角三角形的面积之和是8×3÷2×2=24，而两个梯形的面积之和是(3+5)×5÷2×2=40，四块图形的面积总和为24+40=64。但表演者拼出的长方形的面积是(5+8)×5=65，这说明，这个用原来的四块拼合起来的长方形中间有一个空隙，不是真正的长方形，秘密在于所拼成的图形对角线并不是直线，只是拼成后缝隙很小，肉眼不易发现罢了!多出的1个方格，包含在对角线那么长的缝隙中，一般人当然是不会注意的。为了更好地说明问题，我们用夸张的方法画出了这个空隙。

原来，你的眼睛欺骗了你!

开心数学园

最大面积

一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。

工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。

物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。

数学家好好嘲笑了他们一番。他用很少的篱笆把自己围起来，然后说:“我现在是在外面。”